2022年导数基本公式与运算法则 .pdf

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1、第二节导数基本公式与运算法则教学目的： 1、使学生掌握隐函数求导法；2、使学生掌握取对数求导法；教学重点：隐函数求导法和取对数求导法的具体应用。教学过程：一、隐函数的导数以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：xeyxzexxyxyyxsinln,2sin,52等等，象这样一类的函数称为显函数。但在实际问题中， 函数并不全是如此， 设),(yxF是定义在区域2RD上的二元函数，若存在一个区域I，对于I中的每一个 x的值，恒有区间J上唯一的一个值y，使之与 x 一起满足方程：0),(yxF（1）就称方程（1）确定了一个定义域为I，值域含于J中的函数， 这个函数就

2、称为由方程 （1）所确定的隐函数，若将它记为Ixxfy),(，则有：在I上，0)(,(xfxF。【例 1】01452yx确定了隐函数：4512xy。【例 2】122yx能确定出定义在1 , 1上的函数值不小于0 的隐函数21xy，也能确定出定义在 1 ,1上的函数值不大于0 的隐函数21xy。上面求)(xf的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化。注 1：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明；2： 并不是任一方程（1） 都能确定出隐函数， 比如：0122yx， 不可能找到)(xfy，使得01)(22xfx；3：即使方程（ 1）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中

3、解出y，如：0sin21yxy，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成)(xfy的形式，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 即不能显化。实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（1）算出其隐函数的导数。（以后我们还将介绍更一般的方法） 。【例 3】01452yx，求dxdy。解：在方程的两边同时对x求导，得xxdxdydxdyx2541

4、00410。【例 4】求由方程0exyey所确定的隐函数)(xyy的导数dxdy；【例 5】求由方程753sinxxxyy所确定的隐函数 y 在 x=0 处的导数0|xdxdy；【例 6】求由方程xyyxcos)sin(2确定的曲线在点 (0,0)处的切线方程；二、对数求导法三、参数方程所确定的函数的导数一、由参数方程确定的函数的导数)()(tytxsincosryrx表示圆)( )( /ttxyttdtdxdtdydxdtdtdydxdy)( 1)( )( )( )( )( )( )( )(222ttttttdxdtttdtddxdydxddxyddtdxydtdy 例 5抛射体运动的参数方

5、程22121gttvytvx，求时刻 t 的运动速度 v；解1vxt，gtvyt2，222122)(gtvvyxvtt且v的方向：12tanvgtvxydxdyytt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 例 6求摆线方程)cos1 ()sin(tayttax所确定的函数的二阶导数。二、相关变化率)(txx，)(tyy，且 x 与 y 之间存在联系，从而dtdx，dtdy之间也存在一定关系。四、初等函数的求导公式1、常数

6、和基本初等函数的求导公式：（1）0)(c（2）1)(xx（3）xxcos)(sin（4）xxsin)(cos（5）xx2sec)(tan（6）xx2csc)(cot（7）xxxtansec)(sec（8）xxxcotcsc)(csc（9）aaaxxln)(（10）xxee )(（11）axxaln1)(log（12）xx1)(ln（13）211)(arcsinxx（14）211)(arccosxx（15）211)(arctanxx（16）211)cot(xxarc（17）chxshx)(（18）shxchx)(（19）xchthx21)(（20）11) )1(ln()(22xxxarcshx（21）11) )1(ln()(22xxxarcchx（22）211)11ln21()(xxxarcthx复习 P.114-121 习题 2-3（P.123 ）1，2，3（1） （4） ，5，6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -