2011高考数学一轮 二项分布及其应用-概率、统计与统计案例精品课件.ppt

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1、 1.条件概率 一般地一般地,设设A，B为两个事件，且为两个事件，且P（A）0，称，称P（B|A）= 为在事件为在事件A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B发生的条件概率发生的条件概率.P（B|A）读）读作作 . 条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在都在0和和1之间，即之间，即0P(B|A)1.A发生的条件下发生的条件下B发生的概率发生的概率 P P( (A A) ) )B BP P( (A A 如果如果B和和C是两个互斥事件，则是两个互斥事件，则 P（BC|A）= . 2.事件的相互独立性 设设A，B为两个事件，如果为两个事件，如果P（A

2、B）=P（A）P（B），则称事件），则称事件A与事件与事件B相互独立相互独立. 如果事件如果事件A与与B相互独立，那么相互独立，那么A与与 ，A与与 ，A与与 也都相互独立也都相互独立.P（B|A）+P（C|A） B BB BB 3.独立重复试验 一般地一般地,在相同条件下重复做的在相同条件下重复做的n次试验称为次试验称为n次独次独立重复试验立重复试验. 4.二项分布 一般地一般地,在在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的次发生的次数为数为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么在，那么在n次独立重复试验中，事件次独立重复试验中，事件A恰好

3、发生恰好发生k次的概率为次的概率为 P（X=k）= ,k=0,1,2,n. 此时称随机变量此时称随机变量X服从二项分布，记作服从二项分布，记作X ，并称，并称p为为 .成功概率成功概率 B （n,p） k k- -n nk kk kn np p) )- -( (1 1p pC C有一批种子的发芽率为有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为，出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗的概率长为幼苗的概率. 解决好概率问题的关键是分清属于哪种解决好概率问题的关键是分清属于哪种类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽

4、后这一类型的概率，该例中的幼苗成活率是在出芽后这一条件下的概率，属于条件概率条件下的概率，属于条件概率.设种子发芽为事件设种子发芽为事件A，种子成长为幼苗为，种子成长为幼苗为事件事件AB（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活（发芽，又成活为幼苗），出芽后的幼苗成活率为率为:P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件根据条件,概率公式概率公式 P(AB)=P(B|A)P(A)=0.90.8=0.72， 即这粒种子能成长为幼苗的概率为即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.在解决条件概率问题时，要灵活掌握在解决条件概率问题时，要灵活掌握P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P

5、(B)之间的关系，即之间的关系，即P(B|A)= ,P(A|B)= ,P(AB)=P(A|B)P(B)+P(B|A)P(A). P P( (A A) )P P( (A AB B) ) P(B)P(B)P(AB)P(AB)某地区气象台统计，该地区下雨的概率为某地区气象台统计，该地区下雨的概率为 ，刮风，刮风的概率为的概率为 ，既刮风又下雨的概率为，既刮风又下雨的概率为 ，设，设A为下为下雨，雨，B为刮风，求为刮风，求(1)P(A|B);(2)P(B|A).15154 415152 210101 1根据题意知根据题意知P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= .(1)P(A|B)=(2)P(B|A

6、)=15154 415152 210101 14 43 32 2151510101 115152 210101 1 P(B)P(B)P(AB)P(AB)=8 83 34 4151510101 115154 410101 1 P(A)P(A)P(AB)P(AB)=甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件,已知甲已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为品的概率为 ,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为的零件不是一等品的概率为

7、 ,甲、丙两台机床加工的零甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为件都是一等品的概率为 .(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品 的概率；的概率；(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有 一个一等品的概率一个一等品的概率.4 41 112121 19 92 2 (1)将三种事件设出将三种事件设出,列方程列方程,解方程即可求解方程即可求出出.(2)用间接法解比较省时用间接法解比较省时,方便方便. (1)设设A，B，C分别为甲、乙、丙三台机分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是

8、一等品的事件床各自加工的零件是一等品的事件. P(AB)= P(BC)= P(AC)= , P(A)1-P(B)= P(B)1-P(C)= P(A)P(C)= 由题设条件有由题设条件有 即即 4 41 112121 19 92 24 41 112121 19 92 2 由得由得P(B)=1- P(C),代入得代入得 27P(C)2-51P(C)+22=0. 解得解得P(C)= 或或 (舍去舍去). 将将P(C)= 分别代入可得分别代入可得P(A)= ,P(B)= . 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是概率分别是 , , .8 89

9、 93 32 29 911113 32 23 31 14 41 13 31 14 41 13 32 2 (2)记记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验验,至少有一个一等品的事件至少有一个一等品的事件. 则则P(D)=1-P(D) =1-1-P(A)1-P(B)1-P(C) =1- = . 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验,至少至少有一个一等品的概率为有一个一等品的概率为 .3 32 23 31 14 43 36 65 56 65 5 (1)对照互斥事件、对立事件的定义进行对照互斥事件、对立事件的定义进行判断，哪

10、些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目判断，哪些是互斥事件，哪些是对立事件，是解好题目的关键的关键.“正难则反正难则反”，一个事件的正面包含基本事件个，一个事件的正面包含基本事件个数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用数较多，而它的对立事件包含基本事件个数较少，则用公式公式P（A）=1-P（A）计算）计算. (2)审题应注意关键的词句，例如审题应注意关键的词句，例如“至少有一个发至少有一个发生生”“”“至多有一个发生至多有一个发生”“”“恰好有一个发生恰好有一个发生”等等. (3)复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问复杂问题可考虑拆分为等价的几个事件的概率问题，同时结合对立事

11、件的概率求法进行求解题，同时结合对立事件的概率求法进行求解. (4)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有: 利用相互独立事件的概率乘法公式利用相互独立事件的概率乘法公式; 正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入正面计算较繁或难以入手时，可以从对立事件入手计算手计算.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是率都是0.8,计算计算:(1)两人都击中目标的概率两人都击中目标的概率;(2)其中恰有一人击中目标的概率其中恰有一人击中目标的概率;(3)至少有一人击中目标的概率至少有一人击中目标的概率.

12、 记记“甲射击一次，击中目标甲射击一次，击中目标”为事件为事件A，“乙射乙射击一次，击中目标击一次，击中目标”为事件为事件B.“两人都击中目标两人都击中目标”是事是事件件AB；“恰有恰有1人击中目标人击中目标”是是AB或或AB；“至少至少有有1人击中目标人击中目标”是是AB或或AB或或AB. (1)显然，显然，“两人各射击一次，都击中目标两人各射击一次，都击中目标”就是就是事件事件AB，又由于事件，又由于事件A与与B相互独立，相互独立， P(AB)=P(A)P(B)=0.80.8=0.64. (2)“两人各射击一次，恰好有一人击中目标两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括包括两种情况：一种是

13、甲击中乙未击中（即两种情况：一种是甲击中乙未击中（即AB）,另一种另一种是甲未击中乙击中（即是甲未击中乙击中（即AB），根据题意，这两种情况），根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件在各射击一次时不可能同时发生，即事件AB与与AB是是互斥的，所以所求概率为：互斥的，所以所求概率为：P=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.8(1-0.8)+(1-0.8)0.8=0.16+0.16=0.32.（3）解法一解法一：“两人各射击一次，至少有一人击中目标两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为的概率为P=P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.64+0.

14、32=0.96.解法二解法二：“两人都未击中目标两人都未击中目标”的概率是的概率是P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.20.2=0.04.至少有一人击中目标的概率为至少有一人击中目标的概率为P=1-P(AB)=1-0.04=0.96.某单位某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是概率都是0.5(相互独立相互独立).(1)求至少求至少3人同时上网的概率人同时上网的概率;(2)至少几人同时上网的概率小于至少几人同时上网的概率小于0.3? 因为因为6个员工上网都是相互独立的，所以个员工上网都是相互独立的，所以该题可归

15、结为该题可归结为n次独立重复试验与二项分布问题次独立重复试验与二项分布问题.（1）解法一：记）解法一：记“有有r人同时上网人同时上网”为为事件事件Ar,则则“至少至少3人同时上网人同时上网”即为事件即为事件A3+A4+A5+A6，因为因为A3,A4,A5,A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得法公式，得“至少至少3人同时上网人同时上网”的概率为的概率为 P=P(A3+A4+A5+A6) =P(A3)+P(A4)+P(A5)+P(A6) = ( ) = (20+15+6+1)= .6 64 41 164641 16 66 65 56 64 46 63 36

16、 6C CC CC CC C+32322121：“至少至少3人同时上网人同时上网”的对立事件是的对立事件是“至多至多2人同时上网人同时上网”，即事件，即事件A0+A1+A2.因为因为A0,A1,A2是彼此互是彼此互斥的事件，所以斥的事件，所以“至少至少3人同时上网人同时上网”的概率为的概率为 P=1-P(A0+A1+A2) =1-P(A0)+P(A1)+P(A2) =1- ( ) =1- (1+6+15)= 64641 164641 1323221212 26 61 16 60 06 6C CC CC C+：至少：至少3人同时上网，这件事包括人同时上网，这件事包括3人，人，4人，人，5人或人或

17、6人同时上网，则记至少人同时上网，则记至少3人同时上网的事件为人同时上网的事件为A,X为上网人数为上网人数,则则 P(A)=P(X3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6) 3 32 22 21 1) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C6 66 66 66 65 56 66 64 46 66 63 36 6=+ （2）：记：记“至少至少r人同时上网人同时上网”为事件为事件Br,则则Br的概率的概率P(Br)随随r的增加而减少的增加而减少.依题意是求满足依题意是求满足P(Br)0.3的整数的整数r

18、的最小值的最小值.因为因为 P(B6)=P(A6)= 0.3, P(B5)=P(A5+A6)=P(A5)+P(A6) = ( )= 0.3, P(B4)=P(A4+A5+A6) =P(A4)+P(A5)+P(A6)= ( ) = (15+6+1)= 0.3, 所以至少所以至少4人同时上网的概率大于人同时上网的概率大于0.3,至少至少5人同时人同时上网的概率小于上网的概率小于0.3.64641 164641 164647 764641 164641 16 66 65 56 6C CC C +6 66 65 56 64 46 6C CC CC C+32321 1：由：由(1)知至少知至少3人同时上

19、网的概率大于人同时上网的概率大于0.3,至少至少4人同时上网的概率为人同时上网的概率为 P（X4）= 0.3, 至少至少5人同时上网的概率为人同时上网的概率为 P(X5)= 0.3, 所以至少所以至少5人同时上网的概率小于人同时上网的概率小于0.3.3 32 22 21 1) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C6 66 66 66 65 56 62 24 46 6=+6 64 47 7) )2 21 1( (C C) )2 21 1( (C C6 66 66 66 65 56 6=+（1）独立重复试验是在同样的条件下重）独立重复试验是在同样的

20、条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的样的. (2)在在n次独立重复试验中，设事件次独立重复试验中，设事件A发生的次数发生的次数为为X，在每次试验中事件，在每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那么在，那么在n次次独立重复试验中，事件独立重复试验中，事件A恰好发生恰好发生k次的概率为次的概率为P(X=k)= (1-p)k，k=0,1,2

21、,n.此时称随机变量此时称随机变量X服从二项分布，在利用该公式时，一定要搞清是多少服从二项分布，在利用该公式时，一定要搞清是多少次试验中发生次试验中发生k次的事件，如本题中次的事件，如本题中“有有3人上网人上网”可可理解为理解为6次独立重复试验恰有次独立重复试验恰有3次发生，即次发生，即n=6，k=3.k kk kn np pC C甲、乙两人各射击一次甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是击中目标的概率分别是 和和 ,假假设两人射击是否击中目标设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响相互之间没有影响,每次射击是每次射击是否击中目标否击中目标,相互之间也没有影响相互之间也没有影响.(1)求甲

22、射击求甲射击4次次,至少至少1次未击中目标的概率次未击中目标的概率;(2)求两人各射击求两人各射击4次次,甲恰好击中目标甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目次且乙恰好击中目 标标3次的概率次的概率;(3)假设某人连续假设某人连续2次未击中目标次未击中目标,则停止射击则停止射击,问乙恰好射问乙恰好射 击击5次后次后,被中止射击的概率是多少被中止射击的概率是多少?3 32 24 43 3 (1)记记“甲连续射击甲连续射击4次至少有次至少有1次未击中目标次未击中目标”为事为事 件件A1,由题意由题意,射击射击4次次,相当于作相当于作4次独立重复试验次独立重复试验,故故 P(A1)=1-P(A1)=1-(

23、 )4= . 甲连续射击甲连续射击4次至少有次至少有1次未击中目标的概率为次未击中目标的概率为 . (2)记记“甲射击甲射击4次次,恰有恰有2次击中目标次击中目标”为事件为事件A2,“乙乙射击射击4次次,恰有恰有3次击中目标次击中目标”为事件为事件B2,则则 P(A2)= (1- )4-2= . P(B2)= (1- )4-3= . 由于甲、乙射击相互独立由于甲、乙射击相互独立,故故 P(A2B2)=P(A2)P(B2)= = .3 32 281816565818165652 24 4C C2 2) )3 32 2( (3 32 227278 83 34 4C C3 3) )4 43 3( (

24、4 43 36464272727278 8646427278 81 1 两人各射击两人各射击4次次,甲恰有甲恰有2次击中目标且乙恰有次击中目标且乙恰有3次次击中目标的概率为击中目标的概率为 . (3)记记“乙恰好射击乙恰好射击5次后被中止射击次后被中止射击”为事件为事件A3,“乙第乙第i次射击未击中次射击未击中”为事件为事件Di(i=1,2,3,4,5),则则A3=D5D4D3(D2D1),且且P(D4)= .由于各事件相互独立由于各事件相互独立,故故 P(A3)=P(D5)P(D4)P(D3)P(D2D1) = (1- )= . 乙恰好射击乙恰好射击5次后被中止射击的概率为次后被中止射击的概

25、率为 .1024102445458 81 14 41 14 41 14 41 14 43 34 41 14 41 1102410244545一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是立的，并且概率都是 .(1)设设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布的分布 列列;(2)设设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数，求为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y的的 分布列分布列;(3)求这名学生在途中

26、至少遇到一次红灯的概率求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.3 31 1本题主要考查独立重复试验的概率和二项本题主要考查独立重复试验的概率和二项分布等知识分布等知识.（1）将通过每个交通岗看作一次试验，）将通过每个交通岗看作一次试验，则遇到红灯的概率为则遇到红灯的概率为 ，且每次试验结果是相互独立的，且每次试验结果是相互独立的,故故XB(6, )，以此为基础求，以此为基础求X的分布列的分布列. 由由XB(6, )，所以，所以X的分布列为的分布列为 P(X=k)= ，k=0,1,2,3,4,5,6. （2）由于）由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然口

27、数，显然Y是随机变量，其取值为是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5.3 31 13 31 13 31 1k k- -6 6k kk k6 6) )3 32 2( () )3 31 1( (C C 其中其中:Y=k(k=0,1,2,3,4,5)表示前表示前k个路口没个路口没 有遇上有遇上 红灯，但在第红灯，但在第k+1个路口遇上红灯，故各概率应按个路口遇上红灯，故各概率应按独立独立 事件同时发生计算事件同时发生计算. P(Y=k)=( )k (k=0,1,2,3,4,5), 而而Y=6表示一路没有遇上红灯表示一路没有遇上红灯, 故其概率为故其概率为P(Y=6)= . 因此因此Y的分布列为的

28、分布列为: 3 31 16 6) )3 32 2( (3 32 2Y0123456P3 31 13 32 23 31 12 2) )3 32 2( (3 31 13 3) )3 32 2( (3 31 14 4) )3 32 2( (3 31 15 5) )3 32 2( (3 31 16 6) )3 32 2( (3)这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为这名学生在途中至少遇到一次红灯的事件为（X1）=X=1或或X=2或或或或X=6,所以其概率为所以其概率为P(X1)= P(X=k)=1-P(X=0) =1-( )6= 0.912.=6 61 1k k3 32 2729729665665解决

29、离散型随机变量分布列问题时，主要解决离散型随机变量分布列问题时，主要依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离依靠概率的有关概念和运算，其关键是要识别题中的离散型随机变量服从什么分布散型随机变量服从什么分布.像本例中随机变量像本例中随机变量X表示遇表示遇到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是到红灯次数，而每次遇到红灯是相互独立的，因此这是一个独立重复事件，符合二项分布，即一个独立重复事件，符合二项分布，即XB(n,p).分布列分布列能完整地刻画随机变量能完整地刻画随机变量X与相应概率的变化情况，在分与相应概率的变化情况，在分布列中第一行表示布列中第一行表示X的所有可能取值，第二

30、行对应的各的所有可能取值，第二行对应的各个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为个值（概率值）必须都是非负实数且满足其和为1.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列的分布列.4 43 3由题意知由题意知XB(3, ).P(X=k)= ,k=0,1,2,3.分布列为分布列为:4 43 3k k- -3 3k kk k3 3) )4 41 1( () )4 43 3( (C CX0123P1/649/6427/6427/64