2011高考数学一轮 第九章空间中的平行直线与异面直线学案课件2 新人教A版.ppt

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1、考点一考点一考点二考点二考点三考点三 1.空间两条直线的位置关系有三种：空间两条直线的位置关系有三种： . 2.平行直线平行直线 定义定义 同一平面内两条不相交的直线称为同一平面内两条不相交的直线称为 . 公理公理4 平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线 . 3.等角定理等角定理 如果一个角的两边和另一个角的两边别如果一个角的两边和另一个角的两边别 ，那么这两个角相等，那么这两个角相等.平行、相交、异面平行、相交、异面 互相平行互相平行 平行直线平行直线 平行并且方向相同平行并且方向相同 4.（1）异面直线的定义）异面直线的定义 异面直线是指异面直线是指 一个平面内的两条直线一

2、个平面内的两条直线. （2）异面直线的判定方法）异面直线的判定方法 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内 的直线是异面直线的直线是异面直线. （3）异面直线所成的角）异面直线所成的角 定义直线定义直线a,b是异面直线，经过空间任意一点是异面直线，经过空间任意一点O，分，分别引直线别引直线aa,bb，我们把直线，我们把直线a与与b所成的叫做所成的叫做 异面直线异面直线a与与b所成的角（或夹角）所成的角（或夹角）. （4）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就）如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说两条直线说两条直线 .互相垂直互相

3、垂直 不同在任何不同在任何 不经过此点不经过此点 锐角（或直角）锐角（或直角） 【例【例1】如图如图9-2-5所示所示,已知已知E，F分别是正方体分别是正方体AC1的棱的棱AA1，CC1上的点，且上的点，且AE=C1F，求证：四边形，求证：四边形EBFD1是平行四边形是平行四边形.【分析】【分析】证明四边形证明四边形EBFD1的一组对边平行且相等的一组对边平行且相等.考点一考点一 平行直线平行直线 【证明】【证明】在平面在平面CDD1C1中，过中，过C作作CGD1F交交DD1于点于点G，连，连EG，CG，在平面，在平面CDD1C1中易知中易知DG=C1F，DG=AE,DG AE,四边形四边形A

4、DGE为平行四边形为平行四边形.EG AD，又，又AD BC，EG BC，四边形四边形BEGC为平行四边形为平行四边形.BE GC，又，又GC D1F,BE D1F,四边形四边形EBFD1为平行四边形为平行四边形.=【评析】【评析】本题运用公理本题运用公理4证明了证明了BE D1F，关键利用了，关键利用了CG这一中间桥梁这一中间桥梁.=已知棱长为已知棱长为a的正方体的正方体ABCDABCD中，中，M，N分分别是别是CD，AD的中点，求证：的中点，求证：MNAC是梯形是梯形.如图，连结如图，连结AC，M,N为为CD，AD的中点，的中点，MN AC.由正方体性质可知由正方体性质可知AC AC,MN

5、 AC,四边形四边形MNAC是梯形是梯形.21=21=【例【例2】如图如图9-2-6，已知平面，已知平面平面平面=直线直线a，直线，直线b，直线，直线c,ba=A, ca,求证：求证：b与与c是异面直是异面直线线.【证明】证法一【证明】证法一：假设：假设b与与c不是异面直线，不是异面直线，则则b与与c或平行或相交或平行或相交.（1）若）若bc,ca,ab，这与这与ba=A矛盾，矛盾，b不平行于不平行于c.考点二考点二 异面直线的判定异面直线的判定 【分析】【分析】证明两条直线异面常用反证法或判定定理证明两条直线异面常用反证法或判定定理. （2）若）若b与与c相交，设相交，设bc=B, Bb且且

6、b,B. Bc,c,B. B是是与与的公共点的公共点. 又又=a,Ba. 又又Bc,ac=B.这与这与ac矛盾矛盾. b与与c不能相交不能相交. 综合（综合（1）（）（2）知）知b与与c是异面直线是异面直线. 证法二证法二：假设：假设b，c不是异面直线，即不是异面直线，即b与与c共面，共面， 设设b与与c确定的平面为确定的平面为，则，则=b,=c, ac,a,又又a且且=b, ab，这与，这与ab=A矛盾矛盾.因此因此b与与c不可能共面不可能共面. 故故b与与c是异面直线是异面直线. 证法三证法三：c,ab=A,=a,Aa,由由ac，有，有Ac,在直线在直线b上任取不同于上任取不同于A的点的点

7、B，b,B,AB与与c为异面直线，即为异面直线，即b，c异面异面.【评析】【评析】证法一、证法二是根据空间直线的三种位置关证法一、证法二是根据空间直线的三种位置关系，采用反证法证的系，采用反证法证的.反证法的关键一步是出现矛盾，常反证法的关键一步是出现矛盾，常常与已知公理、定义、定理或题设矛盾常与已知公理、定义、定理或题设矛盾.证法三是直接从证法三是直接从已知条件出发，运用异面直线的判定定理，导出结论的已知条件出发，运用异面直线的判定定理，导出结论的直接证法直接证法.如图所示，正方体如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M，N分别分别是是A1B1，B1C1的中点，问：的中点，问：（1

8、）AM和和CN是否是异面直线？说明理由；是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和和CC1是否是异面直线？说明理由是否是异面直线？说明理由. （1）不是异面直线）不是异面直线.理由：理由：M,N分别是分别是A1B1，B1C1的中点，的中点，MNA1C1.又又A1A D1D,而而D1D C1C，A1A C1C，四边形，四边形A1ACC1为平行四边形，为平行四边形，A1C1AC，MNAC,A,M,N，C在同一个平面内，在同一个平面内，故故AM和和CN不是异面直线不是异面直线.= （2）是异面直线）是异面直线.证明如下：证明如下：假设假设D1B与与CC1在同一个平面在同一个平面D1CC1内，则内，则B

9、平面平面CC1D1，C平面平面CC1D1，BC平面平面CC1D1，这与，这与BC是正方体的棱相矛盾，是正方体的棱相矛盾，假设不成立，故假设不成立，故D1B与与CC1是异面直线是异面直线.【例【例3】已知长方体已知长方体ABCDABCD中中AB=a,BC=b,AA=c(ab)，求异面直线，求异面直线DB和和AC所成角的所成角的余弦值余弦值.【分析】【分析】求异面直线所成角的求异面直线所成角的关键是作出角，转化为可解三关键是作出角，转化为可解三角形的内角角形的内角.考点三考点三 异面直线所成的角异面直线所成的角 【解析】【解析】方法一：平移法方法一：平移法.如图如图,连结连结BD交交AC于于E，取

10、取DD的中点的中点F，连结，连结EF.则则EF DB.FEA是是DB和和AC所成的角或为其补角所成的角或为其补角.AE= ,且且EF= ,AF= ，在在FEA中，中，ab,cosEFA0,DB与与AC所成角的余弦值为所成角的余弦值为222ba 2222cba2422bc )(2cos2222222222cbababaAEEFAFAEEFFEA)(2222222cbababa21=方法二方法二:补形法补形法.在长方体的一旁，补一个全等的长方体在长方体的一旁，补一个全等的长方体,如图所示如图所示.则则BE AC,DBE（或其补角）是（或其补角）是DB和和AC所成的所成的角角.DB= ,BE= ,D

11、E=在在DBE中，中，故故DB与与AC所成角的余弦值为所成角的余弦值为=22ba 0)(2cos2222222222cbababaBEBDEDBEBDBED)(2222222cbababa222cba224ca 【评析】【评析】求异面直线所成的角的一般步骤：求异面直线所成的角的一般步骤： 构造：根据异面直线定义，一般是平移法作出异构造：根据异面直线定义，一般是平移法作出异面直线所成的角面直线所成的角; 认定：证明作出的角就是要求的角认定：证明作出的角就是要求的角; 计算：求角值，常利用三角形计算：求角值，常利用三角形.如图所示如图所示,已知直四棱柱已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1,AA1=

12、2，底，底面面ABCD是直角梯形，是直角梯形，A为直角，为直角，ABCD,AB=4,AD=2,DC=1,求异面直线求异面直线BC1与与DC所成角的大小（结果用所成角的大小（结果用反三角函数值表示）反三角函数值表示）.由题意由题意ABDC,C1BA是异面直线是异面直线BC1与与DC所成的角或其补角所成的角或其补角.连连结结AC1与与AC，在，在RtADC中中 ，可得，可得AC= ，又在，又在RtACC1中，可得中，可得AC1=3.在梯形在梯形ABCD中，过中，过C作作CHAD交交AB于于H，得，得CHB=90,CH=2,HB=3,CB= .又在又在RtCBC1中，中，可得可得BC1= ,在在AB

13、C1中，中，异面直线异面直线BC1与与DC所成角的大小为所成角的大小为 .51317171732cos1212121BCABACBCABABC17173 空间两条直线位置关系有三种情况：相交、平行、空间两条直线位置关系有三种情况：相交、平行、异面，而两条直线异面是个重点异面，而两条直线异面是个重点.要正确理解异面直要正确理解异面直线的定义，其特征既不相交又不平行线的定义，其特征既不相交又不平行. 1.判定空间两直线是异面直线的方法：判定空间两直线是异面直线的方法： (1)异面直线的定义异面直线的定义. (2)异面直线的判定定理异面直线的判定定理. (3)反证法反证法. 2.求两条异面直线所成的角的大小求两条异面直线所成的角的大小 ， 一般方法是一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决决.根据空间等角定理及推论、异面直线所成的角的根据空间等角定理及推论、异面直线所成的角的大小与顶点位置无关，将角的顶点取在其中的一条直大小与顶点位置无关，将角的顶点取在其中的一条直线上，特别地可以取其中一条直线与另一条直线所在线上，特别地可以取其中一条直线与另一条直线所在平面的交点或异面线段的端点平面的交点或异面线段的端点.