【创新设计】2011届高三数学一轮复习 5-2等差数列课件 理 苏教版.ppt

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1、1理解等差数列、等差中项的概念掌握等差数列的通项公式与前理解等差数列、等差中项的概念掌握等差数列的通项公式与前n项和项和2能在具体的情境中识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决相关能在具体的情境中识别数列的等差关系，并能运用有关知识解决相关 问题了解等差数列与一次函数的关系问题了解等差数列与一次函数的关系第第2 2课时课时 等差数列等差数列【命题预测】【命题预测】 等差数列既是一个重要的知识点，在高考中仍将受到关注，考查题型既有填等差数列既是一个重要的知识点，在高考中仍将受到关注，考查题型既有填空题也有解答题，且既有容易题、中等题，也有难题客观题突出空题也有解答题，且既有容易题、中等题，也有

2、难题客观题突出“ “小而巧小而巧” ”，主要考查等差数列性质的灵活运用及对概念的理解，主观题都主要考查等差数列性质的灵活运用及对概念的理解，主观题都“ “大而全大而全” ”，着，着重考查函数方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想重考查函数方程、等价转化、分类讨论等重要的数学思想【应试对策】【应试对策】 1等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的依据若有等差数列等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的依据若有等差数列an，则由定义知，当则由定义知，当n2时，有时，有anan1d；反之，若数列反之，若数列an满足满足anan1d(d是常数是常数，n2)或或an1and(d是常数是常数，n

3、N*)，则数列则数列an是等差数列但是，是等差数列但是，如果仅知道一个数列如果仅知道一个数列an的前三项满足的前三项满足a3a2a2a1，此时不能判定该数列此时不能判定该数列是等差数列是等差数列2对于等差数列的通项公式及前对于等差数列的通项公式及前n项和公式，要注意从公式的正向、逆向以及项和公式，要注意从公式的正向、逆向以及变式等角度掌握它们等差数列的通项公式及前变式等角度掌握它们等差数列的通项公式及前n项和公式联系着五个基本项和公式联系着五个基本量，量，“知三求二知三求二”是一类最基本的运算题目在已知三数成等差数列时，可是一类最基本的运算题目在已知三数成等差数列时，可设这三个数依次为设这三个

4、数依次为ad，a，ad或或a，ad，a2d，通常设为，通常设为ad，a，ad这样的形式，这样有利于问题的求解，如果涉及四个数成等差数列时，可设这样的形式，这样有利于问题的求解，如果涉及四个数成等差数列时，可设为为a3d，ad，ad，a3d的形式在具体处理问题时，要注意的形式在具体处理问题时，要注意“对称设对称设元元”、“整体消参整体消参”和和“设而不求设而不求”的方法的方法3在求解有关等差数列的问题时，要注意恰当地使用等差数列的性质，如果能在求解有关等差数列的问题时，要注意恰当地使用等差数列的性质，如果能适时注意题目中所给的已知条件间的关系，并且能充分利用相关性质，往往适时注意题目中所给的已知

5、条件间的关系，并且能充分利用相关性质，往往能起到事半功倍的效果，否则运算量就可能很大，尤其是在处理客观题目时，能起到事半功倍的效果，否则运算量就可能很大，尤其是在处理客观题目时，更是如此更是如此【知识拓展】【知识拓展】 1由于等差数列的前由于等差数列的前n项和项和Snna1 d，可整理可整理Sn n2(a1 )n.设设A ，Ba1 ，上式可写成上式可写成SnAn2Bn，当当A0(即即d0)时时，Sn是关是关于于n的二次函数式的二次函数式( (其中常数项为其中常数项为0)，那么那么(n，Sn)在二次函数在二次函数yAx2Bx的图的图象上因此，当象上因此，当d0时，数列时，数列S1，S2，S3，S

6、n的图象为抛物线的图象为抛物线yAx2Bx上的一群孤立的点上的一群孤立的点1等差数列的定义等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等项起，每一项与它的前一项的差等 于于 ，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做 ，这个常，这个常数叫数叫 做等差数列的做等差数列的 ，公差通常用字母，公差通常用字母 表示表示同一个常数同一个常数等差数列等差数列公差公差d2等差数列的通项公式等差数列的通项公式 如果等差数列如果等差数列an的首项是的首项是a1，公差是公差是d，那么根据等差数列的定义得到它那么根据等差数列的定义得到它 的通项公式为的通项公式为 .

7、. 思考：思考：已知等差数列已知等差数列an的第的第m项项am及公差及公差d，则它的第，则它的第n项项an为多少？为多少？ 提示：提示：anam(nm)d(n，mN*)ana1(n1)d3等差中项等差中项 如果三个数如果三个数x，A，y组成等差数列，那么组成等差数列，那么A叫做叫做x和和y的的 4等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式 如果等差数列如果等差数列an的首项为的首项为a1，公差为公差为d，那么它的前那么它的前n项和为项和为 或或 . .其推导方法是倒序相加法，又可变形为其推导方法是倒序相加法，又可变形为Snpn2qn， 其中其中p ，qa1 ，an成等差数列成等差数列Snpn2

8、qn.等差中项等差中项5等差数列的常用性质等差数列的常用性质 (1)若若an为等差数列，且为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则则 . (2)Sm，S2m，S3m分别为分别为an的前的前m项，前项，前2m项，前项，前3m项的和，项的和， Sm，S2mSm，S3mS2m也成也成 数列数列ak kalaman等差等差1(2010江苏省海门中学调研江苏省海门中学调研)已知等差数列已知等差数列an满足：满足：a18，a26. 若将若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所 加的这个数为加的这个数为_ 答案：答案：12(

9、2010栟茶中学学情分析栟茶中学学情分析)已知等差数列已知等差数列an的公差为的公差为d(d0)， 且且a3a6a10a1332，若，若am8，则，则m为为_ 答案：答案：83(江苏省高考命题研究专家原创卷江苏省高考命题研究专家原创卷)设设Sn为等差数列为等差数列an的前的前n项和，项和， 若若S510，S105，则公差为，则公差为_ 解析：解析：设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1，公差为，公差为d.由题设得由题设得 即即 解之得解之得d1. 答案：答案：14设等差数列设等差数列an的前的前n项和为项和为Sn，若，若S39，S636， 则则a7a8a9_. 解析：解析：数列数列an为

10、等差数列，为等差数列，S3，S6S3，S9S6为等差数列，为等差数列， 2(S6S3)S3(S9S6)， S39，S6S327，则，则S9S645，a7a8a9S9S645. 答案：答案：45在等差数列在等差数列an中，已知中，已知a12，a2a313，则，则a4a5a6_.解析：解法一：解析：解法一：设公差为设公差为d，则由，则由 ，即，即 ，得得 .故故a4a5a63a1(345)d612d42.解法二：解法二：利用等差中项，利用等差中项，a1a2a315.3a215，a25，da2a13，a5a23d5914.a4a5a63a542.答案：答案：42 51等差数列的判定常用方法：等差数列

11、的判定常用方法：利用定义，利用定义，anan1d(常数常数)(n2)，利用等差中项，利用等差中项，即即2anan1an1(n2)或利用或利用anpnq.2解填空题时，亦可用通项或前解填空题时，亦可用通项或前n项和直接判断项和直接判断(1)通项法：若数列通项法：若数列an的通项公式为的通项公式为n的一次函数，则的一次函数，则an是等差数列是等差数列(2)前前n项和法：若数列项和法：若数列an的前的前n项和项和Sn是是SnAn2Bn的形式的形式(A，B是常数是常数)，则则an为等差数列为等差数列 【例【例1】 已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为Sn且满足且满足an2SnSn10(n2)，

12、a1 ；(1)求证：求证： 是等差数列是等差数列；(2)求求an的表达式的表达式 思路点拨：思路点拨：(1)由由an与与Sn的关系先转化为的关系先转化为anSnSn1， 然后利用定义证明然后利用定义证明(2)先求先求Sn，再求，再求an.(1)证明：证明：anSnSn1(n2)，又，又an2SnSn1，Sn1Sn2SnSn1，Sn0. 2(n2)由等差数列的定义知由等差数列的定义知 是以是以 2为首项，以为首项，以2为公差的等差数列为公差的等差数列(2)解：解：由由(1)知知 (n1)d2(n1)22n，Sn 当当n2时，有时，有an2SnSn1 ，又，又a1 an 变式变式1：已知数列已知数

13、列an中中，a1 ，通项通项an2 (n2，nN)， 数列数列bn满足满足bn (nN) 求证求证：数列数列bn是等差数列并求出通项是等差数列并求出通项bn.证明：证明：bn ，而而bn1 bnbn1 1(nN，且且n2)而而b1.bn是首项为是首项为 ，公差为公差为1的等差数列的等差数列bnb1(n1)1 (n1)1n 等差数列的前等差数列的前n项和的公式有两种形式：项和的公式有两种形式：Sn 及及Snna1 d.公式中都是有四个量，只要知道其中的三个量便可以公式中都是有四个量，只要知道其中的三个量便可以求出剩下的一个量求出剩下的一个量 等差数列的前等差数列的前n项和为项和为Sn，若，若S1

14、284，S20460，求，求S28.思路点拨：思路点拨：(1)由已知列出关于由已知列出关于a1和和d的方程组，求出的方程组，求出a1和和d，即可求出，即可求出 S28.(2)也可由等差数列的特点，由也可由等差数列的特点，由Snan2bn，求得，求得a，b进而求进而求S28.【例【例2】解：解法一：解：解法一：设等差数列设等差数列an的首项为的首项为a1，公差为公差为d，则，则Snna1 n(n1)d.S1284，S20460， ，解得解得 Sn15nn(n1)42n217n.S28228217281 092.解法二：解法二：由已知不妨设由已知不妨设Snan2bn，S1284，S20460，解得

15、解得Sn2n217n，S28228217281 092. 已知等差数列已知等差数列an的前三项为的前三项为a,4,3a，前，前k k项的和项的和Sk k2 550，求通项公式求通项公式an及及k k的值的值解：解法一：解：解法一：由题意知由题意知a1a，a24，a33a，Sk k2 550.由已知得由已知得a3a24，a1a2，公差，公差da2a12.an22(n1)2n.又又Sk kk ka1 d，得，得k k2 22 550，整理得，整理得k k2k k2 5500，解，解得得k k150，k k251(舍去舍去)，所以，所以an2n，k k50.变式变式2：解法二：解法二：由解法一得由解

16、法一得a1a2，d2，an22(n1)2n，Snn2n，又又Sk k2 550，k k2k k2 550，得得k k2k k2 5500.解得解得k k50(k k51舍去舍去)an2n，k k50.在解决某些题目时，利用等差数列的性质，有时能起到事半功倍的效在解决某些题目时，利用等差数列的性质，有时能起到事半功倍的效果尤其要注意利用果尤其要注意利用“若若m，n，p，k kN，且，且mnpk k，则有，则有amanapak k，其中，其中am，an，ap，ak k是数列中的项特别地，当是数列中的项特别地，当mn2p时，时，有有aman2ap”这条性质这条性质 【例【例3】 设等差数列设等差数列

17、an的前的前n项和为项和为Sn，已知已知a312，S120，S130中的最大中的最大n，便可求出，便可求出S1、 S2、S12中的最大的一个中的最大的一个解：解：(1)由由 得得 d0，S13 13a70且且a72)是否成立？是否成立？2anank kank k(nk k0)是否成立？是否成立？”，若是直接考查这些知识，若是直接考查这些知识，考生对应用这些性质是熟悉的，但高考命题者的设计很有新意，在考生对应用这些性质是熟悉的，但高考命题者的设计很有新意，在a2a4a9中并不能直接对中并不能直接对a2、a4、a9的和式进行分拆而得出的和式进行分拆而得出a5，这就需要解题的智慧和，这就需要解题的智

18、慧和分拆的技巧，增加了本题的难度分拆的技巧，增加了本题的难度. 【课本探源】【课本探源】1 已知五个数成等差数列，它们的和为已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，平方和为 ，求这五个数，求这五个数分析：分析：根据等差数列的特点对称地设出五项，然后求出首项根据等差数列的特点对称地设出五项，然后求出首项a1与公差与公差d.解：解：设第三个数即中间项为设第三个数即中间项为a，公差为，公差为d，则五个数分别为则五个数分别为a2d，ad，a，ad，a2d.由已知条件得由已知条件得解得解得所求的五个数分别为所求的五个数分别为 或或 2 等差数列等差数列an和和bn的前的前n项和分别为项和分别为Sn和和Tn，且，且 (n N*)，则则 _.分析：分析：题中给出的是前题中给出的是前n项和的比值，要求两项的比值项和的比值，要求两项的比值 ，应想法用前，应想法用前n项和项和的比来表示项的比的比来表示项的比解析：解析：因为因为an和和bn都是等差数列，都是等差数列，所以所以 答案：答案：点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册