2022年2022年矩阵特征值与特征向量的计算和应用 .pdf

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1、1 矩阵特征值与特征向量的计算和应用摘要:文章给出求解矩阵特征值与特征向量的一种简易方法：列行互逆变换方法，并且通过对阶矩阵的特征值和特征向量的研究,针对阶矩阵的特征值和特征向量的应用进行了3 个方面的探讨 ,并给出了一类矩阵特征值和特征向量求解的方法关键词：矩阵；特征值；特征向量；互逆变换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 30 页 - - - - - - - - - 2 Computation and Application of Eigenvalue a

2、nd Eigenvector of Matrix Abstract :This article is presented for solving the matrix eigenvalue and eigenvector of a simple method ： reciprocal transformation；by the studying of eigenvalue and eigenvector of matrix,his article discuss application of their three aspects due to eigenvalue and eigenvect

3、or of matrix. and also, given a category eigenvalues and eigenvectors solving methods.Key words: matrix ；eigenvalue ；eigenvector； reciprocal transformation.）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 30 页 - - - - - - - - - 3 目录1 引言（1）2 用列行互逆变换法计算矩阵的特征值与特征向量

4、（1）3 矩阵的特征值和特征向量的应用（9）3.1 n阶矩阵1,mkabAAI AA,*A,()fA的特征值和特征向量（9）3.2 n阶矩阵的高次幂求解（11）3.3 矩阵特征值反问题的求解（12）4 结语（13）参考文献（ 14）谢辞（15）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 30 页 - - - - - - - - - 4 1 引言常用矩阵的特征值的方法是求特征方程( )0fAIA的全部根 1,2,r(互异 )，而求相应的特征向量的方法则是对每个i求齐次线

5、性方程组()0iIA X的基础解系 ,两者的计算是分离的 ,一个是计算行列式 ,另一个是解齐次线性方程组 ,计算量都较大 .本文介绍求矩阵的特征值与特征向量的一种简易方法,只用一种运算矩阵运算 ,列行互逆变换法是一种可同步求出特征值与特征向量的方法,而且不需要考虑带参数的特征矩阵.此种方法计算量少 ,且运算规范 ,不易出错 . 2 用列行互逆变换法计算矩阵的特征值与特征向量定义 17把矩阵的下列三种变换称为列行互逆变换：1) 互换i、j两列 ()ijcc,同时互换j、i两行 ()jirr ；2) 第i列乘以非零数k(ikc ),同时第i行乘1k1()irk；3) 第i列k倍加到第j列 ()ji

6、ckc ,同时第j行k倍加到第i行 ()jirkr .定理 1A为任意 n 阶可对角化矩阵 ,若n系列列行互逆变化ADEP, 其中1nD,1(,)nP,1(,)iiinbb,(1,2, )in，则1,n为的全部特征值 ,ii为A的对应i的特征向量证 由行初等变换等价于左乘初等阵,列变等价于右乘初等阵的性质及行列互逆变换的定义,知P为若干初等阵乘积,当然可逆 ,即存在可逆矩阵1P,使1PAPD,故APPD因为1nD,1(,)nP，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，

7、共 30 页 - - - - - - - - - 5 所以111(,)(,)nnnA，则111(,)(,)nnnAA, 所以iiiA, (0)i(1 , 2 ,)in，因此，该方法求出的i为A的特征值 ,i为A的对应特征值i的特征向量由于定理 1求解时,总会遇到形如10acbA或20acbA()ab形式的矩阵化对角阵问题 ,为此给出具体方法：122112110ckcrkraacbbkAE或211222110ckcrkra cabbkAE其中ckab则1(1, )k ,2(0,1)为1的分别对应特征值 a 和b的特征向量；1(1, 0 ),2(,1)k为2的分别对应特征值 a和b的特征向量例 1

8、求3452A的特征值和特征向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 30 页 - - - - - - - - - 6 解211212214559452594115059ccccrrrr12129555915ccrr所以特征值为127,2;对应的特征向量为12(1 ,1),( 4,5) 例求133313331A的特征值和特征向量解13233132313311000ccccrrrrAE3223131310ccrr311313131100ccrr3331310cr所以

9、特征值1232,7; 特征向量分别为11,0, 1,20, , 1, 31, ,1. 下面总结出类似于例2 的一类矩阵的特征值和特征向量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 30 页 - - - - - - - - - 7 例2求b bbbbbA的特征值和特征向量解1331311ccrrb bbbbbbbb bbbAE23321ccrrbbbbb323122131133113311ccccrrrrbbbbb333131crbbbbb则A的特征值为121,b312

10、b,对应的特征向量为11,0, 1, 20 , ,1,31, ,1. 例 2求a b bb a bb ba且(0)ab的特征值和特征向量解13233132321ccccrrrrab babbb ababbb b aabAE3231231313131313ccccrrrr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 30 页 - - - - - - - - - 8 3331322crabababababab则A的特征值为123,2 ,abab 对应的特征向量为11,0,1

11、，20, , 1,31, ,1下面给出定理 1 的推广定理：定 理 7A为 任 意 n 阶 方 阵 , 若n系列列行互逆变化AJEP， 其 中1rJJJ()rn为约当矩阵 ,iiiJ(1, )ir为约当标准形1(,)rPPP,1(,)iiiirP(1, )ir,12rrrrn ， 则i为A的特征值 ,iiir为A的对应特征值i的特征向量 .证由所学知识可知A必相似一约当矩阵 ,由定理 1 中化简方法 ,则有1()P APJ ,即APPJ, 其中1111()rrP, iiiJ，iiiJ(1, )ir, 所以111111111()()rrrrrJAJ，故有iiA(1, )ir名师资料总结 - -

12、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 30 页 - - - - - - - - - 9 所以i为A的特征值 ,iiir为A的对应特征值i的特征向量例 求211031213A的特征值和特征向量解1331311000ccrrAE211210ccrr32323312211221100cccrrr所以特征值1232,4,对应特征值122的特征向量1( 1,1,1) ,对应特征值34的特征向量3(1, 1,1) 矩阵的特征值和特征向量的应用大学线性代数教材中 ,对矩阵的特征值和特征向量的定义为

13、1：设A为n 阶矩阵 ,若存在数和非零向量X,使AXX,则称数为A的特征值 ,非零向量X为A对应于特征值的特征向量现设k,a ,b均为常数 , m为正整数 ,那么如何求 n阶矩阵1,mkabAAI AA(若A可逆), *A(若A可逆),()f A(A的多项式)的特征值和特征向量?及如何巧妙求出n阶矩阵A的高次幂kA?还有在一定的限定条件下 ,如何根据矩阵的特征值和特征向量信息来决定矩阵中的元素,即求解矩阵特征值的反问题3.1 阶矩阵1,mkabAAI AA,*A,()fA的特征值和特征向量若是n 阶矩阵A的特征值 ,非零向量X为A对应于特征值的特征向量 ,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

14、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 30 页 - - - - - - - - - 10 则,1,( )mkabfA是1,mkabAAI AA,*A,()f A的特征值 ;非零向量X是1*,( )mkabfAAI AAAA 对应特征值,mkab1, A，()fA的特征向量证明由于是A的特征值 ,X是A对应于的特征向量 , 则有A XX, (1) 1)在(1)式两端同时左乘系数k得kkAXX,即()()kkA XX所以k是方阵kA的特征值 ,且向量X是方阵kA对应于特征值k的特征向量 .2) 由于 (

15、abAI)X=()abababAXXXXX,所以ab是方阵abAI的特征值 ,且向量X是方阵abAI对应于特征值ab的特征向量. 3) 由于22()()()A XA AAAXXX, 322223()()()()A XA AAXA XXX, 1111()()()mmmmmmA XA AXAXA XXX. 所以m是方阵mA的特征值 ,且向量X是方阵mA对应于特征值m的特征向量. 4) 在 (1) 式 两 端 同 时 左 乘1A得11AAXAX, 即1()XA X, 有11A XX成立.所以1是方阵1A的特征值 ,且向量X是方阵1A对应于特征值1的特征向量 . 5) 在 (1) 式 两 端 同 时

16、左 乘A得A AXAX, 由 于1AA A, 那 么(A AXA XA X),即有AA XX成立所以A是方阵A的特征值,且向量X是方阵A对应于特征值A的特征向量 . 6) 设1110( )nnnnf xa xaxa xa ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 30 页 - - - - - - - - - 11 则1110( )nnnnfaaaaAAAA, 1110()nnnnfaaaaA XA XAXAXX11101110()( )nnnnnnnnaaaaa

17、aaafXXXXXX上面的结论用到了3）的结论 ,由()( )ffA XX可知,()f是()fA的特征值,且向量X是()fA对应于特征值()f的特征向量 . 例133313331A求4232AAAI的特征值和特征向量 .分析 本题是求矩阵A的多项式的特征值和特征向量， 若按一般思路求解，则需计算的 4 次幂并进行多项式的计算， 再求特征值和特征向量， 计算量较大，但若按 6）的结论，计算变的很简单. 解 由例 2 知：矩阵A的的 3 个特征值为1232,7,其中对应的特征向量为1231,0,1,0,1, 1,1,1,1. 设42( )32f AAAAI ，则42( )321f，即为()f A的

18、特征值,当122,12()()1ff,当37时,3()2269f,则4232AAAI的特征值为 1，1，2269，对应的特征向量为1,2,3. 3.2 n阶矩阵的高次幂求解。当 n 阶矩阵A可对角化时 ,即矩阵A可与对角矩阵相似时,计算其高次幂kA有简便的方法,当 n 阶矩阵A满足下面的三个条件之一,即可对角化，即：1APP1) n阶矩阵A有 n个线性无关的特征向量；2) n阶矩阵A有 n个互不相等的特征值；3)A为实对称矩阵对于1APP,12,nPXXX是由A的 n个线性无关的特征向量组名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

19、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 30 页 - - - - - - - - - 12 成的矩阵12,ndiag是A的 n 个特征值组成的对角阵那么有11111()()()()kkAPPPPPP PPPP=1kPP其中12,kkkkndiag，故112,kkkkndiagAPP例133313331A，求kA（其中k为正整数）分析 一般说,若直接计算25,，AA再按归纳法寻求规律求kA是困难的，但这里因为A为实对称矩阵 ,故可对角化 ,可按上面讨论的方法求之 . 解因为AA，所以矩阵A为实对称矩阵 ,故A可对角化为，由例 2知：矩阵A的 3 个特征值为1232,7

20、,其对应的特征向量为123,，故对角阵( 2, 2,7)diag. 123101,011111P，121111213111P, 1(2 ,2 , 7 )d i a gPA P，那么有1APP，则1101( 2)0021110110( 2)01213111007111kkkkkAPP2 (2 )7(2 )7(2 )71(2 )72 (2 )7(2 )73(2 )7(2 )72 (2 )7kkkkkkkkkkkkkkkkkk3.3 矩阵特征值反问题的求解矩阵特征值反问题的求解2，即根据矩阵特征值和特征向量的信息来决定矩阵中的元素 .当矩阵A有 n个互不相等的特征值时 ,A必有 n 个线性无关的特征

21、向量 ,那么矩阵A必可对角化 ,故1APP.其中相似变换矩阵P由A的n 个线性无关的特征向量组成. 例已知A的 3 个特征值为1232,1,2,对应的特征向量分别名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 30 页 - - - - - - - - - 13 是1( 1,1,0)X,2(0,1, 2)X,3(0,1,1)X,求A. 分析 此题给出了矩阵的3 个互不相等的特征值及对应的特征向量,那么矩阵可对角化 ,显然是矩阵特征值的反问题,可按上面讨论的方法求解 . 解

22、由于(1,2,3)iiX是方阵A对应于特征值(1,2,3)ii的特征向量，于是有：iiAXX，令1231,XXXP，那么113P, 则有1PA P， 其中, 所以113APP124 结语通过以上例题求解方法可以看出,用行列互逆变换法 ,求特征值和特征向量简捷实用 ,能收到事半功倍的效果。矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用，依据上面讨论的 ,可以方便的求得n阶矩阵A逆矩阵 ,伴随矩阵 ,及A的多项式的特征值和特征向量 ,并可以巧妙的求出A的高次幂 ,关于特征值的反问题,本文仅做了初步探讨 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

23、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 30 页 - - - - - - - - - 14 参考文献1 北京大学数力系几何与代数教研室.高等代数 M. 北京：人民教育出版社.1999.2 戴华 . 矩阵特征值反问题J.数学通报， 1988， （3） ：5153.3 徐仲 . 线性代数 M . 西安：西北大学出版社.4 谢国瑞 . 线性代数及应用M. 北京：高等教育出版.5 赵树原 . 线性代数 M. 北京：中国人民大学出版社.1997. 6 马杰 . 线性代数复习指导M. 北京：机械工业出版社.2002. 7 刘国棋 . 利用矩阵初等行变化对矩阵的特征值与特征向量同

24、步求解J . 数学通报， 1996，（2） ：4042.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 30 页 - - - - - - - - - 15 谢辞本论文是在张丽老师的精心指导下完成的，在资料搜集、提纲拟订、结构完善、论文修改等诸多方面得到了张老师的耐心帮助和悉心指导，每一步都倾注了导师的心血。在此， 向张老师表示我最衷心的感谢。正是老师们积极的鼓励和无私的帮助，才使我完成了本研究课题。在与老师的不断接触和交流中，他们严谨的治学态度、广博的学识、深刻的见解和

25、诚恳朴实的为人，也让我难忘。转眼间，大学四年的学生生涯就要结束了。我非常高兴自己有机会来宝鸡文理学院，在这里我学到了很多不能从书本上得到的知识。非常庆幸自己能够在这里度过四年的时光，感谢我的老师们，让我在四年的时间了学到了很多；感谢我的同学们，感谢我们一起走过的日子。感谢我生命中出现的许多很重要的人，是你们让我知道生命可以这样精彩，是你们让我知道什么是温暖，什么是关爱，什么才是最重要的。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 30 页 - - - - - - -

26、 - - 16 宝鸡文理学院2007届本科毕业论文任务书课题名称：矩阵特征值与特征向量的计算和应用课题性质：实践应用型系别：数学系专业：数学与应用数学学生姓名：马红英学号：200338101144 指导教师：张丽2007 年 05月 4 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 30 页 - - - - - - - - - 17 课题条件：矩阵特征值与特征向量的计算和应用是高等 代 数 中 的重 要 的内 容 ， 本 课 题 主 要 给 出 一 种 只需 对 原

27、 矩阵作列行互逆变换就可同步求出特征值及特征向量的方法，而且不需要考虑带参数的方程；矩阵特征值与特征向量有许多具体应用，本课题针对 n 阶矩阵的矩阵特征值与特征向量的应用进行了3 个方面的探讨。 同 时 研究 ， 查阅 相 关 资料 以 保 证理 论 知 识的 有 效 性 ；在讨 论 矩阵特征值与特征向量的 应用 时 . 抓 住典 型 例 题使 得 该 课题 更 加 完善 和 丰 富。毕业论文主要内容：一、引言简述矩阵特征值与特征向量的计算的一般方法二、用列行互逆变换计算矩阵特征值与特征向量三、矩阵特征值与特征向量的应用1.n 阶矩阵 A的逆矩阵、伴随矩阵、及A的多项式等的特征值与特征向量2.

28、n 阶矩阵高次幂的求解3.矩阵特征值反问题的求解四、结语注：课题性质分为理论型实践应用型。下同。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 30 页 - - - - - - - - - 18 计划进度3 月 10 日3 月 20 日搜集、查阅资料3 月 21 日3 月 25 日确定论文题目3 月 26 日4 月 12 日编写论文提纲4 月 15 日5 月 10 日完成初稿撰写5 月 15 日5 月 20 日完成对第一稿的修改5 月 17 日5 月 20 日填写任务书

29、5 月 21 日5 月 27 日进一步修改、完善并定稿5 月 28 日6 月 9 日准备论文答辩主要参考文献：1北京大学数力系几何与代数教研室.高等代数 M. 北京：人民教育出版社 .1999. 2 戴华. 矩阵特征值反问题 J.数学通报 ,1988, （3） ：5153. 3 徐仲. 线性代数 M . 西安：西北大学出版社 .4 谢国瑞 . 线性代数及应用 M. 北京：高等教育出版 .5 赵树原 . 线性代数 M. 北京：中国人民大学出版社.1997. 6 马杰. 线性代数复习指导 M. 北京：机械工业出版社 .2002. 7 刘国棋 . 等. 利用矩阵初等行变化对矩阵的特征值与特征向量同步

30、求解J . 数学通报， 1996， （2） ：4042. 指导教师意见：1通过；2完善后通过；未通过签名：年月日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 30 页 - - - - - - - - - 19 宝鸡文理学院2007届本科毕业论文中期检查报告课题名称：矩阵特征值与特征向量的计算和应用课题性质：实践应用型系别：数学系专业：数学与应用数学学生姓名：马红英学号：200338101144 指导教师：张丽2007 年 05 月 24日名师资料总结 - - -精品资

31、料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 30 页 - - - - - - - - - 20 学生撰写情况：自四月初开始， 该同学根据自己的兴趣， 搜集大量资料，并认真查阅相关文献，并拟定了论文题目为 “矩阵特征值与特征向量的计算和应用”。此后认真的构思写作框架以及主要内容，并多次主动与指导老师联系，理顺自己的写作思路， 与五月初完成论文初稿并填写了任务书，制定了撰写计划。通过对矩阵的研究， 总结出计算一类矩阵特征值和特征向量的简单方法，方便了学习，拓宽了思路，具有现实意义。目前，学生的论文正

32、在进一步修改中。指导教师：（签名）教师指导情况：1. 召开小组动员会， 让学生明确撰写毕业论文的重要性、必要性以及需要注意的事项。2. 指导学生查阅相关文献资料，拟定课题方向， 确定论文题目， 撰写任务报告书，并拟定论文撰写计划进度。3. 指导学生撰写论文初稿。4. 修改初稿，并逐个指导存在问题。5. 对论文进行中期检查。6. 继续修改论文存在的问题，并指导答辩问题。检查人：（签名）系主任：（签名）注：学生撰写情况由指导教师填写。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20

33、页，共 30 页 - - - - - - - - - 21 宝鸡文理学院2007 届本科毕业论文指导教师指导纪录表课题名称 ：矩阵特征值与特征向量的计算和应用课题性质 ：实践应用型系别：数 学 系专业：数学与应用数学学生姓名 ：马红英学号：200338101144指导教师 ：张丽2007 年 6 月 5 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 30 页 - - - - - - - - - 22 学生完成指导毕业论文的工作计划：第一阶段：（第 3，4 教学周）指

34、导学生查阅文献资料，明确研究方向，确定论文题目；第二阶段：（第 5，6 教学周）指导学生填写毕业论文任务书，制定完成论文的工作计划；第三阶段：（第 7 教学周）审查毕业论文任务书并指导学生撰写论文初稿；第四阶段：（第 8，9，10 教学周）指导学生修改论文初稿；第五阶段：（第 11，12，13 教学周）指导学生对论文进行第二稿和第三稿的修改，最后定稿；第六阶段：（第 14，15教学周）指导学生准备并进行论文答辩。指导的具体时间及指导内容（分次填写） ：3月 8 日：进行动员，布置查阅文献资料等有关事宜，尽快确定研究方向，3 月 29 日：就查阅文献资料情况进行检查，并初步确定研究方向，4 月

35、7 日：根据学生的研究方向，初步确定论文题目，指导学生填写任务书，制定完成论文的工作计划。4 月 14 日：审定论文题目，审查毕业论文任务书，并就初稿内容进行指导。4 月 21 日：收交毕业论文任务书，指导学生撰写论文初稿。4 月 28 日：指导学生修改论文初稿。5 月 3 日：指导学生对第二稿进行修改。5 月 8 日：指导学生对第三稿进行修改。5 月 13 日：论文定稿，要求撰写答辩提纲，并就答辩情况提出具体要求。5 月 24 日：填写毕业论文中期报告。5 月 28 日：指导学生准备并进行论文答辩. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

36、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 30 页 - - - - - - - - - 23 对第一稿提出的修改意见：1、文章分为四部分：引言、计算、应用、结语；2、文章的层次结构需要调整，使其层次结构简明; 3、文中所用高代知识叙述还不够准确，需要加深相关知识的理解。对第二稿提出的修改意见：内容基本上无大问题。摘要、 关键词及参考文献书写不规范，应按标准形式和要求书写。 另外有些语句欠通顺， 有错别字， 有些地方的标点符号用法不准确。论述方面不够严谨，希望对文中指出的有关方面修改。对第三稿提出的修改意见：论文可以定稿。希望在修改好文章中的错别字和不正确

37、的标点符号后，可以打印，准备答辩。指导教师：（签名）学生：（签名）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 30 页 - - - - - - - - - 24 宝鸡文理学院2007 届本科毕业论文结题报告课题名称 ：矩阵特征值与特征向量的计算和应用课题性质 ：实践应用型系别：数 学 系专业：数学与应用数学学生姓名 ：马红英学号：200338101144指导教师 ：张 丽2007 年 6 月 8 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

38、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 30 页 - - - - - - - - - 25 本课题完成情况，包括研究过程、结果、存在的问题等：本课题通过参考大量的文献资料，搜集相关期刊，最终确定论文题目为矩阵特征值与特征向量的计算和应用. 在思想中已明确论文所要涉及的方面和大致框架；然后列出提纲， 准备开题 . 通过对查阅材料的深入研究，归纳和总结，加上自己的思想从而完成初稿. 然后在老师的指导下，反复修改，补充，完善，最后定稿，准备答辩. 本文首先给出了求解矩阵特征值与特征向量的一种简易方法：列行互逆变换方法，其次给出了矩阵特

39、征值与特征向量的应用，同时给出了相关的定理及其理论证明。通过本文，不但可以更好地掌握矩阵特征值与特征向量的求解方法及其应用，而且也有助于对矩阵及其相关内容的进一步理解。本文的撰写为大学高等代数中关于矩阵特征值与特征向量的教学和学习提供了有用的结论，但由于本文作者自身的知识局限性，本文在理论上可能没有多少突破，在如何应用矩阵特征值与特征向量解决初等和高等数学中的相关问题方面还有待于进一步的讨论. 注：由学生填写名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 30 页 -

40、- - - - - - - - 26 指导教师评审意见：本文首先给出了求解矩阵特征值与特征向量的一种简易方法：列行互逆变换方法，其次给出了矩阵特征值与特征向量的应用，同时给出了相关的定理及其理论证明。通过本文，不但可以更好地掌握矩阵特征值与特征向量的求解方法及其应用，而且也有助于对矩阵及其相关内容的进一步理解 . 该生在论文的撰写过程中态度端正，很认真的对此篇论文进行了写作和修改，虚心听取了指导老师的意见，但由于缺乏实践，对所研究问题还不够深入和全面，没有太多的创新点。但文章结构合理，层次分明，条理清晰，语言表述清楚，推理论证无误，完成了任务书中的内容，同意论文结题。同意结题。指导教师：（签名

41、）系毕业论文指导委员会审查意见：同意结题。系毕业论文指导委员会主任名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 30 页 - - - - - - - - - 27 宝鸡文理学院2007 届本科毕业论文成绩评定及答辩评议表课题名称 ：矩阵特征值与特征向量的计算和应用课题性质 ：实践应用型系别：数学系专业：数学与应用数学学生姓名 ：马红英学号：200338101144指导教师 ：张 丽2007 年 6 月 10 日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

42、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 30 页 - - - - - - - - - 28 指导教师评语：本文首先给出了求解矩阵特征值与特征向量的一种简易方法：列行互逆变换方法， 其次给出了矩阵特征值与特征向量的应用，同时给出了相关的定理及其理论证明。通过本文， 不但可以更好地掌握矩阵特征值与特征向量的求解方法及其应用，而且也有助于对矩阵及其相关内容的进一步理解。该同学的论文选题具有一定的针对性和实际意义，文章立意明确，布局合理，概念清楚，分析透彻，文字表达清晰，论点鲜明，论据充分，有较强的逻辑性，结论准确合理，其结果

43、具有一定的理论价值和实际意义， 可为高等代数中关于矩阵的教学提供了一份实用的参考资料，其工作是富有成效的。在论文的写作过程中，该同学阅读了一定的文献资料，对所涉及问题的主要成果有较全面的了解。能按照预定的方式开展工作，有疑难问题能虚心请教，工作认真细致。通过本文的撰写， 使作者得到了应有的锻炼， 初步具备了书写科技论文的能力， 为今后的科学研究奠定了一定的基础。同意参加论文答辩。成绩：指导教师：（签名）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 30 页 - - -

44、 - - - - - - 29 答辩小组姓名学历、职称学生答辩成绩本人签字组长王爱利秘书答辩评语及成绩评语：该论文选题具有一定的针对性和实际意义，文章立意明确，结构合理，层次清楚，语言流畅，形式规范，有较强的逻辑性和一定的创新能力，其结果具有一定的理论价值和实际意义。答辩中能流利陈述论文内容，理解正确、全面，能正确回答各种提问。经答辩小组讨论审查，一致同意论文答辩通过。答辩成绩：组长签名：（答辩小组成员打分的平均值）年月日答辩委员会意见同意答辩小组意见主席签名：年月日毕业论文成绩指导教师评定成绩(权重 50%) 答辩成绩(权重 50%) 总评成绩系毕业论文指导委员会意见同意系答辩委员会意见负责人签字：年月日名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 30 页 - - - - - - - - - 30 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 30 页 - - - - - - - - -