最新大学物理（2-1曲晓波-第1章 质点运动学教学课件.ppt

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1、授课教师授课教师: : 曲晓波曲晓波联系电话：联系电话：1836626275718366262757电子邮件：电子邮件：答疑时间答疑时间: : 待定待定答疑地点：待定答疑地点：待定交作业时间交作业时间: :每周第一次课每周第一次课大学物理（大学物理（2-12-1）时空弯曲；广义相对论时空弯曲；广义相对论光为什么在不同的媒质界面发生折射？折射时为什么遵守折光为什么在不同的媒质界面发生折射？折射时为什么遵守折射定律？（最小作用量原理）射定律？（最小作用量原理）微观：微观：物质的构成单元无限可分吗？物质的构成单元无限可分吗？电子与反电子；质子与反质子；中子与反中子。反物质电子与反电子；质子与反质子；

2、中子与反中子。反物质的宇宙在哪里？反物质世界中的物理规律如何？的宇宙在哪里？反物质世界中的物理规律如何？静电平衡时，为何表面曲率小处电荷密度大？静电平衡时，为何表面曲率小处电荷密度大？光学：光的本质是什么？光在真空中一定沿直线传播吗？光学：光的本质是什么？光在真空中一定沿直线传播吗？介观：介观：介于宏观与微观之间的物理现象。介于宏观与微观之间的物理现象。 经典物理学经典物理学经典力学经典力学：哥白尼：哥白尼( (波波),),伽利略伽利略( (意意),),牛顿牛顿( (英英) )；热力学理论热力学理论：卡诺，焦耳，开尔文，克劳修斯等；：卡诺，焦耳，开尔文，克劳修斯等；气体气体分子动理论分子动理论

3、：克劳修斯，麦克斯韦，玻耳兹曼等；：克劳修斯，麦克斯韦，玻耳兹曼等；经典电磁理经典电磁理论论：库仑，奥斯特，安培，法拉第，麦克斯韦等。：库仑，奥斯特，安培，法拉第，麦克斯韦等。相对论相对论爱因斯坦爱因斯坦( (德德) )量子力学量子力学普朗克普朗克( (法法),),玻尔玻尔( (丹丹),),伯恩伯恩( (德德),),薛定谔薛定谔( (奥奥),),德布罗意德布罗意( (法法),),海森伯海森伯( (德德),),狄拉克。狄拉克。3.3.物理学与科学技术物理学与科学技术 科学解决理论问题，技术解决实际问题。科学是和未知打科学解决理论问题，技术解决实际问题。科学是和未知打交道，而技术在相对成熟的领域内

4、工作。交道，而技术在相对成熟的领域内工作。非线性物理学非线性物理学( (混沌混沌) )2.2.物理学史及著名物理学家简介物理学史及著名物理学家简介: :物理学的发展已有物理学的发展已有26002600多年的多年的历史历史 事实证明自然科学的理论研究一旦获得重大突破，必将为事实证明自然科学的理论研究一旦获得重大突破，必将为生产和技术带来巨大进步。生产和技术带来巨大进步。科学技术是第一生产力科学技术是第一生产力。1818世纪世纪6060年代年代第一次技术革命第一次技术革命蒸汽机的应用蒸汽机的应用牛顿力学和热力学发展牛顿力学和热力学发展的结果；的结果；1919世纪世纪7070年代年代第二次技术革命第

5、二次技术革命电力的应用电力的应用电磁理电磁理论发展的结果；论发展的结果；2020世纪世纪第三次技术革命第三次技术革命原子能、电子计算原子能、电子计算机、激光等机、激光等相对论和量子力学。相对论和量子力学。六大技术群：能源技术、材料技术、信息技术、生物技术、六大技术群：能源技术、材料技术、信息技术、生物技术、空间技术和海洋技术。空间技术和海洋技术。4.4.物理学的方法论和科学观物理学的方法论和科学观 物理学家已总结出一套获得知识、组织知识和运用知识的物理学家已总结出一套获得知识、组织知识和运用知识的有效步骤和方法：有效步骤和方法：从新的观察和实验事实中提出命题；建从新的观察和实验事实中提出命题；

6、建立物理模型，提出新的假说和原理；用新理论对一些物理现立物理模型，提出新的假说和原理；用新理论对一些物理现象作出预言；理论要用实验事实验证；与事实不符时要对象作出预言；理论要用实验事实验证；与事实不符时要对理论进行修正。理论进行修正。 物理学的研究成果源源不断地在高技术发展中得到应用，物理学的研究成果源源不断地在高技术发展中得到应用，而高技术的发展又对物理学提出层出不穷的研究课题。而高技术的发展又对物理学提出层出不穷的研究课题。5.5.怎样学习物理学怎样学习物理学 21 21世纪科学技术的进步，必将在极大程度上依赖于物理学的世纪科学技术的进步，必将在极大程度上依赖于物理学的发展。因此，大学物理

7、教学对于培养具有坚实基础的、能参与国发展。因此，大学物理教学对于培养具有坚实基础的、能参与国际竞争的高级工程技术人才是至关重要的。物理素质是现代高水际竞争的高级工程技术人才是至关重要的。物理素质是现代高水平工程技术人才素质结构中的最基础的部分，素质与知识和能力平工程技术人才素质结构中的最基础的部分，素质与知识和能力是密切相关的，素质的培养需要一定的知识和能力为基础。是密切相关的，素质的培养需要一定的知识和能力为基础。 培养获取知识的能力（课堂教学；博览群书（自学）；互培养获取知识的能力（课堂教学；博览群书（自学）；互相交流讨论；多观察勤思考）；提高科学文化素质；培养提相交流讨论；多观察勤思考）

8、；提高科学文化素质；培养提出问题的能力（对遇到的问题多问几个为什么？）；培养解出问题的能力（对遇到的问题多问几个为什么？）；培养解决问题的能力和提高应用知识的能力。决问题的能力和提高应用知识的能力。B) B) 培养科学素质培养科学素质( (科学方法、科学态度、科学的世界观、人生观科学方法、科学态度、科学的世界观、人生观) )C) C) 科学美的体验和感受科学美的体验和感受A) A) 物理学是自然科学的许多领域和工程技术的基础物理学是自然科学的许多领域和工程技术的基础。 物理学是理工科各专业学生的一门重要的基础课。同学物理学是理工科各专业学生的一门重要的基础课。同学们应牢固地掌握物理学的基本理论

9、和基本知识，深刻理解物们应牢固地掌握物理学的基本理论和基本知识，深刻理解物理规律的意义，并在运算能力和独立钻研能力等方面受到严理规律的意义，并在运算能力和独立钻研能力等方面受到严格的训练，为今后学习专业知识及近代科学技术打下必要的格的训练，为今后学习专业知识及近代科学技术打下必要的物理基础。物理基础。 物理学研究多种物质运动形态和多种相互作用，因此物物理学研究多种物质运动形态和多种相互作用，因此物理学具有许多有特色的科学观点和研究方法。例如能量的、理学具有许多有特色的科学观点和研究方法。例如能量的、粒子的、场的、对称与守恒的观点，分析、综合、演绎、归粒子的、场的、对称与守恒的观点，分析、综合、

10、演绎、归纳、叠加、类比、联想、试探以及唯象的、统计的、定性与纳、叠加、类比、联想、试探以及唯象的、统计的、定性与半定量的分析问题的方法。通过物理学的学习，应使自己掌半定量的分析问题的方法。通过物理学的学习，应使自己掌握物理学的这些观点和方法，使之能够根据物理学的普遍规握物理学的这些观点和方法，使之能够根据物理学的普遍规律理解各种物理现象，进而逐步学会抓住物理本质，提出问律理解各种物理现象，进而逐步学会抓住物理本质，提出问题、分析问题与解决问题。题、分析问题与解决问题。本章重点：本章重点：1.2；1.3 质点运动学研究质点的位置、位移、质点运动学研究质点的位置、位移、速度、加速度等随时间变化的规

11、律。速度、加速度等随时间变化的规律。 第第1章章 质点运动学质点运动学1.1.1 参考系参考系(reference frame)和坐标系和坐标系(coordinate)参考系参考系：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。：为了描述物体的运动而选取的参考标准物体。 （运动描述的相对性）（运动描述的相对性）在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然在运动学中，参考系的选择是任意的；在动力学中则不然坐标系坐标系：直角坐标系直角坐标系、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等、自然坐标系、极坐标系、球坐标系等. .说明说明1.1 运动学的一些基本概念运动学的一些基本概念1.1.21.1.2 时间和空

12、间的计量时间和空间的计量时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间表征物理事件的顺序性和物质运动的持续性。时间测量的时间测量的标准单位是秒。标准单位是秒。1967年定义秒为铯年定义秒为铯133原子基态的两个超精细原子基态的两个超精细能级之间跃迁辐射周期的能级之间跃迁辐射周期的9192631770倍。量度时间范围从宇宙倍。量度时间范围从宇宙年龄年龄1018s(约约200亿年）到微观粒子的最短寿命亿年）到微观粒子的最短寿命 10-24s.极限的时间极限的时间间隔为普朗克时间间隔为普朗克时间10-43s，小于此时间，现有的时间概念就不适，小于此时间，现有的时间概念就不适用了。用了。1 1、时间

13、及其计量、时间及其计量2 2、空间及其计量、空间及其计量空间反映物质运动的广延性。空间反映物质运动的广延性。在巴黎国际标准局在巴黎国际标准局标准米尺；标准米尺；1983年定义米为真空中光在年定义米为真空中光在1/299792458s时间内所行经的距离。时间内所行经的距离。空间范围从宇宙范围的尺度空间范围从宇宙范围的尺度1026 m(约约200亿光年）到微粒的尺度亿光年）到微粒的尺度10-15 m。极限的空间长度为普朗克长度。极限的空间长度为普朗克长度10-35m，小于此值，现有，小于此值，现有的空间概念就不适用了。的空间概念就不适用了。1.1.3 质点（质点（mass point）相对性；理想

14、模型；质点运动是研究物质运动的基础相对性；理想模型；质点运动是研究物质运动的基础. .具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。具有物体的质量，没有形状和大小的几何点。说明说明在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多个质点组在不能把物体当作质点时，可把整个物体视为由许多个质点组成的质点系，弄清每个质点的运动情况，就可以了解整个物体成的质点系，弄清每个质点的运动情况，就可以了解整个物体的运动。的运动。1.2.11.2.1 位置矢量位置矢量( position vector )位置矢量的方向位置矢量的方向: : 位置矢量的大小：位置矢量的大小：rzryrx cos ,cos , cos在直角坐

15、标系中位置矢量为在直角坐标系中位置矢量为: :kzjyixr 222zyxrr 1.2 描述质点运动的基本物理量描述质点运动的基本物理量参考系参考系坐标系坐标系原点和坐标轴原点和坐标轴 在直角坐标系中，在在直角坐标系中，在t 时刻某质点时刻某质点在点在点P的位置可用自坐标系原点的位置可用自坐标系原点O指向指向点点P的有向线段的有向线段 表示，矢量表示，矢量 称为称为位置矢量，简称位矢位置矢量，简称位矢. . rr要注意矢量的写法要注意矢量的写法 ！注意：注意：课本上用加粗与非加粗区分矢量与标量。课本上用加粗与非加粗区分矢量与标量。实际书写运算时用实际书写运算时用 表示矢量形式。表示矢量形式。r

16、不应出现以下错误：不应出现以下错误：tr10 tir10 i tr10 应为：应为：10rti 10 xt 1.2.21.2.2 运动方程运动方程质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的位置随时间变化的函数关系，称为质点的运动方程。质点的运动方程。ktzjtyitxr)()()( 在直角坐标系中，在直角坐标系中，),(zyxx 根据轨迹的形状，质点运动分为根据轨迹的形状，质点运动分为直线运动直线运动 和和 曲线运动曲线运动。质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点在空间连续经过的各点连成的曲线即质点的运动轨迹质点的运动轨迹。轨迹方程轨迹方程( (trajectory) )：从运动方程中消去从

17、运动方程中消去t，则可得：，则可得：或：或：)(),(),(tzztyytxx 21rrr在直角坐标系中：在直角坐标系中：从质点初位置到质点末位置所引的矢量从质点初位置到质点末位置所引的矢量 定义为位移定义为位移。r 位移矢量的大小位移矢量的大小222zyxr 位移矢量的方向位移矢量的方向rz ,ry ,rxcoscoscos1.2.31.2.3 位移矢量位移矢量( (displacement) ) 路程路程kzj yixr 1111xyzrijk2222xyzrijk212121()()()rxx iyy jzz k )| (|rrrrrr , sr 一一般般。但但srdd 和和是两个不同的

18、概念是两个不同的概念r r4）位移只取决于初末位置，与原点的选择无关位移只取决于初末位置，与原点的选择无关（位矢与原点的选择有关）。（位矢与原点的选择有关）。3）位移与路程的区别：位移与路程的区别：2）位移大小位移大小 与与位矢大小增量位矢大小增量 的区别：的区别： r r 说明说明何时相等？何时相等？1.2.41.2.4 速度矢量（速度矢量（Velocity）: : 表示表示质点运动快慢及方向质点运动快慢及方向的物理量的物理量0 t令令 rrr 12 1、平均速度平均速度2、瞬时速度瞬时速度( 速度速度 ) ：trtrvddlim0t方向沿切向，并指向前进方向。方向沿切向，并指向前进方向。在

19、直角坐标系中：在直角坐标系中：ktzjtyitxtrvdddddddd tzvtyvtxvzyxdd,dd,dd 222zyxvvvvv 速度大小速度大小定义：定义：trv 平均速率平均速率tsv 瞬时速率瞬时速率3、速率：、速率：tstrvvdddd ？trddtrtsdddd 且且一一般般地地含义不同，含义不同，与与trtsdddd 平均速度和平均速率；瞬时速度和瞬时速率平均速度和平均速率；瞬时速度和瞬时速率注意区分以下几个概念：注意区分以下几个概念：定义：平均加速度定义：平均加速度 = =tv 220trtvtvatddddlim 瞬时加速度瞬时加速度: :vvv 方向：方向： t t0

20、 0 时时 的的极限方向极限方向。在曲线运动中，。在曲线运动中， 总是指向曲线的总是指向曲线的凹侧凹侧。v 1.2.51.2.5 加速度矢量（加速度矢量（acceleration）: :表示表示速度变化快慢速度变化快慢的物理量的物理量大小：大小：ddvaatddvt 在直角坐标系中：在直角坐标系中：kajaiaazyx 222zyxaaaaa 加速度的方向加速度的方向加速度的大小加速度的大小aaaaaazyx cos ,cos ,cos222222dddddd, , ddddddyzxxyzvvvxyzaaatttttt 其中分量为其中分量为解解 根据质点根据质点速度的定义速度的定义jtRit

21、R)cos()sin( 则有则有tRv tRvyxcossin ;速度的大小速度的大小222(sin)(cos)yvRtRtR 2xv= v根据质点根据质点加速度的定义加速度的定义rjtRitR222)sin()cos( trvddtvadd 例题例题1- -1 已知质点的运动方程是已知质点的运动方程是jtRitRr)sin()cos( 式中式中R,都是正值常量。都是正值常量。求质点的速度和加速度的大小，并求质点的速度和加速度的大小，并讨论它们的方向。讨论它们的方向。加速度的大小加速度的大小则有则有tRatRayx sin ;cos22 2222222)sin()cos( RtRtRaaayx

22、 根据根据矢量的点积运算矢量的点积运算，分别计算，分别计算0 )sin()cos()cos()sin( jtRitRjtRitRrv 0 )sin()cos()cos()sin(22 jtRitRjtRitRav 质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方质点做匀速率圆周运动。质点的速度沿圆的切线方向，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。向，加速度沿半径指向圆心；速度和加速度互相垂直。结论结论 例题例题1-2 一质点作平面运动，已知加速度为一质点作平面运动，已知加速度为 ，其中，其中A A、B B、均为正常数，且均为正常数，且A AB B, , A A0, 0, B B00。初始条件

23、为。初始条件为t=t=0 0时，时， 。求该质。求该质点的运动轨迹。点的运动轨迹。 2cos,xaAt 2sinyaBt 00,xv 0yvB ，,Ax 000 y解解 这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨迹方程的问题。迹方程的问题。 由加速度三个分量由加速度三个分量 222 tztva,tytva,txtvazzyyxxdddddddddddd222 的定义可得的定义可得 ttxxxtAttAtavv0200sindcos0d 2000dsindcosttyyyvvatBBt tBt 000dsindcosttxxxvtAA

24、t tAt 000d0cosdsinttyyyvtBt tBt 从从x,y的表示式中消去的表示式中消去t ，即可得质点的运动轨迹方程为，即可得质点的运动轨迹方程为: :12222 ByAx结果表明，质点的运动轨迹为结果表明，质点的运动轨迹为椭圆椭圆。例题例题1-3 一质点沿一质点沿x轴正向运动，其加速度与位置的关系为轴正向运动，其加速度与位置的关系为a=3+2x。若在。若在x=0处，其速度处，其速度v0=5m/s，求质点运动到，求质点运动到 x =3m处时处时所具有的速度。所具有的速度。 解解 已知已知 ，由加速度的定义式得：，由加速度的定义式得： xa23 xatv23dd xxvvtxxv

25、tv23dddddddd xxvvd)23(d根据初始条件作定积分根据初始条件作定积分 3 5 0d(32 )dvv vxx1sm81. 7v速度的方向沿速度的方向沿x轴正向。轴正向。 解解 选取选取竖直向上为竖直向上为y 轴的正方向轴的正方向，坐标原点在抛点处。，坐标原点在抛点处。kvf 设小球上升运动的瞬时速率为设小球上升运动的瞬时速率为v，阻力系数为，阻力系数为k，则空气则空气阻力阻力为为此时小球的此时小球的加速度加速度为为vmkga 即即)(ddkmgvmktv 作作变换变换yvvtyyvtvdddddddd 整理则得整理则得yvkmgvkmgkmdd)/1( 例题例题1-4 以初速度

26、以初速度v0由地面竖直向上抛出一个质量为由地面竖直向上抛出一个质量为m 的小球，的小球，若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升若上抛小球受到与其瞬时速率成正比的空气阻力，求小球能升达的最大高度是多少？达的最大高度是多少？根据初始条件，作根据初始条件，作定积分定积分 yvvyvkmgvkmgkm 0 dd)/1(0可得可得kmgvkmgvkgmvvkmy/ln)(0220 当小球达到当小球达到最大高度最大高度 H 时，时，v = = 0。可得。可得)1ln(0220mgkvkgmvkmH 例题例题1-5 已知一质点由静止出发，它的加速度在已知一质点由静止出发，它的加速度在x轴和轴

27、和y轴上的分轴上的分量分别为量分别为ax=10t 和和ay=15t 2 。求。求t=5s 时质点的速度和位置。时质点的速度和位置。解解 取质点的出发点为坐标原点，由定义得取质点的出发点为坐标原点，由定义得dddd210 , 15yxxyvvatattt 根据题意，初始条件为根据题意，初始条件为 t =0 ,v0 x=0 ,v0y=0 ，对上式进行积分，得，对上式进行积分，得22300 10 d5, 15d5ttxyvt ttvttt 231(55 )m svt it j t =5s代入上式得代入上式得15s(125625 )m stvij 利用初始条件利用初始条件 t = 0 , x0=0 ,

28、 y0=0 ，对，对 vx , vy 进行积分，得进行积分，得233400 5d5/ 3, 5d5/ 4ttxtttyttt 3455 ()m34tt rij 即即s代入上式得代入上式得 5 t5s6253125()m34trij 切向切向（tangential）单位矢量）单位矢量te法向法向（normal）单位矢量）单位矢量ne1.3.1 自然坐标系自然坐标系1.3 平面曲线运动平面曲线运动其方向都是随位置（时间）变化的其方向都是随位置（时间）变化的在质点运动的轨迹上任取一点在质点运动的轨迹上任取一点 O 作为自然坐作为自然坐标系的原点，沿轨迹规定一个弧长正方向，标系的原点，沿轨迹规定一个弧

29、长正方向，则可以用由原点到质点所在位置的则可以用由原点到质点所在位置的弧长弧长 s 来来描述质点的位置描述质点的位置)(tss 在自然坐标系中弧长在自然坐标系中弧长 s 是可正可负的坐标量，当质点是可正可负的坐标量，当质点P 位于位于O点弧长正方向一侧时取正值，处于点弧长正方向一侧时取正值，处于O点另一侧时取负值。点另一侧时取负值。ttddsvveetttnnaa ea e 速度矢量表示为速度矢量表示为加速度矢量表示为加速度矢量表示为Pte ne tta e 称为切向加速度称为切向加速度 nnae称为法向加速度称为法向加速度 1.3.2 质点作圆周运动时的切向加速度和法向加速度质点作圆周运动时

30、的切向加速度和法向加速度tsv evvtdd由由加速度的定义加速度的定义Oneddte te dtete te td(dddddddtt)veevvaevtttt tddet tdetenetnddee是矢量，方向垂直于是矢量，方向垂直于并指向圆心，与并指向圆心，与的方向一致。的方向一致。的长度等于的长度等于1 1，于是有，于是有由于由于tedd2tnttnnvvaeea ea etR2t2ddddvsatt2nvaR 22ntaaaantarctanaa质点质点速率变化速率变化的快慢的快慢质点质点速度方向变化速度方向变化的快慢的快慢切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度加速度的大小和方向加

31、速度的大小和方向nddetnd()deRR tn1 ddesRtnevR1.3.4 圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述1、角位置：角位置： 3、角位移：角位移： 1.3.3 一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度一般平面曲线运动中的切向加速度和法向加速度PO te ne 曲线上任一点曲线上任一点P 的附近极短的一段曲线上，的附近极短的一段曲线上，可用与它相切处曲率半径为可用与它相切处曲率半径为的圆弧来代的圆弧来代替，则一般平面曲线运动的切向加速度和替，则一般平面曲线运动的切向加速度和法向加速度：法向加速度：tddvat 2nva 22ntaaaatnarctanaa 2、运动方程运动方程

32、, ( )rRt 直线运动和圆周运动都可以看成是曲线运动的特例。直线运动和圆周运动都可以看成是曲线运动的特例。 从参考方向逆时针到达从参考方向逆时针到达P点的角位置为正值点的角位置为正值 yy 232)1( （瞬时）角速度（瞬时）角速度4、角速度、角速度平均角速度平均角速度t=5、角加速度角加速度平均角加速度平均角加速度t=t=t=ddlim0t（瞬时）角加速度（瞬时）角加速度角速度是矢量角速度是矢量，其方向垂直于质点运，其方向垂直于质点运动的平面，指向由动的平面，指向由右手螺旋法则右手螺旋法则确定：确定：当四指沿运动方向弯曲时，大拇指的当四指沿运动方向弯曲时，大拇指的指向就是角速度的方向。指

33、向就是角速度的方向。 220tddddlimt=t=t=匀速率圆周运动：匀速率圆周运动：=恒量，恒量，=0。变速率圆周运动：变速率圆周运动：恒量，恒量，一般也不是恒量。一般也不是恒量。匀变速圆周运动：匀变速圆周运动： =恒量。恒量。 0t20012tt22002 () 1.3.5 圆周运动中角量与线量的关系圆周运动中角量与线量的关系s = R00limlimtts=RttR2ddtnttnnvva =e +e = a e +a et2ddtna = Re + R etvR ta = R2na = R匀变速圆周运动匀变速圆周运动中的角位置、角速度和角加速度间的关系：中的角位置、角速度和角加速度间

34、的关系：形式与匀加速直线运动类似形式与匀加速直线运动类似sinRr sinvRr v rROyxzrvP 由由加速度的定义加速度的定义tv=add切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度()= r + r tr+rt=ddddr=atR=at()na = r2R=an角量与线量关系的矢量形式：角量与线量关系的矢量形式： 运动学中的两类问题运动学中的两类问题1、已知质点的已知质点的运动学方程，运动学方程，求质点的求质点的速度、加速度速度、加速度等等问题常称为运动学问题常称为运动学第一类问题第一类问题2、由由加速度和初始条件，加速度和初始条件，求求速度方程和运动方程速度方程和运动方程的问题的问题称

35、为运动学的称为运动学的第二类问题第二类问题微分微分积分积分)(trr a , v00 , ,rva)()(trr ,tvv 圆周运动的第二类运动学问题圆周运动的第二类运动学问题积分积分积分积分tv=atddt+v=vdtta00ts=vdd)(ts=s切向加速度切向加速度 at 和初始条件和初始条件速率方程和自然坐速率方程和自然坐标表示的运动方程标表示的运动方程角加速度角加速度 和初始条件和初始条件角速度方程和以角角速度方程和以角量表示的运动方程量表示的运动方程解解 （1）由由角速度角速度和和角加速度角加速度的定义，得的定义，得t=ddt=dd把把 t = 2s代入代入运动方程运动方程、角速度

36、角速度和和角加速度方程角加速度方程，可得，可得22233rad/s2421212rad/s273+2636rad2223+2232=t=+t=t+t= 例题例题1-6 一质点作半径为一质点作半径为 R=1.0m的圆周运动，其运动方程为的圆周运动，其运动方程为 =2t 3+3t，其中其中 以以 rad 计，计，t 以以 s 计。计。试求试求：（：（1）t = 2s时质点的角位置、角速度和角加速度。时质点的角位置、角速度和角加速度。 （2） t = 2s时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。时质点的切向加速度、法向加速度和加速度。362+t=t= 12（2）根据根据线量与角量的关系线量与角量的关

37、系，可得，可得2R=aR=ant 加速度加速度)(m/s729242ntnntte+e=ea+ea=a加速度的大小加速度的大小22222tn24729729.4m/saaa设加速度与法向加速度的夹角为设加速度与法向加速度的夹角为，则则tn24tan0.0329, 1.9729aa 222729m/s=271.0=24m/s=241.0=例题例题1-7 如图所示，汽车以如图所示，汽车以5m/s的匀速率在广场上沿半径为的匀速率在广场上沿半径为 R=250m的环形马路上行驶。当汽车油门关闭以后，由于与地的环形马路上行驶。当汽车油门关闭以后，由于与地面的摩擦作用，汽车沿马路匀减速滑行面的摩擦作用，汽车

38、沿马路匀减速滑行50m而停止，试求：而停止，试求：（1）汽车在关闭油门前运动的加速度。）汽车在关闭油门前运动的加速度。（2）汽车在关闭油门后）汽车在关闭油门后4s时运动的加速度。时运动的加速度。vnaaRO解解 （1）汽车关闭油门前时作匀速率圆周运动，）汽车关闭油门前时作匀速率圆周运动，其切向加速度和法向加速度分别为其切向加速度和法向加速度分别为22tn00, /0.1m saavR 其方向指向环心其方向指向环心O。 2n 0.1m saa （2）汽车在关闭油门后滑行）汽车在关闭油门后滑行50m而停止。汽车的切向加速度为而停止。汽车的切向加速度为222202tsm250sm502502 .sv

39、va油门关闭油门关闭4 s 时，汽车的速率为时，汽车的速率为114( )0t5( 0.25) 4m s4m ssvva t 此时法向加速度为此时法向加速度为: : 224nsm0640 .Rva总加速度的大小为总加速度的大小为: : 22n2tsm2580 .aaa总加速度与速度的夹角为总加速度与速度的夹角为 83165)256. 0arctan(arctantnaa例题例题1-8 一飞轮以一飞轮以n=1500r/min的转速转动，受到制动而均匀地减的转速转动，受到制动而均匀地减速，经速，经t=50s后静止。后静止。（1）求角加速度）求角加速度和从制动开始到静止时飞轮的转数和从制动开始到静止时

40、飞轮的转数N为多少？为多少？ ( 2）求制动开始）求制动开始t=25s时飞轮的角速度时飞轮的角速度（3）设飞轮的半径）设飞轮的半径R=1m时，求时，求t=25s时，飞轮边缘上一点的速度、时，飞轮边缘上一点的速度、切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度解解 （1 1）由匀变速圆周运动基本公式）由匀变速圆周运动基本公式0t 22015000260rad s rad s50t 从开始制动到静止，飞轮的角位移从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数及转数N分别为分别为 2200115050(50 )rad1250 rad22tt 12506252N 转转（2）t=25s时飞轮的角速度时飞轮的角速度为

41、为1101500225rad s25 rad s60t （3）t=25s时，飞轮边缘上一点的速度为时，飞轮边缘上一点的速度为切向加速度和法向加速度为切向加速度和法向加速度为1125 1m s25 m svR 22t 1m s3.14m saR 22232n(25)1m s6.16 10 m saR 解解 设加速度与速度方向的夹角为设加速度与速度方向的夹角为，则，则tnaa tan2ddtantanntavvatR 即即 tandd2Rtvv 所以所以两边积分两边积分 tan11tandd0 0 20RtvvRtvvtvv tvRRvv00tantan 例题例题1-9 质点沿半径为质点沿半径为

42、R 的圆轨道运动，初速度为的圆轨道运动，初速度为v0，加，加速度与速度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时速度与速度方向的夹角恒定，如图所示求速度的大小与时间的关系间的关系OPRa v 解解: 取取t =0时质点的位置时质点的位置O为自然坐标系原点，以质点运动的为自然坐标系原点，以质点运动的方向为自然坐标正向，并设任意时刻方向为自然坐标正向，并设任意时刻t质点的速度为质点的速度为v，自然坐，自然坐标为标为s .（1）tvaddt tavddt tvtav0t0ddtva tRtaRva22t2n 2t222t2t2n)(aRtaaaa 代入代入 t =1s，可得质点的速度和加速度的大小为，

43、可得质点的速度和加速度的大小为 OO例题例题1-10 质点沿半径质点沿半径R=3m的圆周运动，如图。已知切向加的圆周运动，如图。已知切向加速度速度at=3m/s2, t =0 时质点在时质点在O点，其速度点，其速度v0=0 ，试求：，试求：（1）t =1s时质点速度和加速度的大小；时质点速度和加速度的大小；（2）第）第2秒内质点所通过的路程。秒内质点所通过的路程。 利用初始条件作定积分利用初始条件作定积分（2 2）由）由 得得 ，利用初始条件作定积分，利用初始条件作定积分tsvdd tvsdd tsttas0t0dd2t21tas 代入数据可得第代入数据可得第2 2秒内质点通过的路程为秒内质点

44、通过的路程为 m5 . 4m)12(32122 s-1-1tsm3sm13 tav2222222t222tsm24. 4sm3)313()( aRtaa 同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度同一质点在不同参考系中的位置矢量、速度和加速度等物理量之间的关系的规律。等物理量之间的关系的规律。物体运动的描述物体运动的描述依赖于依赖于观察者所处的观察者所处的参考系参考系. .1.4 相对运动相对运动Drr uvv伽利略速度相加定理伽利略速度相加定理位移相加定理位移相加定理,x x ,O O PP yy yy PP Qr r D x x ，D O Ou 0t tt S（Oxy）系和）系和S（O

45、xy）系在）系在t =0时重合，时重合，P、P点重合。在点重合。在t 时间时间内内S相对相对S 位移位移 ，则：，则：D 除以除以t，取极限，得，取极限，得牵牵v（S 系系相对于相对于S系）系）相相v（相对于（相对于S 系）系）绝绝v（相对于（相对于S系）系）BCCABAvvv对对对对对对 , rDSrS 是是 系系中中测测得得的的，是是在在 系系中中测测得得的的。而位移相加定理是相对同一参考系来说的。这里默认了而位移相加定理是相对同一参考系来说的。这里默认了长度和时间的测量与参考系的相对运动无关。说明长度长度和时间的测量与参考系的相对运动无关。说明长度和时间的测量是绝对的和时间的测量是绝对的

46、牛顿时空观（牛顿时空观（绝对时空观绝对时空观）。适用条件适用条件: :宏观、低速情况宏观、低速情况Drr 说明：说明：对于对于若若u为常量，则为常量，则00a aa即：在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察同一质即：在相对作匀速直线运动的不同参考系中观察同一质点的运动，所得的加速度相同。点的运动，所得的加速度相同。tutvtvd dd dd dd dd dd d0aaaBCCABAaaa对对对对对对 例题例题1-11 一带蓬卡车高一带蓬卡车高h=2m，它停在马路上时雨点可落在车，它停在马路上时雨点可落在车内到达蓬后沿前方内到达蓬后沿前方d=1m处，当它以处，当它以15 km/h 速率沿平直马路

47、行速率沿平直马路行驶时，雨滴恰好不能落入车内，如图所示。求雨滴相对地面的驶时，雨滴恰好不能落入车内，如图所示。求雨滴相对地面的速度及雨滴相对车的速度。速度及雨滴相对车的速度。 1d2h5uvv解解 选地面为选地面为S系，车为系，车为S系，系， S系相对系相对S系运动速率为系运动速率为u=15km/h。所求雨滴相对。所求雨滴相对地面的速度为地面的速度为 ，雨滴相对车的速度，雨滴相对车的速度为为 。根据伽利略速度相加定理，则有。根据伽利略速度相加定理，则有v vuvv 40.63arctan dh 且且 与与u 垂直，故可得垂直，故可得 v11hkm5 .33hkm4 .63cos15 uvcos

48、11hkm95.29hkm4 .63sin5 .33sin vv由已知条件由已知条件 得与地面的夹角得与地面的夹角 v 例题例题1-12 在相对地面静止的坐标系内，在相对地面静止的坐标系内，A，B两船都以两船都以2m/s的速率匀速行驶，的速率匀速行驶，A船沿船沿x轴正向，轴正向，B船沿船沿y轴正向，今在轴正向，今在A船船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x，y单位矢量分别单位矢量分别用用 表示），求在表示），求在A船上看船上看B船的速度。船的速度。ji,解解 选地面为选地面为S系，系，A船为船为S系，系，B船为运动物体，船为运动物体， S系相系相对对S系运

49、动速度为系运动速度为2 m/sui 2 m/svj 11s)m(s)m( jiijuvv2222根据伽利略速度相加定理，则根据伽利略速度相加定理，则B船对船对S系的运动速度为系的运动速度为B船对船对S系的运动速度为系的运动速度为解解 选选地面为地面为S系系，劈形物体为劈形物体为S ?系。系。在两参考系上建如图所示的坐标在两参考系上建如图所示的坐标系。系。木块相对木块相对S ?系的加速度系的加速度为为ji= ji=a3336sin30-6cos3000-SS系相对系相对S S系的加速度系的加速度为为04a = i根据根据加速度叠加原理加速度叠加原理，木块对地面的加速度木块对地面的加速度为为 例题

50、例题1-13 倾角倾角 = 300 的劈形物体放在水平地面上。当斜的劈形物体放在水平地面上。当斜面上的物体沿斜面下滑时，劈形物体以加速度面上的物体沿斜面下滑时，劈形物体以加速度4m/s2为向右运为向右运动。又知道木块相对斜面的加速度为动。又知道木块相对斜面的加速度为6m/s2，求木块相对地面，求木块相对地面的加速度。的加速度。0aaa j-ij-i=i+j-i-= 31.23)33-(44)333(-m/s2一、基本概念：一、基本概念：位矢：位矢：)(trr 运动学方程。运动学方程。位移：位移：12rrr 速度：速度：trvdd 加速度：加速度：22trtvadddd 二、两类基本问题：二、两