2022年2022年矩阵及运算 .pdf

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1、1 第二章矩阵第一讲矩阵及其运算教学目的：1.熟练掌握矩阵的概念，了解常用的特殊矩阵以及性质。2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式。教学重点与难点 ：1.矩阵的乘积2. 矩阵可交换，及相关结论。教学计划时数 ：2 学时教学过程：一、矩阵的概念定义 1：由mn个数排成行（横向）、列（纵向）的数表：111212122212nnmmmnaaaaaaaaa称为m n矩阵，记作111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa简记为m nijm nAAa，或ijm nAa，这mn个数称为矩阵A 的元素 ，简记为 元.其中ija为 A 的第 i 行第

2、j 列的元素 .如177112115913191881519是 3 行 4 列的矩阵（外加方括号或圆括号），就称它为3 4 的矩阵，这里，3 4 是一个记号，表明矩阵有3 行 4 列. 注意： 1.行列式是算式，其行列数必须相同；矩阵是数表，其行列数可不同. 2.元素为实数的矩阵称为实矩阵 ，元素为复数的矩阵称为复矩阵 ，本书中所讲的矩阵除特别说明外，均指实矩阵. 矩阵的一些相关概念定义 2：两个矩阵的行数相等、列数也相等时，称它们为同型矩阵 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

3、- - 第 1 页，共 45 页 - - - - - - - - - 2 如，110012,234453是同型矩阵 .2. 矩阵的相等定义 3：设矩阵ijm nAa，ijm nBb为同型矩阵，若ijijab1,2,;1,2,im jn则称矩阵A与B相等 ，记为AB. 如，当183104024xzy时，328xyz，. 二、一些常用特殊矩阵（1）行矩阵 ：只有一行的矩阵12nAa aa称为行矩阵，又称行向量 . 为避免元素间的混淆，行矩阵也可记作12nAaaa， ，.（2）列矩阵 ：只有一列的矩阵12mbbBb称为列矩阵，又称列向量 .（3）零矩阵 ：所有元素都等于0 的矩阵，称为零矩阵，记作O

4、. 注意：不同型的零矩阵是不同的. 如，2359为1 4矩阵 , 是行矩阵；124为3 1矩阵 , 是列矩阵；0000为1 4零矩阵，0000000000000000为44零矩阵，但00000000000000000000. （4）n阶方阵 ：当mn时， 称ijm nAa为nn矩阵或n阶方阵 ，有时用nA表示 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 45 页 - - - - - - - - - 3 1 阶矩阵被约定当作“数”（即“元素”本身）对待. （5）上（下

5、）三角阵：设阶方阵ijn nAa，若ij时，0 ( ,1,2, )ijai jn，则称A为上三角阵；若ij时，0( ,1,2, )ijai jn，则称A为下三角阵 . 如，123056009是一上三角形阵，100456789是一下三角形阵. （6）对角矩阵既是上三角阵、 又是下三角阵的矩阵称为对角矩阵，简称对角阵 .对角矩阵12naaa可简记为12(,)ndiag a aa. （ 7 ） 数 量 矩 阵 ( 又 称 标 量 阵 )对 角 阵12(,)ndiag a aa中 ， 若(1 , 2 ,iakin，则称之为数量矩阵. 简记为nkkkEk. （8）单位矩阵数量矩阵中1k的矩阵称为单位矩阵

6、，简称单位阵，记作I或E，即111E.如，100050009为 3 阶对角阵，500050005为 3 阶数量矩阵，100010001为 3 阶单位阵. （9）对称矩阵 ：满足条件1 2ijjiaaijn， ，的方阵ijAa称为对称矩阵，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 45 页 - - - - - - - - - 4 简称对称阵 . 其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等.（10）反对称矩阵 ：满足条件12ijjiaaijn， ， ，的方阵ijAa称

7、为反对称矩阵，简称反对称阵. 其特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相反. 如，123205354为对称阵，023205350为反对称阵 .三、矩阵的运算1. 矩阵的加法定义 4：设两个矩阵ijm nAa，ijm nBb，定义A与B的和 为ijijm nABab，即111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab.注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 如，123518919065436832113114744689.对ijm nAa，记ijm nAa，称为A的负矩阵 . 有以下结论(1)AAO. (2)规定 矩阵

8、的减法 为ABAB. 矩阵加法运算律（设ABC、 、都是mn矩阵） . （1）ABBA；（2）ABCABC；（3）AOA；（4）AAO. 2. 矩阵的数乘定义 5：设矩阵ijm nAa，为数， 数与矩阵A的乘积 定义为ijm nAa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 45 页 - - - - - - - - - 5 或记为A. 即111212122211nnmmmnaaaaaaAAaaa矩阵数乘的运算律（设AB、都是m n矩阵，、为数）（1）1 AA；（2）

9、AA；（3）AAA；（4）ABAB. 矩阵的加法与矩阵的数乘合起来，统称为矩阵的线性运算.3. 矩阵与矩阵相乘定义 6：设,ikkjm ll nAaBb，定义矩阵ijm nCc，其中1 12211,2,;1,2,lijikkjijijilljkca ba ba ba bim jn为矩阵A左乘矩阵B之积 ，记作CAB. 乘积矩阵ABC的第i行第j列元素ijc就是A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和 . 例 1设101211300514A，034121311121B，求AB. 解034101212111303110514121CAB5671026 .21710注意 :1. 只有当第一个矩阵

10、的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 2. 乘积矩阵ABC的第i行第j列元素ijc就是A的第i行元素与B的第j列对应元素的乘积之和.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 45 页 - - - - - - - - - 6 矩阵乘法的运算律（假设运算都是可行的）（ 1）AB CA BC；（ 2）A BABAB；（ 3）A BCABAC；（ 4）AB CACBC. 例 2设1112133221222310010010 ,01001aaaAEEaaa，. 求

11、3AE与2E A. 解1112131112133212223212223100010001aaaaaaAEAaaaaaa；11121311121322122232122231001aaaaaaE AAaaaaaa.由此例题可归纳：一般地，对于单位矩阵E，有,m nnm nmm nm nAEAE AA. 或简写为EAAEA. 可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1. 关于矩阵的乘法，我们还要注意以下三点：（1）矩阵乘法不满足交换律，即在一般情形下，.ABBA. 如，设1111,1111AB，则0022,0022ABBAABBA, . （2）非零矩阵相乘，可能是零矩阵，即由ABO，不能推出AO

12、或BO. 如，设1111,1111AB，则0000AB，但AO且BO（3）两个矩阵乘法不满足消去律，即由,ABAC AO，不能推出BC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 45 页 - - - - - - - - - 7 如，设1111A，1111B，2222C，有0000,0000ABAC,则ABAC，但BC. 定义 7：如果两个矩阵相乘，有ABBA，则称矩阵A与矩阵B可交换 ，简称A与B可换 .由,E AA AEA，可知数量矩阵E与矩阵A的乘积等于数与A

13、的乘积. 并且当A为n阶方阵时，有nnnnnEAAAE为数这表明数量矩阵E与任意同阶方阵都是可以交换的. 4. 方阵的幂定义 8：设A是n阶方阵，定义0121111,kkAE AAAA AAA A， ，其中k为正整数，这就是说kA就是k个A连乘，称为A的k次幂 . 注：只有方阵，它的幂才有意义. 方阵幂的运算律(1 ）mkm kA AA；(2 ）kmmkAA（,m k为正整数）一般地，对于两个n阶方阵A与B，kkkABA B(k为正整数 ) ，只有当它们可交换时，才有kkkABA B( 其中k为正整数 ). 类似可知，例如2222ABAABB，22ABABAB等公式，也只有当ABBA时才成立

14、. 例 3设100100A，求3A解2222101021010102000000A，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 45 页 - - - - - - - - - 8 2323223223211033020103000000AA A. 5. 方阵的多项式设1110( )kkkkxa xaxa xa为x的k次多项式，A为n阶方阵，记1110( )kkkkAa AaAa Aa E，()A称为 矩阵A的k次多项式 . 因为矩阵klAA、和E都是可交换的，所以矩阵A

15、的两个多项式( )A和fA总是可交换的，即总有( )( )A fAfAA，从而A的几个多项式可以像数x的多项式一样相乘或分解因式. 例如22323,22,33.AEAEAEEAEAEAAEAEAAA6. 矩阵的转置定义 9：把矩阵ijm nAa行列互换所得到的一个新矩阵，称为矩阵A的转置矩阵 ，记为TA. 注：若A为对称矩阵，则TAA；若A为反对称矩阵，则TAA. 矩阵转置的运算律（假设运算都是可行的）（1）TTAA；（2）TTTABAB；（3）TTAA；（4）TTTABB A. 证明第 (4) 式. 证设矩阵名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

16、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 45 页 - - - - - - - - - 9 111211112121222212221212snsnmmmssssnaaabbbaaabbbABaaabbb，.易知TAB与TTB A都是m n矩阵 . 而位于TAB的第i行第j列的元素就是位于AB的第j行第i列的元素，因此等于1 122jjjjjssja ba ba b.位于TTB A的第i行第j列的元素就是位于TB的第i行元素与TA的第j列的对应元素之积的和1122jjjjsjjsb ab ab a.显然，上述两个式子相等，所以TTTABB A.例

17、4已知171201,423,132201AB求TAB. 解法 1因为1712010143423,132171310201AB所以0171413310TAB. 解法 21422101772003141313112310TTTABB A. 7. 方阵的行列式定义 10：由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变） ，称为 方阵A的行列式 ，记作A或det A. 如，2368A，则23268A.矩阵行列式的运算律（设,A B是n阶方阵，是数）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

18、- 第 9 页，共 45 页 - - - - - - - - - 10 （1）TAA；（2）nAA；（3）ABA BBA；（4）000ABAB若，则或. 例 5已知3424,5753AB，验证：ABABBA. 证因为34241405753251AB，24341420535701BA，所以140142014,14.25101ABBA又34241,14,5753AB故ABABBA. 8. 共轭矩阵定义 11：设ijm nAa为复（数）矩阵，用ija表示ija的共轭复数，记ijAa. A称为A的共轭矩阵 . 共轭矩阵的运算律（设,A B是复矩阵，是数，且运算都是可行的）（1）ABAB；（2）AA；（

19、3）ABAB；（4）TTAA. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 45 页 - - - - - - - - - 11 第二讲逆矩阵教学目的：1.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件。2.理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。教学重点与难点 ：1.矩阵可逆的充分必要条件2. 用伴随矩阵求逆矩阵。教学计划时数 ：2 学时教学过程 ：一、逆矩阵的定义在矩阵的运算中，单位矩阵E相当于数的乘法运算中的1，那么对于矩阵A，如果存在矩阵“1

20、A” ，使得11AAAAE则矩阵“1A”可否称为矩阵A的逆呢？定义 1：设A为阶方阵，若存在阶方阵B，使ABBAE成立，则称方阵A可逆，并称B是A的逆矩阵，简称逆阵，记作1AB. 于是有11AAA AE结论： 1. 可逆矩阵一定是方阵，且适合其逆阵B也一定是方阵；2. 若矩阵A与B满足ABBAE，则A与B都可逆，并且互为逆矩阵，即11ABBA，. 3. 零矩阵是不可逆矩阵；单位矩阵E是可逆矩阵，且其逆矩阵是其本身.例 1设12523531AB，验证,A B可逆，且互为逆矩阵.证因为125210353101AB，521210313501BA，所以A与B是两个可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵，即1AB

21、，1BA. 定理 1：若A可逆，则其逆矩阵唯一. 证设,B C都是A的逆矩阵，则ABBAEACCAE，. 从而()()BEBCA BC ABCEC. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 45 页 - - - - - - - - - 12 例 2如果120000,00naaAa其中0(1,2, )iain. 验证112100100100naaAa.证因为11212100001000000100nnaaaaAAEaa，11212100001000000100nn

22、aaaaAAEaa，所以112100100100naaAa. 证毕此例说明：若对角矩阵12(,)ndiag a aa对角线上的元素都不为零，则可逆，且有112111(,)ndiagaaa. 二、矩阵可逆的充分必要条件名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 45 页 - - - - - - - - - 13 若已给方阵A，怎么判定它是否可逆？若A可逆时，又如何求出1A？为了讨论方阵可逆的充分必要条件及得出求逆矩阵的方法，首先引进“伴随矩阵”的概念.1. 伴随矩阵定

23、义 2：n阶方阵ijAa的行列式| A 中各个元素ija的代数余子式ijA 所构成的矩阵ijA的转置矩阵，称为方阵A的伴随矩阵，记为A，即112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA定理 2：对于 n 阶方阵A及其伴随矩阵*A，有*|AAA AA E证由矩阵乘法及行列式按某一行（列）展开的的公式，可得111211121121222122221212000000nnnnnnnnnnnnaaaAAAAaaaAAAAAAA EaaaAAAA，112111112112222212221212000000nnnnnnnnnnnnAAAaaaAAAAaaaAA AA EAAAaaaA，所以有*

24、|AAA AA E. 2. 逆矩阵的求法定理 3n 阶方阵A可逆的充分必要条件是其行列式0| A，且当A可逆时，有1*1|AAA. （其中*A 为A的伴随矩阵 .证必要性 .由A可逆知，存在n 阶矩阵B，满足ABE，等式两边取行列式，可得10A BABE因此0A，同时0B. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 45 页 - - - - - - - - - 14 充分性 .设ijn nAa，且0A，则由式（ 2.4）得*|AAA AA E，两边乘以1A，得*1

25、|AAEA.同理可得*1|AAEA. 由逆矩阵的定义即知，A可逆，且1*1|AAA. 证毕该定理不仅给出方阵可逆的充分必要条件，而且给出用伴随矩阵求逆矩阵1A的方法，此法称为 伴随矩阵法 . 推论若ABE（或BAE） ，则1BA. 证由1ABE，得1ABA B，所以0A，即1A存在，有1111()()BEBA A BAABA EA，同理可得1AB. 证毕此推论说明 ：判断矩阵A是否可逆，只要验证ABE或BAE中的一个即可. 例 3设2110A，求A的逆矩阵 .解因为211010A，所以A可逆，则A的伴随矩阵0112A故10112A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

26、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 45 页 - - - - - - - - - 15 一般地，对二阶方阵abcd，当0adbc时，有11abdbcdcaadbc例 4判定矩阵123212133A是否可逆，若可逆求其逆矩阵. 解由12321240133A，知A可逆 . 而1112132122233132331222213,4,5,3313132313123,0,1,3313132313121,4,3.122221AAAAAAAAA所以331404513A.故1331331444114041014513513444AAA.

27、例 5设方阵 A 满足方程22AAEO证明2AE为可逆矩阵 , 并求其逆 .证由22AAEO，得234AEAEEO，或312()44AEEAE，所以2AE可逆，且131244AEEA. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 45 页 - - - - - - - - - 16 定义 3若阶方阵A的行列式0A，则称A为非奇异矩阵 （又称 非退化矩阵 ） ；若0A，则称A为奇异矩阵 （又称 退化矩阵 ）. 由定理 3 及定义 3 可得定理 4 设A为n阶方阵 , 则

28、A为可逆矩阵的充分必要条件是A为非奇异矩阵；A为不可逆矩阵的充分必要条件是A为奇异矩阵 . 3. 矩阵方程对标准矩阵方程（其中,A B均可逆）,AXB XAB AXBC.利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应矩阵的逆矩阵，可求出其解分别为1111,XA B XBAXA CB.对于其它形式的矩阵方程，则可通过矩阵的有关运算性质化为标准矩阵方程，再进行求解.例 6设CBA,是同阶矩阵，且A 可逆，下列结论如果正确，试证明之；如果不正确，试举反例说明之.(1)若,ACAB则BC；(2)若,CBAB则AC.解 （1）正确 . 由,ACAB及A可逆，在方程两边左乘1A，得

29、11AABAAC从而有EBEC，即BC.（2）不正确 . 例如，设121 130,011 101ABC则121 133,011 111AB301 133011 111CB，显然有,CBAB，但AC.例 7设,130231,3512,343122321CBA求矩阵X，使满足AXBC.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 45 页 - - - - - - - - - 17 解1232122120,1053343AB，11,AB都存在 .容易求得1113231353

30、,5222111AB；又由AXBC得到，1111A AXBBA CB，即有1113213213135320104522231104111XA CB.例 8设1210,1402PAPP求nA.解因为14212,112PP，而1211211,nnAP PAP P P PPPAPP，其中221010101010,0202020202nn，故121210424212111402111122 12nnnnA1122114222222112 42222221nnnnnnnn.例.8 的方法常可以用来计算nA，由此再来计算A的的多项式1110( )kkkkAa AaAa Aa E. (1)若1APP，则1n

31、nAPP，从而1110( )kkkkAa AaAa Aa E11111110kkkkPaPPaPPaPPa EP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 45 页 - - - - - - - - - 18 1PP.(2)若12mdiag， ，为对角阵，则12nnnnmdiag， ，从而10( )kkAaaa E112210111kkkkmmaaa12k. 三、逆矩阵的性质可逆矩阵具有下列性质(1)若A可逆，则也可逆，并且11AA；(2)若A可逆，则也可逆，并且11

32、TTAA；(3）若A可逆且数0，则A也可逆，并且111AA；(4)若A、B为可逆的同阶方阵，则AB也可逆，并且111ABBA；(5)111AAA.性质 (4)可推广到有限个n阶可逆矩阵相乘的情形，即若n阶矩阵12mAAA， ，都可逆，则12mA AA也可逆，并且有11111221mmA AAAAA（m为正整数）证仅证明 (4). 因为111111()()ABB AA BBAAEAAEAE，所以111ABBA.例 9已知A及EAB可逆，试证EBA可逆 .证11EBAAABAAB A名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

33、师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 45 页 - - - - - - - - - 19 111AEB AAA AB A1AEAB A即EBA可表成可逆阵1A与EAB A的乘积，故知EBA为可逆阵 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 45 页 - - - - - - - - - 20 第三讲矩阵的初等变换与矩阵的秩教学目的：掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法教学重点与难点 ：用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法教学计划时数 ：2 学

34、时教学过程：1、初等变换定 义 1下面三种变换称为矩阵A的 初等行（列）变换：（1）初等对换变换：对换矩阵A的两行（列） . 对换ij、两行 (列)的初等行 (列 )变换，记作ijijrrcc；（2）初等倍乘变换：用非零数k乘矩阵A的某一行（列）中所有元素. 以0k乘矩阵的第i行(列)的初等行（列）变换，记作irk(ick)；（3）初等倍加变换：将矩阵A的某行 (列)乘以数 k 再加入另一行（列）中去. 矩阵A的第i行 （列）乘 k 后加到第 j 行(列)的初等行（列）变换，记作ijrkr(ijckc).矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换，统称为矩阵的初等变换.显然，矩阵的三种初等变换都是可逆

35、的，且其逆变换是同一类型的初等变换. 变换ijrr的逆变换就是其本身；变换irk的逆变换为1irk(或记作irk)；变换ijrkr的逆变换为ijrk r(或记作ijrkr)2、等价矩阵定义 1：若一个mn矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价， 记作rAB（或rAB） ；若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价 ，记作cAB（或cAB） ；若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价 ，记作AB（或AB）.一般地， 在理论表述或证明中，常用记号 “” ，在对矩阵作初等变换运算的过程中常用记号“”.（2）. 性质矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:

36、(1)反身性：AA ；(2)对称性：若BA ，则AB ；(3)传递性：若BA ，CB ，则CA .定理 1对于任何矩阵m nA，总可以经过有限次初等变换，化为标准形：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 45 页 - - - - - - - - - 21 1100Brr行列()()() ()rrn rm rrm rn rEOOO，这 个 标 准 形 由mnr， ，三 个 数 完 全 确 定 ， 其 中r是 行 阶 梯 形 矩 阵 中 非 零 行 的 行 数（m

37、inrmn，）.根据定理 1 及初等变换的可逆性，有推论如果 A 为 n 阶可逆矩阵，则矩阵A 经过有限次初等变换可化为单位矩阵E，即AE. 例 1设21112112144622436979A，把A化为标准形 . 21112112144622436979A1231121421112123112236979rrr2331411121402220205536303343rrrrrr2324211214201110500016300043rrrrr3443112140111020001300000rrrr122310104011030001300000rrrr34412512310000010000

38、010043300000ccccccccc上面最后一个矩阵即为矩阵A的标准形 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 45 页 - - - - - - - - - 22 3、初等矩阵定义 1对单位矩阵E施行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 .三种初等变换分别对应着三种初等矩阵.(1)初等对换矩阵：把n阶单位矩阵E的第ji,行(列)互换得到的矩阵11011( , )11011iE i jjij第 行第 行列列(2)初等倍乘矩阵：把n阶单位矩阵E的第i行(列)

39、乘以非零数k 得到的矩阵1( ( )1E i kiki第 行；列(3)初等倍加矩阵：把n阶单位矩阵E的第 j 行（第i列）乘以数k 加到第i行（第j 列）上得到的矩阵11( , ( ).11ikE i j kjij第 行第 行列列对于单位矩阵进行初等列变换时，特别注意的是应当把E的第i列乘以数 k 加到第j 列上，得到的是,Ej i k.由于初等行（列）变换只有上述三种，所以由初等行（列）变换得到的初等矩阵只有上述的,E ijE i kE i j k，三种类型，并且有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

40、- - - - - - - 第 22 页，共 45 页 - - - - - - - - - 23 ; 1|),(|jiE;|)(|kkiE|( , ( ) | 1E i j k. 对于上述的三种类型的初等矩阵,E ijE i kE i j k，因为它们的行列式都不等于零，因此初等矩阵都可逆. 另外，若对初等矩阵再作一次同类初等变换，就可以化为单位矩阵 . 初等矩阵的逆矩阵是同类初等矩阵，由此得出初等矩阵的性质：（1）),(),(1jiEjiE；（2）11( ( )( ()E i kE i k；（3）1,E i j kE i jk.定理 1设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换，就相当于在A

41、的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，就相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵 .4、求逆矩阵的初等变换法及矩阵可逆的充要条件定理 1n阶方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积.证明必要性 . 由定理 2 的推论知，若A可逆，则A经若干次初等变换可化为E，即存在初等矩阵1212stPPPQQQ， ， ， ， ，使1212stEPPP AQQQ那么1111111111ssttAP PP EQ QQ或1111111111ssttAP PP Q QQ故矩阵A可以表示为若干初等矩阵的乘积.因初等矩阵可逆，所以充分条件是显然的.证毕下面介绍用初等变换求逆矩阵的方法.若A

42、为可逆矩阵，则1A也可逆，由定理2.3.4，存在初等矩阵12kGGG， ，使112kAGGG用A右乘上式两边，得12kEG GG A（2.7）又112kAGGG E（2.8）比较（ 2.7）与（ 2.8）两式，（2.7）式中的A与（ 2.8）式中的E左乘的一系列初等矩阵是对应相同的， 这说明当把A经过一系列初等行变换化为单位矩阵时，同样这些初等行变换就把E化为了1A.证毕因此，用初等行变换法求矩阵A的逆矩阵的具体做法是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 4

43、5 页 - - - - - - - - - 24 在矩阵A的右边写上与A同阶单位矩阵E，就构造了一个nn2 矩阵( ,)A E，然后对(,)A E进行一系列初等行变换，把A变为单位矩阵，与此同时，E被变为矩阵1A. 用式子表示为12( ,)kGGGA E1212,kkGGG A GGG E1,E A即(,)A Er1(,)E A.我们已经知道，可逆矩阵的标准形矩阵是单位矩阵. 事实上，可逆矩阵的的行最简形矩阵也是单位矩阵，即推论 1方阵A可逆的充分必要条件是rAE.证因为方阵A可逆的充分必要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积，即有初等矩阵12,sP PP，使12sAPPP，也就是12sAPP

44、P E，上式表示E经过有限次初等变换可化为A，即rAE. 推论 2mn矩阵A与B等价的充分必要条件是存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使PAQB.例 1用初等行变换法求123221343A的逆矩阵 . 解因为123100( ,)221010343001A E2112313212310010211020252100252103026301001111rrrrrrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 45 页 - - - - - - - - - 25 132

45、310013220203655001111rrrr231001321350103222( 1)001111rr. 所以113235322111A.利用初等行变换求求矩阵A的逆矩阵1A时，对( ,)A E只能用行变换，不能用列变换.当然也可用初等列变换求出A的逆矩阵1A，其方法是：在矩阵的下面写上与A同阶的单位矩阵E，形如AE而后对其施行列变换，把A变为E，这时下半部E就变为1A，即AEc1EA.5. 用初等变换法求解矩阵方程BAX由定理 2.3.4 的推论 1 说明了若,A E的行最简形矩阵是,E X，则E就是A的行最简形矩阵，即rAE；并且有AXE，即1XA. 前 面 已 知 对 于 任 何

46、 方 阵A，A可 逆 的 充 要 条 件 是rAE， 且 当A可 逆 时 ，1(,)(,)rA EE A.现在设矩阵A可逆，则求解矩阵方程BAX等价于求矩阵BAX1，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，具体做法是：构造矩阵(,)A B，对其施以初等行变换将矩阵A化为单位矩阵E，则上述初等行变换同时也将其中的矩阵B化为BA1，即( ,)A Br1(,)E A B.同理，求解矩阵方程,BXA等价于计算矩阵,1BA亦可利用初等列变换求矩阵1BA，即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

47、 - - 第 25 页，共 45 页 - - - - - - - - - 26 1cEABBA.例 1求解矩阵方程,XAAX其中.010312022A解把所给方程变形为AE XA120220,203213011010AE A21231202202011010043233rrrr32312022040110101001213rrr23121102260112032011213rrrr可见AEE，因此AE可逆，且1226203213XAEA. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

48、第 26 页，共 45 页 - - - - - - - - - 27 第四讲矩阵的秩与分块矩阵教学目的：理解矩阵秩的概念和了解分快矩阵教学重点与难点 ：矩阵秩的理解教学计划时数 ：2 学时教学过程：1、矩阵的秩（1）矩阵秩的概念定义 1若A为m n矩阵，在A中任意取k行、k列kmkn，则位于这些行与列交叉处的2k个元素，不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式，称为矩阵A的k阶子式 . 显然，若A为m n矩阵，则A的k阶子式共有kkmnCC个 . 当OA时，它的任何子式都为零. 当OA时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零. 再考察二阶子式，若A中有一个二阶子式不为零

49、，则往下考察三阶子式，如此进行下去，最后必达到A中有 r 阶子式不为零，而再没有比r 更高阶的不为零的子式. 这个不为零的子式的最高阶数r 反映了矩阵A内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义 .定义 2 设A为nm矩阵，如果存在A的 r 阶子式不为零，而任何1r阶子式 (如果存在的话 )皆为零，则称数r 为矩阵A的秩 ，记为)(AR. 并规定零矩阵的秩等于0.由定义 2，根据行列式的性质易知，矩阵A的秩R A就是矩阵A的最高阶非零子式的阶数 .（ 2）矩阵秩的性质性质 1若A为m n矩阵，则0minR Amn，. 性质 2若矩阵A中有某个s阶非零子式，则R As；若矩阵A中所有t阶子

50、式全为零，则R At. 性质 3若矩阵A的秩R Ar，则TR AR A. 定义 3设A为n阶方阵，若R An，则称矩阵A为满秩矩阵 ；若R An，则称矩阵A为降秩矩阵 . 由此可得定理 1n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A为满秩矩阵；n阶矩阵A为不可逆矩阵的充分必要条件是矩阵A为降秩矩阵 . 性质 5若矩阵AB，则R AR B. 性质 6若矩阵PQ、可逆，则R PAQR A. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 45 页 - - - - - - -