最新大学物理15量子物理基础1教学课件.ppt

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1、大学物理大学物理15量子物理基础量子物理基础1所以电子的德布罗意波长为：所以电子的德布罗意波长为：eUmh02 )A(3 .120U VU150 当当：0A1 例如例如：电子经加速电势差：电子经加速电势差 U加速后加速后eUvm 2021 即即：2201cvvmhmvhph vmhcv0, 则则如如果果02meUv eUE (2) 若使其质量为若使其质量为m=0.1g的小球以与的小球以与 粒子相同的粒子相同的 速率运动速率运动,求其波长求其波长若若 m=0.1g 的小球速率的小球速率 vvm mBRqvvm mmmBRqhBRqmmhvmhmvhmm343271064. 6101 . 0106

2、4. 61 则：则：考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：所以：经严格证明此式应为：经严格证明此式应为：hxpx 2 xpx 这就是著名的这就是著名的海森伯不确定关系式海森伯不确定关系式hxpx 2 ypy 2 zpz )( .10588 054. 12 34-约约化化普普朗朗克克常常量量sJh 设有一个动量为设有一个动量为p，质量为，质量为m的粒子，能量的粒子，能量考虑到考虑到E的增量：的增量：EpmvccpcmppcE 222420222pv ptx 2/ pxtE2 tE能量与时间不确定关系式能量与时间不确定关系式即：即：能量与时间不确定关

3、系能量与时间不确定关系22420cpcmE 1. 用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出用经典物理学量来描写微观粒子行为时必然会出现不确定性现不确定性 。在位置和动量的不确定量中。在位置和动量的不确定量中,位置不确位置不确定量越小定量越小,则同方向的动量不确定量就越大则同方向的动量不确定量就越大。反之亦反之亦然。然。3. 可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经典力学来描写还是用量子力学来描写。力学来描写还是用量子力学来描写。 2.测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映测不准关系是微观粒子波粒二象性的必然反映,决不决不是测量仪器的缺陷或测量方

4、法不完善所致。是测量仪器的缺陷或测量方法不完善所致。 所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定所以宏观粒子的坐标及动量可以同时确定1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？，若，若的乒乓球的乒乓球 , 其直径其直径, 可以认为其位可以认为其位置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？置是完全确定的。其动量是否完全确定呢？例例kgm210 cmd5 1200 smvxmx610 xvmx 2 6341010 12810 smkgxvm12 smkg问题？问题？ 所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力所以，电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。学来处理。01Adx

5、例例1 一电子以一电子以的速度穿过晶体。的速度穿过晶体。晶体常数晶体常数d10-10m161001 sm.vxxmvx 2 1103134101010 sm1710 sm1610 smvvxx 2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？2 xpx 由由于于：vmx 2/2/ xpx解：解：m63134103 .610101 .94/1063.6 例例2 电子射线管中的电子束中的电子速度一般为电子射线管中的电子束中的电子速度一般为 10105 5m/sm/s，设测得速度的精度为设测得速度的精度为1/100001/10000，即，即 vx=10m/s

6、，求电子位，求电子位置的不确定量置的不确定量（电子的位置确定在电子的位置确定在 范围内可范围内可以认为令人满意）以认为令人满意）mmx1 . 0 可以用经典力学来处理。可以用经典力学来处理。所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。所以，微观粒子的动量和坐标有时是可以同时确定的。mm1 . 0 xvvx E. .薛定谔薛定谔 (1887-1961)15-3 薛定谔方程薛定谔方程 描述微观粒子运动状态的基本描述微观粒子运动状态的基本方程方程薛定谔方程？薛定谔方程？ 什么是隧道效应？什么是隧道效应？ 描述微观粒子的波函数必须描述微观粒子的波函数必须 满足哪些条件？满足哪些条件？ 波函数的物理

7、意义是什么？波函数的物理意义是什么？描述微观粒子运动状态的描述微观粒子运动状态的函数。函数。)xt(cosA)t ,x(y 2)(2),( xtiAetxy 经典单色平面简谐波波动方程：经典单色平面简谐波波动方程：1 1 、波函数：、波函数：)(20),( xtietx 0 )t ,x( 区别于经典波动区别于经典波动只只取取实实部部一、波函数一、波函数 概率密度概率密度 自由粒子自由粒子沿沿x方向运动时对应的单色平面波波函数方向运动时对应的单色平面波波函数)(20),( xtietx hEph )pxEt(ie)t ,x( 0 2h 其中其中)rpEt(ie)t ,r( 0 考虑到自由粒子沿三

8、维方向的传播考虑到自由粒子沿三维方向的传播 设运动的实物粒子的能量为设运动的实物粒子的能量为E、动量为、动量为 p，与之相与之相关联的频率为关联的频率为 、波长为波长为 ，将德布罗意关系式代入：将德布罗意关系式代入： 式中的式中的 、E 和和 p 体现了体现了微观粒子的波粒二象性微观粒子的波粒二象性2 2、概率密度概率密度波函数的统计解释波函数的统计解释（复数）（复数） )rpEt(ie)t ,r( 0 ?波函数波函数物理意义物理意义如何描述微观粒子的运动如何描述微观粒子的运动 根据根据玻恩对德布罗意波的统计解释玻恩对德布罗意波的统计解释，物质波，物质波波函数是对微观粒子运动的统计描述波函数是

9、对微观粒子运动的统计描述, ,即即物质波物质波是是概率波概率波, , 概率波只能给出粒子在各处出现的概率概率波只能给出粒子在各处出现的概率。1）大量电子的一次性行为：）大量电子的一次性行为：U极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，220 或大大220 或小小波强度小波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点统一地看：粒子出现的几率正比于统一地看：粒子出现的几率正比于220 或或 (r,t)代表什么？代表什么？看电子的单缝衍射：看电子的单缝衍射：2）一个粒子多次重复性

10、行为）一个粒子多次重复性行为较长时间以后较长时间以后极大值极大值极小值极小值中间值中间值较多电子到达较多电子到达较少电子到达较少电子到达介于二者之间介于二者之间波强度大，波强度大，220 或大大220 或小小波强度小，波强度小，波强介于二者之间波强介于二者之间粒子的观点粒子的观点波动的观点波动的观点U统一地看：粒子出现的几率正比于统一地看：粒子出现的几率正比于220 或则波函数则波函数模的平方模的平方表征了表征了t 时刻，在空间时刻，在空间(x,y,z)处处出现粒子的出现粒子的概率密度概率密度-波函数的物理意义波函数的物理意义.结论：结论： 某时刻空间某体元某时刻空间某体元dVdV中出现粒子的

11、中出现粒子的几率几率 正比于正比于该地点该地点波函数模的平方波函数模的平方和体积元和体积元 体积：体积：dVdW ,2通常比例系数取通常比例系数取1:dVdW2 dV )(共共轭轭复复数数为为 2dVdWw（由叫（由叫概率分布函数概率分布函数） 微观粒子遵循的是微观粒子遵循的是统计规律统计规律，而不是经典的，而不是经典的 决定性规律决定性规律。牛顿说牛顿说： 只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨只要给出了初始条件，下一时刻粒子的轨 迹是已知的，迹是已知的，决定性决定性的。的。量子力学说量子力学说：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达：波函数不给出粒子在什么时刻一定到达 某点，只给出到达各点的某点

12、，只给出到达各点的统计分布统计分布；即只；即只 知道知道| |2大的地方粒子出现的可能性大，大的地方粒子出现的可能性大， | |2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出小的地方几率小。一个粒子下一时刻出 现在什么地方，走什么路径是不知道的现在什么地方，走什么路径是不知道的 （非决定性非决定性的）的）物质波与经典波的本质区别物质波与经典波的本质区别经典波经典波的波函数是实数的波函数是实数,本身具有物理意义本身具有物理意义,可测量。可测量。因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。因此，只有波函数的概率密度才具有物理意义。物质波物质波一般情况是复函数，本身无具体的物理意义一般情况是复函数，本身无具体的

13、物理意义,所以是不可测量的；可测量的只有所以是不可测量的；可测量的只有 22) 对于概率波来说对于概率波来说, 重要的是相对概率分布。故重要的是相对概率分布。故和和 描述的相对概率分布是完全相同的描述的相对概率分布是完全相同的。 c 而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量而经典波的波幅如果增加一倍，则相应的波动能量 将为原来的四倍，因此将为原来的四倍，因此, ,代表了不同的波动状态。即若：代表了不同的波动状态。即若： C 等价等价ECE2 能能量量CAA 振振幅幅那么那么).( tr1 VdVW3 、波函数的标准化条件与归一化条件、波函数的标准化条件与归一化条件（波函数必须满足的条件）（

14、波函数必须满足的条件）1）波函数具有）波函数具有有限有限性性在空间是在空间是有限的有限的2）波函数是）波函数是连续的连续的只差一微量只差一微量几率密度几率密度处处与与处的几率密度处的几率密度即在即在)()(rdrwrdrrwr 3）波函数是）波函数是单值的单值的粒子在空间出现的几率粒子在空间出现的几率只可能是一个值只可能是一个值.4）满足归一化条件满足归一化条件1 dVW（归一化条件）（归一化条件）因为粒子在全空间出现是必然事件因为粒子在全空间出现是必然事件. 波函数波函数的标准条件的标准条件：单值、有单值、有限和连续限和连续解：解：利用归一化条件利用归一化条件 dx)x(2 例例1 1：求波

15、函数归一化常数和概率密度。求波函数归一化常数和概率密度。 )0( )0( 0axxasinAeax,xxEti adxaxsinA022 122 aAaA2 2 w )0( 2)0( 02axaxsinaax,x 这就是这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程一维自由粒子（含时间）薛定谔方程)(),(pxEtiAetx 2222px Eit 对于非相对论粒子对于非相对论粒子mpE22 ttxixtxm ),(),(2222 一维一维自由粒子自由粒子的波函数的波函数二二、薛定谔方程薛定谔方程1、薛定谔方程的引入、薛定谔方程的引入(并不是理论推导并不是理论推导) 若粒子处在外力场中若粒子处在外力场中

16、( (非自由粒子非自由粒子) )其粒子的总能量为其粒子的总能量为：titxUxm ),(2222),(212txUpmE 一维薛定谔方程一维薛定谔方程三维薛定谔方程三维薛定谔方程: :titrUm ),(2222222222 zyx 式式中中拉普拉斯算符拉普拉斯算符 哈密顿（能量）算符哈密顿（能量）算符),(2 22trUmH 令令则薛定谔方程为：则薛定谔方程为：),(),(trHtrti 算符算符: : 就是一种运就是一种运算符号，是算符号，是对量子态对量子态( (波波函数函数) )的操作。的操作。某物理量算某物理量算符常用对应符常用对应的该的该物理量物理量字母上方加字母上方加“”符号表符号

17、表示。示。2 2、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程)t (f)r()t ,r( 如果如果势能函数不是时间的函数势能函数不是时间的函数, ,即：即：代入上式薛定谔方程中整理得：代入上式薛定谔方程中整理得：ttftfirrUmr )()(1)()(2)(122 用分离变量法将波函数写为：用分离变量法将波函数写为：)r(UmH 222方方程程中中在在： )t , r(H)t ,r(ti Ettftfi )()(1 )()( 积积分分常常数数CCetfEti 常常数数）()()(1)()(2)(122EttftfirrUmr 只是空间坐标的函数只是空间坐标的函数只是时间的函数只是时间的函数E)r()r(

18、Um)r( 2221 )()(rErH 即即：)()(),( tfrtr 波波函函数数为为：Etier )( 此方程仅是空间坐标的函数此方程仅是空间坐标的函数-称为定态称为定态薛定谔方程薛定谔方程. . )(),(Etiertr 那么，粒子在空间出现的几率密度：那么，粒子在空间出现的几率密度：222Etie)r()t ,r( 2)r( 几率密度与时间无关，几率密度与时间无关，因此，因此，波函数描述的是稳定波函数描述的是稳定态态-简称定态。简称定态。叫叫定定态态波波函函数数其其对对应应的的波波函函数数)( r )()(rErH 即即：)()()(2 22rErrUm -称为定态称为定态薛定谔方程

19、薛定谔方程. .（非相对论形式）（非相对论形式）2. 2. 定态薛定谔方程定态薛定谔方程: :1. 1. 一般形式薛定谔方程：一般形式薛定谔方程：一维一维三维三维一维一维三维三维titxUxm ),(2222titrUm ),(222)()()(2 22rErrUm )()()(2222xExxUxm 若若 U=0（自由粒子）（自由粒子）ttxixtxm ),(),(2222 )()(rErH 设质量为设质量为m的粒子的粒子只能只能在在 0 xa 区域内的区域内的外力场中外力场中作一维运动作一维运动.势能函数为：势能函数为： ),0()0(0)(axxaxxU)(xUOa x三、一维无限深三、

20、一维无限深势阱势阱（定态（定态薛定谔方程的应薛定谔方程的应用用) ) 因为在因为在阱外阱外(即：当即：当 x a 时时)粒子势能为无穷粒子势能为无穷大大0)( x 0)(2)(222 xmEdxxd 得得：)()(xExH 2mE2k 令0222 kdxd方程的通解为：方程的通解为：)sin()( kxAx由边界条件由边界条件00 )( 0 )a( 0 sinA0 kasinA2222dxdmH 0 ,nank21 )(xUOa x)sin()( kxAxxansinA dxxanAdxxa 0222)(sin)( 又又122 aAaA2 )0()sin(2), 0( 0)(axxanaaxx

21、xn 概率分概率分布函数布函数 2)(x 0axx , 0axxxana 2sin2粒子波粒子波函数函数则粒子的能量：则粒子的能量： 3, 2, 1 )2(2222nnmaEn 22mEk 由由于于：), 2 , 1(, nank 22)(2anmEn 时时波函数必须满足波函数必须满足标准化条件的自然结果标准化条件的自然结果, ,而不是人为的假设。而不是人为的假设。2222nmaEn n=1,2,3, 在一维无限深势阱中运动的粒子，在一维无限深势阱中运动的粒子，它的能量是量子化的。它的能量是量子化的。若若n=0，则，则k=0，, 0sin2)( kxAx 没有意义。没有意义。所以所以n=1时粒

22、子取最低能量：时粒子取最低能量：maE2221 E1称之为称之为基态能量基态能量。特征分析：特征分析：1.；0)( x ）区区间间，在在（axx , 00)(2 x 粒子只能在粒子只能在U(x)=0的势阱内运动。的势阱内运动。2. 波函数是驻波方程。能级越波函数是驻波方程。能级越高，驻波个数越多。高，驻波个数越多。）区间，）区间，在（在（axx 在在x=0和和x=a的边界上是驻波波节。的边界上是驻波波节。 在在0 xa的区域，驻波有的区域，驻波有(n1)个波节，驻个波节，驻波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。波不向外辐射能量，粒子处于各种稳定态。3. 概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次

23、数概率密度分布具有起伏性。能级越高，起伏次数越多。越多。用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量用驻波思想求解一维无限深势阱中粒子的能量: 因为势阱中因为势阱中 U(x)=0， E = EK 用薛定谔方程简单分析得：用薛定谔方程简单分析得：0)()0( a Phnna22 井井宽宽：代代入入将将 2h n=1,2,3, 由驻波条件得，由驻波条件得，anhP2 22224ahnP 2222nmaE 222282mahnmpEEK 能量是量子化的。能量是量子化的。与求解态薛定谔方程得到的能量公式一致。与求解态薛定谔方程得到的能量公式一致。 例例2 一维无限深势阱中粒子的定态一维无限深势阱中粒子的定

24、态波函数为波函数为求求: 粒子处于粒子处于基态基态和处于和处于第一激发态第一激发态时，时， x 在（在（0 a/3）之间找到粒子的之间找到粒子的概率概率。xanax sin2)( n=1,2,3,.解：解：2asinxa2dx3a0()=2acos2xadx3a0121+=1ax2asinxa2()3a0=0.19=1aa32a32.当当n=1（基态）时（基态）时a3x =0在在中找到粒子的概率中找到粒子的概率W1 为：为：x =xanax sin2)( dxxanadxxdWdx 22sin2)( 区区间间概概率率：在在+=1ax4asinxa43a0=0.264=1aa34a32.2asi

25、n2xa2dx3a0=1acosdx3a01()4xaa30在在中找到粒子的概率中找到粒子的概率W2为：为：处于第一激发态，即处于第一激发态，即n=2 时的状态时的状态 例题例题3 一个质子在一维无限深势阱中，一个质子在一维无限深势阱中，阱宽阱宽a =10-14m。 (1)质子的质子的最低能量最低能量有多大有多大? (2)由由n =2态跃迁到态跃迁到n =1态态时，质子放出时，质子放出 多大能量的光子多大能量的光子? 解：解：Phnna22 anhP2 222282mahnmpEEK （2） n=2 1时：时：EE2=E18ma23h2=3(6.6310-34)2=9.8710-13 (J)=

26、81.6710-2710-28(6.6310-34)2=3.2910-13 (J)=81.6710-2710-28（1）最小能量为）最小能量为 (n=1时时)：2222182mahmpEEK 两种不同金属材料连接在一起，其接触面将形成势垒，两种不同金属材料连接在一起，其接触面将形成势垒，势垒高度为势垒高度为U0 0。并设粒子的总能量并设粒子的总能量En n 势垒高度势垒高度U0 0。例如：例如： 衰变，衰变， 用经典力学来研究，粒子不能够穿透势垒。在用经典力学来研究，粒子不能够穿透势垒。在势垒中无电流产生。势垒中无电流产生。 实验证明，能量低于势垒高度的自由电子也能实验证明，能量低于势垒高度的

27、自由电子也能穿透势垒进入另一金属区穿透势垒进入另一金属区.四、一维势垒、隧道效应四、一维势垒、隧道效应(一维散射问题一维散射问题) )(1x)(2x)(3x粒子在图中三个区域的波函数分别为粒子在图中三个区域的波函数分别为),(1x),(2x。)(3xmoanE0UU(x)一维方势垒是指粒子受到势能为一维方势垒是指粒子受到势能为 ), 0( 0)0( )(0axxaxUxU的作用，的作用，称为一维方势垒称为一维方势垒。0U)(xUaIIIxIIIOE0UE )0(0121212xkdxd)0(0222222axkdxd )(0323232axkdxd 2212mEk 2022)(2EUmk 在三

28、个区域内的在三个区域内的波函数波函数满足的满足的方程方程分别为：分别为：2232mEk xikxikeAeA11211 0U)(xUaIIIxIIIOxkxkBeBe222 )(131axikeC 入射波入射波反射波反射波透射波透射波 考虑粒子是从考虑粒子是从 I 区入射，在区入射，在 I 区中有入射波区中有入射波反射波；粒子从反射波；粒子从I 区经过区经过II 区穿过势垒到区穿过势垒到 III 区，区，在在III 区只有透射波。区只有透射波。粒子在处的几率要大粒子在处的几率要大于在处出现的几率。于在处出现的几率。0 xax )0()0(21 )()(32aa 0201|)(|)( xxdxx

29、ddxxd axaxdxxddxxd |)(|)(32 根据波函数根据波函数单值、连续单值、连续的标准条件的标准条件2123| )0(| )(| aP ) 02exp()2exp(| ) 0(| )(|222222kBakBa ) )(22exp()2exp(02EUmaak 透射系数：透射系数： 可见，可见，a、m及及(U0-E ) 值越小值越小，粒子的透射，粒子的透射系数系数P 越大。越大。 当当 U0 - E=5eV ，势垒的宽度约，势垒的宽度约50nm 以上时，透射以上时，透射系数会小六个数量级以上（几乎为零），隧道效应实际系数会小六个数量级以上（几乎为零），隧道效应实际上已经没有意义

30、了。量子力学与经典力学趋于一致了。上已经没有意义了。量子力学与经典力学趋于一致了。 , ,并已广并已广泛应用。例如泛应用。例如, , 粒子从放射性核中释放出来、场致电粒子从放射性核中释放出来、场致电子发射及半导体和超导体的隧道器件等都是隧道效应的子发射及半导体和超导体的隧道器件等都是隧道效应的结果结果如利用隧道效应已研制成了隧道二极管和扫描隧如利用隧道效应已研制成了隧道二极管和扫描隧道显微镜道显微镜（简称（简称STM.STM.是研究材料表面结构的重要工是研究材料表面结构的重要工具具) ) 。 隧道效应隧道效应： 粒子能穿透比其能粒子能穿透比其能量量 E 更大的于势垒高更大的于势垒高度度 U0

31、的现象。的现象。 ( EU0 ) 电子逸出金属表面的模型电子逸出金属表面的模型隧道效应隧道效应m振子质量，振子质量， 固有频率，固有频率，x位移位移五、五、一维谐振子一维谐振子（重要的物理模型）（重要的物理模型）1. 粒子的势能函数粒子的势能函数:mkxmkxU , 212122其中其中 (x) 一维谐振子的一维谐振子的定态波函数定态波函数。2.2.哈密顿算符：哈密顿算符：22222212xmdxdmH 3.由由定态薛定谔方程定态薛定谔方程:)()()212(22222xExxmdxdm )()(xExH 得到得到 能量是量子化的能量是量子化的 能量间隔能量间隔: : h 最低能量最低能量(

32、(零点能零点能):):0210 E,2 , 1 ,0)21()21( nnhnEn 为使波函数满足标准化条为使波函数满足标准化条件，谐振子件，谐振子能量必须满足能量必须满足量子化条件量子化条件:能能量量的的本本征征值值 nEOx2 1n2 n3 n0n221kxU U hE210 hE231 hE252 说明原子并不静止说明原子并不静止,仍有零点振动仍有零点振动满足方程的满足方程的定态波函数定态波函数： )()()1(222221xnnxnnnexddeNx !2 nNnn m .210第第二二激激发发态态第第一一激激发发态态；基基态态； nnn其中其中量子数量子数 .2 , 1 , 0 n4

33、. 4. 与经典谐振子的比较与经典谐振子的比较. .基态位置概率分布基态位置概率分布 量子：在量子：在x=0=0处概率最大。处概率最大。22200)()(xexxW 经典：在经典：在x=0=0处概率最小处概率最小. . .符合玻尔对应原理符合玻尔对应原理 n 量子概率分布量子概率分布 经典概率分布经典概率分布 能量量子化能量量子化 能量取连续值能量取连续值 最低能量最低能量( (零点能零点能) )0210 E最低能量为零。最低能量为零。. .尽管振子的能量尽管振子的能量与量子力学计算结果有与量子力学计算结果有1/2hv的偏的偏差，但差，但 能量的改变还是能量的改变还是hv的整数倍，与的整数倍，

34、与普朗克假设普朗克假设一致一致。 例例4、 设线性谐振子处在设线性谐振子处在基态和第一激基态和第一激发态的波函数分别为发态的波函数分别为1e2a2x21=2a31/20e2a2x21=a24求：在这两状态时求：在这两状态时概率最大的位置概率最大的位置。 ma 其中：其中：0=a24e-a2x2/2解：解：(1)基态概率分布函数基态概率分布函数d=0(-2a2xe-a2x2)dx20=a21=2a31/2xe-a2x2/2求极值，由求极值，由得到得到 x=0, 由二阶导数小于零可知由二阶导数小于零可知x=0处是极大值。处是极大值。20=a2e-a2x2（2）在第一激发态的波函数为：）在第一激发态的波函数为：1=2a31/2x2e-a2x22=xa1=x2a21得到：得到：=2a31/2ddx21(2xe-a2x2 -2a2x3e-a2x2)=0由由