2022年幂的运算总结及方法归纳 .pdf

《2022年幂的运算总结及方法归纳 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年幂的运算总结及方法归纳 .pdf（15页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：在运用nmnmaaa?（m、n为正整数），nmnmaaa（0a，m、n为正整数且mn） ，mnnmaa )(（m、n为正整数），nnnbaab)(（n为正整数） ，)0(10aa，nnaa1（0a，n为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。注意上述各式的逆向应用。 如计算20052004425.0，可先逆用同底数幂的乘法 法 则 将20054写 成442004， 再 逆 用 积 的 乘 方

2、法 则 计 算11)425.0(425.02004200420042004，由此不难得到结果为1。通过对式子的变形， 进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘方运算转化为指数的乘法运算等。在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、 规律”这

3、一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 公式表示为：mnm naaamn、 为正整数2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即()mnpm m paaaamnp、 、 为正整数注意点：（1）同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数. （2）在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同， 先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算. 例题：例 1：计算列下列各题（1）34aa；（2）23b bb；（3）24ccc简单练习：一、

4、选择题1.下列计算正确的是( ) A. 2+3=5 B.23=5 C.3m+2m=5m D.2+2=24 2.下列计算错误的是( ) A.5 2- 2=42 B.m+m=2m C.3m+2m=5m D.2m-1= 2m 3.下列四个算式中33=23 3+3=6 32=5 p2+p2+p2=3p2 正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.下列各题中，计算结果写成底数为10 的幂的形式，其中正确的是( ) A.100 102=103 B.10001010=103 C.100 103=105 D.1001000=104二、填空题1.44=_；44=_。 2、 b2bb7=_。3、

5、103_=1010 4、(- )2(- )35=_。5、5( )=2( ) 4=186、( +1)2(1+ ) ( +1)5=_。中等练习：1、 (-10)310+100(-102)的运算结果是 ( ) A.108 B.-2104 C.0 D.-104名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2、( - )6( - )5=_。 3、10m10m-1100=_。4、a 与 b 互为相反数且都不为0， n 为正整数，则下列两

6、数互为相反数的是( ) A. 2n-1与- 2n-1 B.2n-1与2n-1 C.2n与2n D.2n与2n5.计算 ( - )n( - )n-1等于( ) A.(- )2n-1 B.( - )2n-1 C. (- )2n-1 D. 非以上答案6.7等于 ( ) A.(- 2 ) 5 B 、(- 2) (- 5) C.(-)34 D.(-) (- )67、解答题(1) 2(- 3) (2) (- )23(3) 2(- )2(- )3 (4) (- 2) (- )2(- 3) (- )3(5) 1?nnxxx (6)x4mx4+m(-x) (7) x6(-x)5-(-x)8(-x)3 (8) -

7、3(- )4(- )57.计算 (-2)1999+(-2)2000等于( ) A.-23999 B.-2 C.-21999 D.219998.若2n+1x=3那么 x=_ 较难练习：一、 填空题：1. 111010mn=_,456( 6)=_. 2. 234x xxx=_,25() ()xyxy=_. 3. 310100101001001001000010 10=_. 4. 若1216x, 则 x=_. 5. 若34maa a, 则 m=_;若416ax xx,则 a=_; 若2345yxx x x xx, 则 y=_; 若25()xaaa, 则 x=_. 6. 若2,5mnaa, 则m na

8、=_. 二、选择题7. 下面计算正确的是( ) A 326b bb； B 336xxx； C 426aaa； D 56mmm8. 81 27 可记为 ( ) A.39; B.73; C.63; D.1239. 若xy, 则下面多项式不成立的是( ) A.22()()yxxy; B.33()()yxxy; C.22()()yxxy; D.222()xyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 10. 计算1999200

9、0( 2)( 2)等于( ) A.39992; B.-2; C.19992; D.1999211. 下列说法中正确的是( ) A. na和()na一定是互为相反数 B. 当 n 为奇数时 , na和()na相等C. 当 n 为偶数时 , na和()na相等 D. na和()na一定不相等三、解答题 : 12.计算下列各题 : （1）2323()()()()xyxyyxyx； （2）23() ()()abcbcacab（3）2344()()2()()xxxxxx；（4）122333mmmx xxxxx。13.已知21km的土地上 , 一年内从太阳得到的能量相当于燃烧81.3 10 kg煤所产生的

10、能量, 那么我国629.6 10 km的土地上 , 一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤多少千克？14(1) 计算并把结果写成一个底数幂的形式: 43981；6625 1255。(2) 求下列各式中的x: 321(0,1)xxaaaa；62(0,1)xxppppp。15计算234551() 22xyxy。16. 若15(3)59nnxxx，求 x 的值 .二、幂的乘方与积的乘方1、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘. 公式表示为：()nmmnaamn、 都是正整数. 2、积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 公式表示为：()nnnaba bn为正整数. 注意点：（1）

11、幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数. （2）指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开 . （3）运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果; （4）运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 例题：1.计算：43a表示. 2.计算：（x4）3= . 3 计算：（1）nmaa3)

12、(；423) 1(a简单练习：一、判断题1、52323xxx ( ) 2、7632aaaaa ( ) 3、93232xxx（） 4、9333)(mmxx（）5、532)()()(yxxyyx ( ) 二、填空题：1、,_)2(32_)2(32；2、_)()(3224aa，_)()(323aa；3、_)()(4554xx，_)()(1231mmaa；4、_)()()()(322254222xxxx；5、若3nx， 则nx3_.三、选择题1、122)(nx等于（）A、14nx B 、14nx C 、24nx D 、24nx2、21)(na等于（）A、22na B 、22na C 、12na D 、

13、22na3、13ny可写成（）A、13)(ny B 、13)(ny C 、nyy3 D 、1)(nny4211nnpg等于（）A2np B 2np C 2np D 无法确定5计算2323xyyx的结果是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - Ayx105 B yx85 C yx85 D yx1266若 N=432baa，那么 N等于（）A77ba B128ba C1212ba D712ba7已知3, 5aayx,

14、则ayx的值为（）A15 B35 Ca2 D以上都不对中等练习：一、填空题1. 计算：（y3）2+（ y2）3= . 2. 计算：?3223)()(aa3.)(234)2(. （在括号内填数）二、选择题4. 计算下列各式，结果是8x的是（）Ax2x4； B （x2）6； Cx4+x4； Dx4x4. 5. 下列各式中计算正确的是（）A （x4）3=x7； B.（ a）25=a10；C.（am）2=（a2）m=am2； D.（ a2）3=（ a3）2=a6. 6. 计算32)(x的结果是（）A.5x； B.5x； C.6x； D.6x. 7. 下列四个算式中：（ a3）3=a3+3=a6； （

15、b2）22=b222=b8； （ x）34=（ x）12=x12；（ y2）5=y10，正确的算式有（）A0 个； B1 个； C 2个； D3 个. 8. 下列各式：325)( aa；34)( aa；2332)()(aa；34a，计算结果为12a的有（）A.和；B.和；C.和；D.和. 较难练习：1、2(anbn)2+(a2b2)n2、(-2x2y)3+8(x2)2(-x2) (-y3) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - -

16、- - - 3、-2100X0.5100X(-1)1994+124. 已知 2m=3，2n=22，则 22m+n的值是多少5已知8321943ag，求3a的值6. 已知 105,106，求2310的值7. 已知 xn=5,yn=3, 求 (x2y)2n的值。8比较大小： 218X310与210X315 9. 若有理数 a,b,c 满足(a+2c-2)2+|4b-3c-4|+|2a-4b-1|=0 ，试求 a3n+1b3n+2- c4n+210、太阳可以近似的看作是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么343Vr , 太阳的半径约为 6X105千米，它的体积大约是多少立方千米？( 取 3

17、) 三、同底数幂的除法1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减. 公式表示为：0,mnm naaaamnmn、 是正整数，且. 2、零指数幂的意义任何不等于0 的数的 0 次幂都等于1.用公式表示为：010aa. 3、负整数指数幂的意义任何不等于0的数的 -n(n 是正整数) 次幂，等于这个数的n次幂的倒数，用公式表示为10,nnaana是正整数4、绝对值小于 1的数的科学计数法对 于 一 个 小 于 1 且 大 于 0 的 正 数 ， 也 可 以 表 示 成10na的 形 式 ， 其 中110,an是负整数. 注意点：(1) 底数a不能为 0，若a为0，则除数为 0，除法就没有意义

18、了；(2) 0,amnmn、 是正整数，且是法则的一部分，不要漏掉. （3）只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1. 例题：计算下列各题：（1） （m-1）5（m-1）3；（2） （x-y）10（ y-x）5（x-y） ；（3） （am）n（-am3）n2(amn)5; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - (4) 21-（-32）2+（23）0. 简单练习：1. a2=a3. 2.若 53k=1，则 k= . 3

19、31+（91）0= . 4用小数表示 -3.021103= 。5.计算：26aa= ，25)()(aa= . 6.在横线上填入适当的代数式：146_xx ?，26_xx. 7.计算：559xxx?= ，)(355xxx= 8.计算：89)1()1(aa= . 9.计算：23)()(mnnm_10 （-a2）5（ -a）3= ， 920271037= 。中等练习：1.如果 amax=am3，那么 x 等于（）A3 B.-2m C.2m D.-3 2.设 a0，以下的运算结果：（a3）2 a2=a7； a3a2=a5；（ -a）3a0=-a3；（ -a）2a=a1，其中正确的是（）A. B. C.

20、 D. 3.下列各式计算结果不正确的是( ) A.ab(ab)2=a3b3； B.a3b2 2ab=21a2b； C.(2ab2)3=8a3b6； D.a3 a3 a3=a2.4.计算：4325aaa的结果，正确的是（）A.7a；B.6a；C.7a；D.6a. 5. 对于非零实数m，下列式子运算正确的是（）A923)(mm；B623mmm；C532mmm；D426mmm. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - 6 若

21、53x，43y,则yx23等于 ( ) A.254；B.6 ；C.21；D.20. 7.计算：3459)(aaa ?；347)()()(aaa；533248 ?；233234)()()()(xxxx?. 8.地球上的所有植物每年能提供人类大约16106.6大卡的能量，若每人每年要消耗5108大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？较难练习：1 观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，则 89的个位数字是（）A.2 ；B4；C8；D6. 2.若02)3()63(2xx有意义，则x 的取值范围是（）Ax3；Bx2 ；C x3 或x2

22、 ；Dx3 且x2. 3.某种植物花粉的直径约为35000纳米 ,1纳米 =910米，用科学记数法表示该种花粉的直径为. 4. 已知827)32(x，则 x= 5计算：20082009)81()125.0(. 6.已知：200932122221s，请你计算右边的算式求出S的值7. 解方程：（1）15822 ? x；（2）5)7(7x. 8. 已知3,9mnaa,求32mna的值 . 9.已知235,310mn,求(1)9m n；(2)29m n. 10.化简求值：（2x-y）13（2x-y）32（ y-2x）23，其中 x=2，y=-1。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

23、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 运用幂的运算法则的四个注意一、注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。例 1. 计算：（ 1）aaaaaa2341 23 410（ 2）()aba ba b2343641224（ 3）xyzxyz4444二、注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项式，甚至可以是一个多项式。例 2. 计算：（ 1）yym nm nmn2

24、2（ 2）xyxyxymnnm32222xyxymnnmm322 222三、注意法则的可逆性逆向应用运算法则，由结论推出条件，或将某些指数进行分解。例 3. 在下面各小题的括号内填入适当的数或代数式：（ 1）xxm 1()()xxn32()()()（ 2）an()()1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - aaann224()四、注意法则应用的灵活性在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过

25、程简便。例 4. 计算：125256255nm5555553243 2412 24nmnmnm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - 幂的运算方法总结作为整式乘除的前奏， 幂的运算看似非常简单， 实际运用起来却灵活多变。不过， 只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练。现在对此做一探索。幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：a

26、man=am+n (am)n=amn (ab)m=ambm aman=am-n只要理解掌握公式的形状特点，熟悉其基本要义， 直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。问题1、已知 a7am=a3a10，求 m的值。思路探索：用公式1计算等号左右两边， 得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。方法原则：可用公式套一套。但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。问题2、已知 xn=2,yn=3, 求(x2y)3n的值。思路探索： (x2y)3n中没有 xn和 yn，但运用公式 3就可将(x2y)3n化成含有 xn和 y

27、n的运算。因此可简解为， (x2y)3n =x6ny3n=(xn)6(yn)3=2633=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 方法原则：整体不同靠一靠。然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、已知 a3=2,am=3,an=5，求 am+2n+6的值。思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了

28、。简解： am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3254=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。方法原则：逆用公式倒一倒。当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、已知 22x+322x+1=48，求 x 的值。思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。简解： 22x+322x+1=22x2322x21=822x222x=622x=48 22x=8 2x=3x=1.5方法思考 :冪的底数是常数且

29、指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。问题5、已知 64m+12n33m=81,求正整数 m 、n 的值。思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - - 简解： 64m+12n33m =24m+134m+12n33m=24m+1-n3m+1=81=34m 、n 是正整数m+1=4

30、,4m+1 n=0 m=3,n=13方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。问题6、已知 2a=3,2b=6,2c=12，求 a、b、c 的关系。思路探索：求 a、b、c 的关系，关键看 2a、2b、2c的关系，即 3、6、12的关系。 6是3的2倍，12是6的2倍，所以 2c=22b=42a, 由此可求。简解：由题意知 2c=22b=42a2c=2b+1=2a+2c=b+1=a+2方法思考：底数是相同的常数时， 通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。综合用到以上方法就更需要引起注意。问

31、题7、已知 2x=m,2y=n, 求22x+3y+1的值。思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。简解： 22x+3y+1=22x23y21=(2x)2(2y)32=m2n32=2m2n3方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。问题8、已知 a=244,b=333,c=422，比较 a、b、c 的大小。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 思路探索：同底数幂比较大小

32、观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将指数变相同，比较底数大小了。简解： a=244=2411=（24）11=1611, b=333=3311=（33）11=2711 c=422=4211=1611 a=cb 方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。思考归纳：幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式， 还要能逆用。 其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值， 作为该项的系数。 第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。思考原则可用公式套一套，整体不同靠一靠，逆用公式倒一倒，常数底数造一造，系数质数和指数，综合运用瞧一瞧。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -