2022年常微分方程期中考试试卷 .pdf

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1、常微分方程期中考试试卷(7)一、填空题1方程yxxytandd2的所有常数解是2方程0d) 1(1)d(22yxyxyx的常数解是3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线4方程0yy的基本解组是二、选择题1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）n（B）n-1 （C）n+1 （D）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D ）必要非充分3. 方程21ddyxy过点) 1,2(共有（）个解（A）一（B）无数（C）两（D）三4方程xxyxydd（）奇解（A）有一个（B）有两个（C ）无（D）有无数个5方程yxyd

2、d的奇解是（） （A）xy（B）1y（C）1y（D）0y三、计算题1.xy=22yx+y 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2.tgydx-ctydy=0 3. 0dd)2(yxxyx4. 1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy四、求下列方程的通解或通积分1.)1 (dd2yxxyy2. 2)(ddxyxyxy3. xyxy2e3dd试卷答案一、填空题1.ky，,2, 1,0k2. 1y，1x3.2 4.

3、xcos，xsin二、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 三、计算题1解：将方程改写为y=21xy+xy（* ）令 u=xy, 得到y=xu+u, 则(*) 变为 xdxdu=u1, 变量分离并两边积分得arcsinu=lnu+lnC, 故方程的解为 arcsinxy=lnCx。2解 ： 变 量 分 离ctgxdy=tgydx, 两 边 积 分 得ln(siny)=-ln

4、xcos+C或 sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0或 ctgx=0 得 y=k(k=0、1) ，x=t+2(t=0 、1) 也是方程的解。 tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*) 当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C 。3. 方程化为xyxy21dd令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得uxux1dd分量变量，积分，通解为1Cxu原方程通解为xCxy24解齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

5、- - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为Cxy+xxln5解因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程取)0, 1 (),(00yx，原方程的通积分为Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln四、求下列方程的通解或通积分1解当1y时，分离变量得xxyyydd12等式两端积分得12dd1Cxxyyy122211ln21Cxy1222e,e1CxCCy方程的通积分为2e12xCy2解令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux当0u时，分离变量，再积分，得名师资料总结 - -

6、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即通积分为：Cxxyln3解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e51名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -