2022年年全国数学竞赛试题及答案,推荐文档 .pdf

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1、漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题1 2015 年福建省初中数学竞赛考试时间 2015 年 3 月 15 日 9 001100 满分 150 分一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35分） 。每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1已知312a，则3222621aaaa（）A3B3C32D322将编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子内，每个盒子放2 个球。

2、则编号为 1，2 的小球放入同一个盒子内的概率为（）A215B15C25D353已知圆 O是边长为6 3的正三角形 ABC的内切圆， 圆1O圆 O外切，且与ABC的CA边、 CB边相切，则圆1O的面积为（）AB 2C 3D 44如图， P 为等腰三角形 ABC 内一点，过 P 分别作三条边 BC 、CA、 AB 的垂线，垂足分别为 D 、E 、F 。已知10ABAC，12BC，且1 3 3PDPEPF。则四边形 PDCE的面积为（）A10 B15 C403D5035 记( )S n为非负整数n的各个数位上的数字之和， 如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(

3、2015)SSSSL（）A 28097B 28098C 28077D 28087二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35分）6 已 知 直 线23yx与 抛 物 线2231yxx交 于11()A xy，、22()B xy，两 点 ， 则121111xx。7如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E、F分别在边 BC、CD 上，且45EAF。则CEF的周长为。8若 13x时，二次函数2234yxax的最小值为23，则a。9已知正整数 p ， q满足32016pq，则整数对()p q，的个数是。10 x表示不超过x的最大整数，则满足条件2252xxxx，的x的取值范围为。三、解答题（共4

4、题，每小题 20 分，共 80 分）11如图，二次函数2ymxnxp的图像过 A、B 、C 三点，其中( 11)C，点 A、B在x轴上（ A在点 O左侧， B 在点 O右侧） ，且2 5sin5BAC，5sin5ABC。（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC外接圆的半径。12已知关于x的方程2244200 xxnn有有理数根，求正整数n的值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试

5、卷2015 年全国竞赛试题漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题2 13如图，ABC是等腰直角三角形， CACB，点 N 在线段 AB 上（与 A、 B 不重合） ，点M 在射线 BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN。14在 0 与 21 之间插入n个正整数1a，2a，na，使其满足12021naaaL。若 1，2，3， 21 这 21 个正整数都可以表示为0，1a，2a，na，21 这2n个数中某两个数的差。求n的最小值。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

6、- - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题3 2015年福建省初中数学竞赛试题参考答案考试时间 2015 年 3 月 15 日 9 001100 满分 150 分一、选择题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35分） 。每道小题均给出了代号为A，B，C，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0 分）1已知312a，则3222621aaaa（）A3B3C32D32【答案

7、】A 【解答】由312a，知231a，213a，24413aa，2212aa。3232222626112133212222aaaaaaaaaaaa21(31)13a。2将编号为 1，2，3，4，5，6 的 6 个小球放入 3 个不同的盒子内，每个盒子放2 个球。则编号为 1，2 的小球放入同一个盒子内的概率为（）A215B15C25D35【答案】B 【解答】将 6 个小球分成 3 堆，每堆 2 球，共有下列 15 种不同的分堆方法（堆与堆之间不考虑顺序）：(1 2)，(3 4)，(5 6)，；(1 2)，(3 5)，(46)，；(1 2)，(3 6)，(4 5)，；(1 3)，(24)，(5

8、6)，；(1 3)，(25)，(46)，；(1 3)，(26)，(45)，；(1 4)，(2 3)，(5 6)，；(1 4)，(2 5)，(3 6)，；(1 4)，(26)，(3 5)，；(1 5)，(2 3)，(46)，；(1 5)，(24)，(3 6)，；(1 5)，(26)，(3 4)，；(1 6)，(2 3)，(45)，；(1 6)，(24)，(3 5)，；(1 6)，(2 5)，(3 4)，。其中，编号为 1，2 的小球分在同一堆的情形有3 种。编号为 1，2 的小球放在同一个盒子内的概率为31155。3已知圆 O是边长为6 3的正三角形 ABC 的内切圆，圆1O圆O 外切，且与AB

9、C的 CA边、 CB 边相切，则圆1O的面积为（）AB 2C3D 4【答案】A 【解答】如图，设圆 O切 CB 边于 D ，圆1O切CB边于 E ，且圆 O的半径为 R，圆1O的半径为r。由ABC是边长为6 3的正三角形，知236 3632OC，136 3332ROD，圆1O圆O外切，且与ABC的 CA边、 CB 边相切，O、1O、 C 三点共线，30OCD，1122O CO Er。112336OCOOO CRrrr，1r。圆1O的面积为21。4如图， P 为等腰三角形 ABC 内一点，过 P 分别作三条边 BC 、CA、 AB 的垂线，垂足分 别 为 D 、 E 、 F。 已 知10ABAC

10、，12BC， 且1 3 3PDPEPF。则四边形 PDCE 的面积为（）A10 B15 C403D503【答案】C 【解答】 如图，连结 PA， PB ， PC 。易知1128482ABCS。又111222ABCPBCPCAPABSSSSBCPDCAPEABPF65548PDPEPF，1 3 3PDPEPF。43PD，4PEPF。由PEPF，知点P在BAC 的平分线上，A、P、D三点共线。222PCPDDC，2222222224196( )6439ECPCPEPDDCPE。（第 4 题 图）（第 3 题答题图）（第 4 题答题图）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

11、 - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题4 143EC。111411440642223233PDCPECPDCESSSPDDCPEEC四边形。5 记( )S n为 非 负 整 数n的 各 个 数 位 上 的 数 字 之 和 ， 如(0)0S，(1)1S，(1995)199524S。则(1)(2)(3)(2015)SSSSL（）A 28097B 28098C

12、28077D 28087【答案】B 【解答】 设(0)(1)(2)(1999)SSSSSL。则2(1999)2000S，28000S。又(2000)(2001)(2002)(2009)2 10(0129)65SSSSLL，(2010)(2011)(2012)(2013)(2014)(2015)34567833SSSSSS，(1)(2)(3)(2015)28000653328098SSSSL。二、填空题（共 5 小题，每小题 7 分，共 35分）6 已 知直 线23yx与 抛 物 线2231yxx交于11()A xy，、22()B xy，两 点 ， 则121111xx。【答案】95【解答】 由2

13、23231yxyxx，得22520 xx。依题意，1x，2x为方程的两根，1252xx，121x x。21111212121252(1)(1)()21192511(1)(1)()15112xxxxxxxxx xxx。7如图，已知正方形ABCD的边长为 1，点 E 、 F 分别在边 BC、CD上，且45EAF。则CEF的周长为。【答案】2 【解答】如图，在 CD 的延长线上取点 G ， 使得 DGBE ， 连结 GA。则由 ABCD 为正方形，易得ABEADG。BAEDAG ， AEAG。45EAF，GAFGADDAFBAEDAF9045EAFEAF 。于是，在EAF与GAF中，AEAG， EA

14、FGAF ，AFAF 。EAFGAF， EFGF 。CEF的周长112lECEFFCBEGFFCGDGDDFFC。8若 13x时，二次函数2234yxax的最小值为23，则a。【答案】5 【解答】 222392342()448yxaxxaa，13x，若314a，即43a时，则当1x时， y 取最小值 63a。由 6323a知，29433a，不符合要求。若3134a， 即443a时， 则当34xa时，y 取最小值2948a。 由294238a知，224a，得2 6a，均不符合要求。若334a，即4a时，则当3x时， y 取最小值 229a。由 22923a知，5a，符合要求。5a。9已知正整数

15、p ， q满足32016pq，则整数对()p q，的个数是。【答案】3 【解答】 由32016pq，知20163pq ，20166 20169pqq 。由 p ， q为正整数知，201612 14qp 为整数。214px（其中x为正整数）。同理，214qy（ y 为正整数）。于是，312xy（x， y 为正整数）。91xy，62xy，33xy。满足条件的整数对()(1481 14 1)pq，或(1436 144)，或(149 149)，。（第 7 题 图）（第 7 题答题图）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精

16、心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题5 满足条件的整数对()p q，的个数为 3。10 x表示不超过x的最大整数，则满足条件2252xxxx，的x的取值范围为。【答案】102x或562x【解答】 （1）当0 x时，1x，21x，20 x。0 x时，方程22xxx无解。（2）当102x时，20 xx，20 x，等式22xxx成立。（3）当112x时，21xx，20 x，等式22xxx不成立。（4）当312x时，

17、23xx。2914x，21x或22x。等式22xxx不成立。（5）当322x时，24xx。2944x，22x或23x。等式22xxx不成立。（6）当522x时，26xx，由26x知，67x。于是，562x。综合得，满足条件的x的取值范围为102x或562x。三、解答题（共 4 题，每小题 20 分，共 80 分）11如图，二次函数2ymxnxp的图像过 A、B 、C 三点，其中( 11)C，点 A、B在x轴上（ A在点 O左侧， B在点 O右侧） ，且2 5sin5BAC，5sin5ABC。（1）求二次函数的解析式；（2）求ABC外接圆的半径。【解答】 （1）作 CEx轴于E，则1CE。由2

18、5sin5BAC，5sin5ABC知，52CA，5CB。12EA，2EB。点 A坐标为3(0)2，点 B坐标为(1 0)，。 5 分设所求二次函数的解析式为3()(1)2ym xx。将点( 11)C，的坐标代入二次函数解析式，得31( 1)( 11)2m。1m，二次函数得解析式为3()(1)2yxx，即21322yxx。 10 分（2）由（ 1）知，52AB，222ABCACB。CACB。 15 分ABC外接圆的半径122RAB。 20 分12已知关于x的方程2244200 xxnn有有理数根，求正整数n的值。【解答】 关于x的方程2244200 xxnn有有理数根，且n为正整数，222444

19、(20)442016nnnn为完全平方数 5 分设22442016nnk（k 为正整数），则22(21)2015nk，22(21)20155 1331kn。(21)(21)20155 1331knkn。 10 分21kn为正整数，21kn为整数，且2121knkn，212015211knkn，或21403215knkn，或211552113knkn，或21652131knkn。 15 分解得，1008503kn，或20499kn，或8435kn，或488kn。正整数n的值为 503 或 99 或 35 或 8。 20 分注：503n时，方程化为2442535320 xx，即(482)(526)

20、0 xx。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题漳州正兴学校第一届清北班全国历年竞赛试卷2015 年全国竞赛试题6 99n时，方程化为24499200 xx，即(80)(124)0 xx。35n时，方程化为24412800 xx，即(20)(64)0 xx。8n时，方程化为244920 xx，即(2)(46)0 xx。13如图，ABC是等腰直角三角形， C

21、ACB ，点 N 在线段 AB 上（与 A、 B 不重合） ，点 M 在射线 BA上，且45NCM。求证：222MNAMBN。【答案】如图，作点 A关于直线 MC 的对称点 D ， 连结 DA、DM 、 DC ， DN ，则MDCMAC。ABC是 等 腰 直 角 三 角 形 ， CACB ， 且45NCM，45DCNDCMMCAACNDCM，90(45)4545BCNBCANCAMCAMCADCM。DCNBCN 。 5 分又 CDCACB ， CNCN 。DCNBCN。 10 分NDNB ，45CDNCBN。又由MDCMAC，知18018045135CDMCAMCAB。1354590MDNMD

22、CNDC。 15 分MDDN 。又 MDMA，22222MNDMDNAMBN。 20 分另解： 如图，CBN沿CN 翻折得CDN，则DCNBCN。CDCBCA， DNBN ，45CDNCBN，DCNBCN 。 5 分45NCM，459045DCMDCNMCNBCNACN45ACNACM 。 10 分又 CDCA， CMCM 。DCMACM。 15 分MAMD ，135CDMCAM，90MDNCDMNDC。22222MNDMDNAMBN。 20 分14在 0 与 21 之间插入n个正整数1a，2a，na，使其满足12021naaaL。若 1，2，3， 21 这 21 个正整数都可以表示为0，1a

23、，2a，na，21 这2n个数中某两个数的差。求n的最小值。【解答】2n个数至多可以表示(1)(2)(1)(1)212nnnnnL个不同的且为正数的差。依题意有，(1)(2)212nn，即(5)(8)0nn。5n。 5 分下面证明5n不符合要求。若5n符合要求，则由5n时，(1)(2)212nn知，由 0，1a，2a，3a，4a，5a，21这 7 个数两两之差（大数减去小数）所得的下列21 个数：1a，2a，3a，4a，5a，21，21aa，31aa，41aa，51aa，121a，32aa，42aa，52aa，221a，43aa，53aa，321a，54aa，421a，521a互不相同。于是它

24、们是1，2，3，21 的一个排列。 10 分记这 21 个数的和为 S，则1122334455(5)(24)(33)(42)(5)621Saaaaaaaaaa12454224621aaaa。可见 S为偶数。另一方面，21 22123212312SL为奇数，与 S为偶数矛盾。5n不符合要求。 15 分6n符合要求。如插入2，5，8，12，19，20。 （不唯一）可以验证：用 0，2，5，8，12，19，20，21 这 8 个数中某两个数的差可以表示1，2，3，21 中任意一个数。（121 20，221 19， 385， 4128， 550 ， 682，71912， 820 12，921 12， 10122， 11198， 12208， 1321 8， 14195， 15205， 1621 5，17192，18202 ，19190， 20200， 2121 0。 ）可见n的最小值为 6。 20 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -