最新一维随机变量及其分布(共119张PPT课件).pptx

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1、第二章第二章一维随机变量一维随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)及其分布及其分布n一维随机变量n离散(lsn)型随机变量n随机变量的分布函数n连续型随机变量n随机变量函数的分布第一页，共一百一十九页。第二页，共一百一十九页。为了全面地研究随机(su j)试验的结果，揭示随机(su j)现象的统计规律性，我们将随机(su j)试验的结果与实数对应起来，将随机(su j)试验的结果数量化为什么引入随机变量为什么引入随机变量(su j bin lin)？随机变量的引入使得对事件的研究转化为对随机变量的研究，对于理论研究和数学(shxu)运算都带来极大的便利第三页，共一百一

2、十九页。2.1一维随机变量一维随机变量(su (su j bin lin)j bin lin)第四页，共一百一十九页。1、有些试验结果本身与数值、有些试验结果本身与数值(shz)有关（本身有关（本身就是一个数）就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上例如，掷一颗骰子面上(min shn)出现的点数；出现的点数；每天从济南下火车每天从济南下火车(huch)的人数；的人数； 七月份济南的最高温度；七月份济南的最高温度；随机变量随机变量第五页，共一百一十九页。这种对应关系在数学上理解这种对应关系在数学上理解(lji)为定义了一种为定义了一种实值函数实值函数.e.X(e)sR2、在有些试验中，试验结果看来与

3、数值无关，但我在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示们可以引进一个变量来表示(biosh)它的各种结果它的各种结果. 也也就是说，把试验结果数值化就是说，把试验结果数值化.第六页，共一百一十九页。(1) 这种实值函数是定义在样本空间上的函数这种实值函数是定义在样本空间上的函数. 它随试验结果的不同它随试验结果的不同(b tn)而取不同而取不同(b tn)的值，的值， 因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值不能预先肯定它将取哪个值.(2) 由于试验结果的出现具有一定由于试验结果的出现具有一定(ydng)

4、的概率，的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的值也有一定(ydng)的概率的概率. 称这种定义称这种定义(dngy)在样本空间上的实值函数为在样本空间上的实值函数为随机变量。随机变量。随机变量通常用大写字母随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母或希腊字母,等等表示而表示随机变量所取的值时表示而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字一般采用小写字母母x,y,z等等.第七页，共一百一十九页。 例如，从某一学校随机例如，从某一学校随机(su j)选一学生，测量他的身选一学生，测量他的身高高. 我们我们(w men)可以把可能的身高看

5、作随机变量可以把可能的身高看作随机变量X,然后我们可以提出然后我们可以提出(t ch)关于关于X的各种问题的各种问题. 如如 P(X1.7)=？ P(X1.5)=?P(1.5X1.7)=?第八页，共一百一十九页。 这时这时,要么要么x1.7米，要么米，要么x 1.7米，再去求米，再去求P(x 1.7米米)就没有什么就没有什么(shn me)意义了意义了. 一旦一旦(ydn)我们实际选定了一个学生并量了他的身我们实际选定了一个学生并量了他的身高之后，我们就得到高之后，我们就得到X的一个具体的值，记作的一个具体的值，记作x.第九页，共一百一十九页。 有了随机变量有了随机变量(su j bin li

6、n), 随机试验中的各种事随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量件，就可以通过随机变量(su j bin lin)的关系式表达出的关系式表达出来来.引入随机变量引入随机变量(su j bin lin)的意义的意义 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数数(csh)用用X表示，它是一个随机变量表示，它是一个随机变量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 没有收到呼叫没有收到呼叫 X= 0 第十页，共一百一十九页。 可见，随机事件这个概念实际上是包容可见，随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内在随机变量这个更广的概念内. 也

7、可以也可以(ky)说，说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样分析中常量与变量的区别那样.第十一页，共一百一十九页。 随机变量概念的产生是概率论发展史上随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件的重大事件(shjin). 引入随机变量后，对随机引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件现象统计规律的研究，就由对事件(shjin)及事及事件件(shjin)概率的研究扩大为对随机变量及其取概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究值规律的研究.

8、事件事件(shjin)及及事件概率事件概率随机变量随机变量(su j bin lin)及其及其取值规律取值规律第十二页，共一百一十九页。随机变量随机变量(su j bin lin)的分类的分类 通常通常(tngchng)分为两类：分为两类： 如如“抽验一批产品中次抽验一批产品中次 品的个数品的个数”， “电话电话(dinhu)(dinhu)交换台在一交换台在一定时间内收到的呼叫次数定时间内收到的呼叫次数 ”等等.随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量连续型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个所有取值可以逐个一一列举一一列举例如，例如，“电视机的寿命电视机的寿命”，实际，实际中常遇到的中

9、常遇到的“测量误差测量误差”等等. 全部可能取值不全部可能取值不仅有无穷多，而且还仅有无穷多，而且还不能一一列举，而是不能一一列举，而是充满一个区间充满一个区间.第十三页，共一百一十九页。 这两种类型的随机变量因为都是随机变量，这两种类型的随机变量因为都是随机变量，自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不自然有很多相同或相似之处；但因其取值方式不同，又有其各自同，又有其各自(gz)的特点的特点.随随机机变变量量连续型随机变量连续型随机变量离散型随机变量离散型随机变量学习时请注意学习时请注意(zh y)它们各自的特点和描述方法它们各自的特点和描述方法.第十四页，共一百一十九页。2.2离散离散(

10、lsn)(lsn)型随机变型随机变量量第十五页，共一百一十九页。第十六页，共一百一十九页。NoImage用这两条性质判断用这两条性质判断(pndun)一个函数是否是一个函数是否是概率函数概率函数第十七页，共一百一十九页。 这样，我们就掌握了这样，我们就掌握了X这个随这个随机变量取值的概率机变量取值的概率(gil)规律规律.从中任取从中任取3 个球个球取到的白球数取到的白球数X是一个是一个(y )随机变量随机变量X可能可能(knng)取的值是取的值是0,1,2取每个值的概率为取每个值的概率为101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例1

11、且且1)(20iiXP第十八页，共一百一十九页。二、表示二、表示(biosh)方法方法（1）列表）列表(li bio)法：法：（2）图示法）图示法（3）公式）公式(gngsh)法法2 , 1 , 0,)(35233kCCCkXPkk再看例再看例1任取任取3 个球个球X为为取到的白球数取到的白球数X可能取的值可能取的值是是0,1,20.10.30.6kPK012X0120.1 0.6 0.3kp第十九页，共一百一十九页。解解：(1)放放回回设设X为为取取到到白白球球时时的的取取球球次次数数，这这种种分分布布称称为为几几何何分分布布。显显然然，P Xmmmm()11125352 513 51则则X

12、 12, ,52) 1(XP,5352)2(XP,5352)(1mmXP，m12, 几何级数几何级数(j h j sh)第二十页，共一百一十九页。P Y(). ,12504显显然然，P Ymm().140 40 30 20 11(2) 不不放放回回设设Y为取到白球时的取球次数，为取到白球时的取球次数，4 , 3 , 2 , 1Y，则，则P Y(). ,2352403P Y(). ,33524230 2P Y(). , 43524132201YP1 2 3 40.4 0.3 0.2 0.1第二十一页，共一百一十九页。三、常见的离散型随机变量三、常见的离散型随机变量(su j bin lin)的分

13、布的分布1、（、（0-1）分布（两点分布）分布（两点分布）设随机变量X只可能(knng)取0与1两个值，它的分布律是：) 10(1 , 0,)1 (1pkppkXPkk则称X服从(fcng)（0-1）分布或两点分布（0-1）分布的分布律也可写成X01P1-pp第二十二页，共一百一十九页。对于一个随机试验，如果它的样本空间只包含(bohn)两个元素，即,21eeS 我们总能在S上定义(dngy)一个服从(0-1)分布的随机变量21, 1, 0)(eeeeeXX例如(lr)：若令投硬币得到的正面为1，反面为0。即得到一个“0-1”分布的随机变量XX01P0.5 0.5第二十三页，共一百一十九页。2

14、、二项分布、二项分布若随机变量(su j bin lin)X的所有可能取值为0,1, ,n, 且它的分布律为nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(称称X服从服从(fcng)参数为参数为n和和p的二项分布，记作的二项分布，记作 XB(n,p)当当n=1时，时，P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1称称X服从服从(fcng)两点分布两点分布若用若用X表示表示n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A出现的次数，出现的次数，则则 , ,其中其中 p=P(A). p=P(A).XB(n,p)第二十四页，共一百一十九页。不难验证不难验证(ynzhng)(ynzhng)：1)()2(

15、0)()1(0nkkXPkXP例1 按规定，某种型号(xngho)电子元件的使用寿命超过1500小时的为一级品。已知某一大批产品的一级品率为0.2，现从中随机地抽查20只。问20只元件恰有k只（k=0，1，20）为一级品的概率是多少？第二十五页，共一百一十九页。 例2 某炮击(poj)中目标的概率为0.2，现在共发射了14发炮弹。若至少有两发炮弹击中目标才能摧毁它，试求摧毁目标的概率。，那么只元件中一级品的只数记为以解：20XXB(20,0.2)20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020kCkXPkkk第二十六页，共一百一十九页。弹数，则发炮弹中击中目标的炮表示设解：14XXB(

16、14,0.2)14, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0()(1414kCkXPkkk因为“摧毁(cuhu)目标”等价于事件 ,所以摧毁(cuhu)目标的概率为2X8021. 0)8 . 0)(2 . 0()8 . 0(1101)2(1311414142CXPXPkXPXPk第二十七页，共一百一十九页。 k20 kk20k0.80.2,(0,1,.,20)P XCk 20k20 kk2018180.80.20.206.kP XC第二十八页，共一百一十九页。3、泊松分布、泊松分布(fnb)设随机变量X所有可能(knng)取的值为0,1,2，而取各个值的概率为, 2 , 1 , 0,!)(kk

17、ekXPk其中 是常数。则称X服从参数(cnsh)为 的泊松分布，记为0)(PX不难验证：不难验证：1)()2(0)()1(0kkXPkXP第二十九页，共一百一十九页。例如(lr)：某一段时间内电话某一段时间内电话(dinhu)用户对电话站的呼用户对电话站的呼唤次数唤次数某一段时间内候车某一段时间内候车(hu ch)的旅客数的旅客数一本书中某一页上一本书中某一页上印刷错误的个数印刷错误的个数第三十页，共一百一十九页。在一部篇幅很大的书籍中，发现在一部篇幅很大的书籍中，发现(fxin)只有只有13.5%的页数的页数没有印刷错误，如果我们假定每页的错字数是服从没有印刷错误，如果我们假定每页的错字数

18、是服从 解解 设为每页的错字设为每页的错字(cuz)个数，由已知得个数，由已知得又已知又已知 ln0.1352.0025 ()(0,1,2,.,)!kPkekk 即即( )P (0)0.135P 0.135e 即即 2703. 0) 1(eP第三十一页，共一百一十九页。例例2.2.设每对夫妇的子女数设每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为 的泊松分布的泊松分布, ,且且知一对知一对(y du)(y du)夫妇有不超过夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .求任求任选一对夫妇选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率。个孩子的概率。 23 101),( eXP

19、XPXPpX且且 21013 XPXPXPXP323. 051! 22! 121222212 eeee解解:由题意由题意(t y),232 eee第三十二页，共一百一十九页。NoImage第三十三页，共一百一十九页。 可以证明可以证明 当当n很大很大, p很小很小,=np是一个不太大的常数是一个不太大的常数(chngsh)时时,可以可以用泊松分布作为二项分布的近似用泊松分布作为二项分布的近似.即即),.,2 , 1 , 0(!)1 (nkekppCkknkkn第三十四页，共一百一十九页。解解 1月月1日公司日公司(n s)收入收入 (元元) 设一年中死亡设一年中死亡(swng)人数为（人），则

20、人数为（人），则 在保险公司里有在保险公司里有2500个同一年龄和同社会阶层的人参加个同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为了人寿保险。在一年里每个人死亡的概率为0.002，每个参加，每个参加保险的人在保险的人在 1月月1日付日付 12 元保险费，而在死亡时家属可从保元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取险公司领取2000元，问下元，问下列事件的概率各为多少？列事件的概率各为多少？(1)保险公司亏本保险公司亏本(ku bn)(2)保险公司获利不少于保险公司获利不少于10000元元2500 1230000 (2500,0.002)B 5np 第三十五页，共一百一十九

21、页。(1)保险公司亏本保险公司亏本= (2)保险公司获利保险公司获利(hu l)不少于不少于10000元元 = 20003000015 250015160515152500250000(15)()1()510.002 0.99810.0001!kkkkkkkkPPkPkeCk 10 51005(10)0.9863!kkePk 30000200010000第三十六页，共一百一十九页。1、 设某机器加工(ji gng)一种产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品进行检验，如果发现次品多于一件，就要调整机器。求一天中调整机器次数的概率分布。2、 在一本200页的书中，共有10

22、0个错误(cuw)。假设每个错误(cuw)等可能的出现在每一页上，试求：（1）在给定的一页上恰好有两个错误的概率（2）在给定的一页上至少有一个错误的概率第三十七页，共一百一十九页。2.3 随机变量随机变量(su j bin lin)(su j bin lin)的分布函数的分布函数第三十八页，共一百一十九页。 1、分布函数、分布函数(hnsh)的概念的概念)()(),()(. 1xFxFXXxxXPxFxXX或的分布函数。记为称为为任意实数。函数是一个随机变量，定义：设x xF的函数(hnsh)值的含义：表示(biosh)X落在,(x上的概率.第三十九页，共一百一十九页。)()()()()(aF

23、bFaXPbXPbXaP()1( ).PbF b ()( )()PaF aPa()( )( )()P abF bF aPa()( )( )()P abF bF aPb()( )( )()()P abF bF aPbPa第四十页，共一百一十九页。2、随机变量分布、随机变量分布(fnb)函数的性质函数的性质上述上述(shngsh)4条性质是判别函数是否是分布函数的充要条件。条性质是判别函数是否是分布函数的充要条件。第四十一页，共一百一十九页。试说明F(x)能否是某个(mu )随机变量的分布函数.例如： 设有函数 F(x)其它00sin)(xxxF解： 注意到函数 F(x)在 上下降，不满足性质(3

24、)，故F(x)不能是分布函数.,2不满足性质(2)， 可见F(x)也不能是随机变量(su j bin lin) 的分布函数.或者0)(lim)(xFFx第四十二页，共一百一十九页。对对离离散散型型随随机机变变量量，若若已已知知分分布布律律，就就可可求求出出它它的的分分布布函函数数。, 1,0)(21321211npppppppppxFnxxxxxxxxxxxxx4332211nipxXPii,2, 1,例如例如:第四十三页，共一百一十九页。解解：X的的分分布布函函数数为为F x( ),.,.,00 250 751 332211xxxxP XP X., 1210 25第四十四页，共一百一十九页。

25、PXP XP X.232305025075解解二二：利利用用F x( )求求。25. 0)21(21FXP,5 . 025. 075. 0)23()25(2523FFXP23232XPXPXP75. 05 . 075. 0125. 0)2()3(FFPXP X. ,3252205第四十五页，共一百一十九页。解：解：112101212122qqqq), 1 ,1) 1, 0,5 . 02) 0, 1,5 . 01,0)(xxxxxF），（第四十六页，共一百一十九页。2.4 连续型随机连续型随机(su j)(su j)变量变量 第四十七页，共一百一十九页。引例引例 在区间4，10上任意抛掷一个质点

26、，用X表示这个质点与原点的距离，则X是一个随机变量。若这个质点落在4,10上任一子区内的概率(gil)与这个区间长度成正比，求X的分布函数。解：X可以取4，10上的一切(yqi)实数,该区间将整个数轴分成了部分我们分下列种情况讨论F(x)的值0)()(4x) 1 (xXPxFxX是不可能事件。所以时，当第四十八页，共一百一十九页。0)()(4x) 1 (xXPxFxX是不可能事件。所以时，当所以时，当x.X44XxX10 x4)2()4(44)(xkxXPXPxXPxF从而可得由令,61k1,10 xP4,10 x4)-(x61F(x) 是必然事件，所以时，xX10)3(x1)(xXPxF第四

27、十九页，共一百一十九页。于是(ysh)，F(x)的表达式为1010441)4(610)(xxxxxFF(x)1410 xF(x)是非降的连续函数，在整个数轴上没有一个(y )跳跃点。x-p(t)dtF(x)010 x461p(x)则有，其他若记第五十页，共一百一十九页。1、连续型随机变量、连续型随机变量(su j bin lin)及其概率密度函数的定及其概率密度函数的定义义密度或密度函数。概率的概率密度函数，简称为随机变量，为连续型则称，有使得对任意实数可积函数如果存在非负的分布函数为设随机变量XxfXxdttfxFxxfxFXx)(,)()(),(),(第五十一页，共一百一十九页。2、 概率

28、密度函数的性质概率密度函数的性质(xngzh)这两条性质这两条性质(xngzh)是判定一个是判定一个函数函数 f(x)是否为某随机变量是否为某随机变量X的的概率密度函数的充要条件概率密度函数的充要条件. f (x)xo面积为面积为10)(. 1xf1)(. 2dxxfbadxxfaFbFbXaPbaba)()()()(,. 3有对任意实数第五十二页，共一百一十九页。 故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.x ,(xxx 若x是 f(x)的连续点，则：xxxXxPx )(lim0 x)

29、(lim0 xxxxdttf=f(x)4. 对 f(x)的进一步理解(lji):第五十三页，共一百一十九页。 要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大. 也可以说，在某点密度曲线(qxin)的高度反映了概率集中在该点附近的程度. f (x)xo第五十四页，共一百一十九页。若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP )( 它表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于 .,(xxxxxf)(xxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似.第五十五页，共一百一十九页。连续型

30、随机变量(su j bin lin)取任一指定值的概率为0.即：, 0)( aXPa为任一指定(zhdng)值这是因为)(lim)(0 xaXaPaXPx xaaxdxxf )(lim00需要(xyo)指出的是:第五十六页，共一百一十九页。由此得由此得，)()(bXaPbXaP)(bXaP1) 对连续型对连续型随机变量(su j bin lin)X,有有)(bXaP第五十七页，共一百一十九页。2) 由由P(X=a)=0 可推知可推知(tu zh) 1)()()(aXPdxxfaRXP而而 X=a 并非不可能并非不可能(knng)事件事件并非必然事件并非必然事件aRX称称A为为几乎几乎(jh)不

31、可能事件不可能事件，B为为几乎必然事件几乎必然事件.可见，可见，由由P(A)=0, 不能推出不能推出 A由由P(B)=1, 不能推出不能推出 B=S)()( )(. 5xfxFxxf处，有的连续点在第五十八页，共一百一十九页。例1:设随机变量(su j bin lin)X具有概率密度其它0432230)(xxxkxxf(1)确定常数(chngsh)k ;(2)求X的分布函数F(x);(3)求271 XP第五十九页，共一百一十九页。其它的概率密度为于是，解得得由解：04322306)(61, 1)22(, 1)() 1 (3043xxxxxfXkdxxkxdxdxxf第六十页，共一百一十九页。4

32、1434123301200)(4143)22(630600)()2(223030 xxxxxxxxFxxdttdttxdttxxFXxx即的分布函数为第六十一页，共一百一十九页。4841) 1 ()27(271)3(FFXP第六十二页，共一百一十九页。例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布的分布(fnb)函数为函数为xBAxFarctan)( 求:(1)A,B; (2)P(-1X0，则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯（Gauss）分布. 22第七十八页，共一百一十九页。正态分布有些正态分布有些(yuxi)什么性质呢？什么性质呢？ 由于连续型随机变量唯一地由它的密度由于连续型随机变

33、量唯一地由它的密度函数函数(hnsh)所描述，我们来看看正态分布的密所描述，我们来看看正态分布的密度函数度函数(hnsh)有什么特点有什么特点. 第七十九页，共一百一十九页。 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点特点(tdin)(tdin)是是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. .第八十页，共一百一十九页。 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N第八十一页

34、，共一百一十九页。 能不能根据密度函数的表达式，得能不能根据密度函数的表达式，得出出(d ch)正态分布的图形特点呢？正态分布的图形特点呢？xexfx,)()(22221 容易容易(rngy)看到，看到，f(x)0即整个即整个(zhngg)(zhngg)概率密度曲线都在概率密度曲线都在x轴的上方轴的上方; ;第八十二页，共一百一十九页。故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到处达到(d do)(d do)最大最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别分别(fnbi)(fnbi)代入代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f

35、 (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f () 21)(f第八十三页，共一百一十九页。这说明曲线这说明曲线(qxin)(qxin) f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴轴. . 即即f (x)以以x轴为渐近线轴为渐近线. . xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,第八十四页，共一百一十九页。用求导的方法用求导的方法(fngf)(fngf)可以证明，可以证明，xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个的两个(lin )(lin )拐点的横坐标拐点的横坐标. .x = 这是高等数学的内容，如果忘记这是高等数学

36、的内容，如果忘记(wngj)了，课了，课下再复习一下下再复习一下.第八十五页，共一百一十九页。xexfx,)()(22221 服从正态分布服从正态分布 的随机变量的随机变量X的的概率密度是概率密度是),(2NX的分布函数的分布函数(hnsh)P(Xx)是怎样的呢？是怎样的呢？第八十六页，共一百一十九页。 设设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 正态分布由它的两个参数正态分布由它的两个参数和和唯一确定唯一确定(qudng)， 当当和和不同时，是不同的正态分布不同时，是不同的正态分布.下面下面(xi mian)我们介绍一种最重要的正态分布我们介绍一种最重

37、要的正态分布标准标准(biozhn)正态分布正态分布第八十七页，共一百一十九页。dtexxt2221)(标准标准(biozhn)(biozhn)正态分正态分布布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度其密度(md)函数和分布函数常用函数和分布函数常用)(x和)(x表示(biosh)第八十八页，共一百一十九页。它的依据是下面它的依据是下面(xi mian)的定理：的定理： 标准正态分布的重要性在于，任何一个标准正态分布的重要性在于，任何一个一般一般(ybn)(ybn)的正态分布都可以通过线性变换转化为的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态

38、分布标准正态分布. . 根据定理根据定理(dngl)(dngl)1,1,只要将标准正态分布的只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题的概率计算问题. .),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 设设定理定理1第八十九页，共一百一十九页。 书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以可以(ky)(ky)解决一般正态分布的概率计算查表解决一般正态分布的概率计算查表. .)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.当当-x0时时xx第九十页，共一百一

39、十九页。),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab第九十一页，共一百一十九页。例如(lr)：设 查表得),4 , 1 ( NX6 . 10 XP3094. 0)5 . 0(1 1679. 0)5 . 0()3 . 0()210()216 . 1(第九十二页，共一百一十九页。由标准正态分布的查表计算由标准正态分布的查表计算(j sun)(j sun)可以求得，可以求得，这说明，这说明，X的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在-3,3 区间区间(q jin)(q jin)内，超出这个范围的可能性仅占不到内，超出这个范围的可

40、能性仅占不到0.3%. .当当XN(0,1)(0,1)时，时，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.99743准则(zhnz)第九十三页，共一百一十九页。将上述结论推广将上述结论推广(tugung)(tugung)到一般的正态分布到一般的正态分布, , ),(2NY时，时，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以认为，可以认为，Y 的取值几乎全部集中在的取值几乎全部集中在3,3区间内区间内. . 这在统计学上称作这在统计

41、学上称作“3 3 准则准则” （三倍标准差原则）（三倍标准差原则）. .第九十四页，共一百一十九页。第九十五页，共一百一十九页。解解：（1）所所求求概概率率为为PXdd0 5800 5.10 5800 5PXdd.1800 5d.即即800 510 990 01 d.()2 00228.。9772. 01)2(15 . 090895 . 090895 . 09089XPXP80XP（2）按题意需求）按题意需求d满足满足99. 0第九十六页，共一百一十九页。0 x( ) x8005 d.d 8005 . d8005099.查查表表的的：( .).23209898，( .).23309901第九十

42、七页，共一百一十九页。55()1()0.955 51.730.31.84第九十八页，共一百一十九页。解解P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们下面我们(w men)(w men)来求满足上式的最小的来求满足上式的最小的h . .例例7 7 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在碰头机会在0.01以下来设计的以下来设计的. .设男子身高设男子身高XN (170,62), ,问车门高度应如何问车门高度应如何(rh)(rh)确定确定? ? 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计按设计(shj)(shj)要求要求第九十九页，共一百一

43、十九页。因为因为(yn wi)(yn wi) XN( (170, ,62),),故 PX0.996170h因而因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184设计设计(shj)(shj)车门高度为车门高度为184厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足 的最小的的最小的 h .) 1 , 0(6170NX 所以所以 .17017066XhP 1706h 第一百页，共一百一十九页。一、问题一、问题(wnt)的提的提出出 在实际中，人们常常对随机变量在实际中，人们常常对随机变量(su j bin lin)的函数

44、的函数更感兴趣更感兴趣.42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径(zhjng) d 的分布，的分布，第四节第四节 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布第一百零一页，共一百一十九页。一、问题一、问题(wnt)的提出的提出 在实际中，人们常常在实际中，人们常常(chngchng)对随机变量的函对随机变量的函数数更感兴趣更感兴趣.已知已知t=t0 时刻时刻(shk)噪声电压噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的为电阻）的分布等分布等.t0t0第一百零二页，共一百一十九页。 设随机变量设随机变量X 的分布的分布(f

45、nb)已知，已知，Y=g (X) (设设g是连续函数），如何由是连续函数），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分布？的分布？下面进行下面进行(jnxng)讨论讨论. 这个问题无论这个问题无论(wln)在实践中还是在理在实践中还是在理论上都是重要的论上都是重要的.第一百零三页，共一百一十九页。二、离散型随机变量二、离散型随机变量(su j bin lin)函数的函数的分布分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时，时， Y 取对应取对应(duyng)值值 5，7，13，例例1设设X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数.3013502075

46、.Y而且而且X取某值与取某值与Y取其对应取其对应(duyng)值是两个同时发生值是两个同时发生的事件，两者具有相同的概率的事件，两者具有相同的概率.故故第一百零四页，共一百一十九页。如果如果g(xk)中有一些是相同中有一些是相同(xin tn)的，把它们作适的，把它们作适当当并项即可并项即可.一般，若一般，若X是离散是离散(lsn)型随机变量型随机变量 ，X的概率函数为的概率函数为Xnnpppxxx2121则则 Y=g(X) nnpppxgxgxg2121)()()(第一百零五页，共一百一十九页。如：如： X1 . 016 . 03 . 001则则 Y=X2 的概率函数为：的概率函数为：406

47、010.Y 第一百零六页，共一百一十九页。三、连续型随机变量三、连续型随机变量(su j bin lin)函数的分布函数的分布)()()(.)(|.)()()()()()()(),(yFyfyfYyxgxIyXgIXdxxfIXPyXgPyYPyFXgYxfXYYYyyIXyYXy可由下式得到的概率密度函数随机变量是实轴上的某个集合而是等价的随机事件与其中，的分布函数为则随机变量的概率密度为设连续型随机变量第一百零七页，共一百一十九页。解：设解：设Y的分布的分布(fnb)函数为函数为 FY(y)，例例2设设 X 其它, 040, 8/)(xxxfX求求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.FY

48、(y)=P Y y = P (2X+8 y )=P X = FX( )28y28y于是于是Y 的密度的密度(md)函数函数21)28()()(yfdyydFyfXYY第一百零八页，共一百一十九页。0 )28( yfX168)28( yyfX故故其它, 0168,328)(yyyfY21)28()()(yfdyydFyfXYY注意到注意到 0 x 4 时，时， 0)( xfX即即 8 y 0 时时,)()(yYPyFY)(2yXP 注意到注意到 Y=X2 0，故当，故当 y 0时，时，0)(yFY)(xFX)(yFY解：解： 设设Y和和X的分布函数分别为的分布函数分别为 和和 ，)()(yFyF

49、XX第一百一十页，共一百一十九页。若若exxfX2221 )(则则 Y=X2 的概率密度为：的概率密度为：0, 00,21)(221yyyfeyyY0, 00, )()(21)()(yyyfyfydyydFyfXXYYx第一百一十一页，共一百一十九页。 从上述两例中可以看到，在求从上述两例中可以看到，在求P(Yy) 的过程中，的过程中，关键的一步是设法关键的一步是设法(shf)从从 g(X) y 中解出中解出X,从而得从而得到与到与 g(X) y 等价的等价的X的不等式的不等式 .例如，用例如，用 代替代替 2X+8 y X 28y用用 代替代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的这样做

50、是为了利用已知的 X的分布，从而求的分布，从而求出相应出相应(xingyng)的概率的概率.这是求随机变量这是求随机变量(su j bin lin)的函数的分布的一种常用方法的函数的分布的一种常用方法.第一百一十二页，共一百一十九页。)g(),maxg(-),g(),ming(- , 0|,)( |)(f )()(g(x)yh(y)x0),(x)g(0(x)gg(x)y, x-(x),f X XX其中其他的概率密度为的反函数，则是或恒有处处可导，且恒有又设的概率密度为量定理：设连续型随机变yyhyhyfXgYY第一百一十三页，共一百一十九页。例例4 设随机变量设随机变量(su j bin li