2022年大学文科数学第二章教案 .pdf

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1、章节第二章 微积分的基础极限课 时4 学时教学目的1. 理 解 极 限的 概 念 ， 函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限之间的关系；2. 熟 练 掌 握 函 数极 限 存 在 的 充 要 条 件 ；3. 理解无穷大、无穷小的概念；4. 掌握无穷大的判定方法和无穷小的概念及性质，会用无穷小量的性质求极限；5. 会用重要极限求极限 . 教学重点及突出方法1. 重点掌握函数极限与数列极限的概念； 无穷大量与无穷小量的概念及性质 . 2. 会用重要极限求极限3. 突出方法是采取讲练结合 .教学难点及突破方法1. 函数极限的定义；2. 无穷大量与无穷小量的概念和性质及其应用3. 会用重要极

2、限求极限4. 突破方法是让学生首理解什么是极限，然后会求函数的极限.相关内容素材名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 教学过程第一节数列的极限 1.1 数列的概念 1. 数列定义定义 1 当函数)(xf的定义域为全体自然数时，称此函数为数列，记作)(nf，,3 ,2, 1n，)(nf又可以记作na，则数列也可以按照数列中的数排序为：1a，2a，3a，na，或简记为na，其中第n项na称为该数列的通项 . 2. 数列的有

3、界性设数列na，若存在常数 M ，使得对一切自然数n，都有Man(Man)，则称数列na上（下）有界，并称数列na为上（下）有界数列，M 称为数列的一个上 （下）界. 若这样的 M 不存在，则称数列na无上（下）界，并称na为无上（下）界数列 . 若存在正常数 M ，使得对一切自然数n，都有Man|，则称数列na有界， 并称数列na为有界数列， M 称为数列的一个界 . 若这样的 M 不存在，则称数列na无界，并称na为无界数列 . 3. 数列的单调性单调增加 (上升) 数列：1321nnaaaaa单调减少 ( 下降)数列：1321nnaaaaa单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列。例 1

4、 判断数列的单调性（ 1）n1（2）2n（3）nn2) 1(1解：（ 1）单调递减数列；（ 2）单调递增数列；（ 3）不是单调数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 教学过程第一节数列的极限 1.2数列的极限定义 2对于数列na，如果当n无限增大时，通项na无限接近于某个确定的常数 A， 则称 A为数列na的极限， 或称数列na收敛于 A， 记为xlimna=A或naA（n）定义 3对于数列na，如果对任意正数，总存

5、在相应的正整数N ，当Nn时，总有Aan成立，则称 A为数列na的极限，或称数列na收敛于 A，记为xlimna=A或naA（n）注： 1）当n时，na不以任何常数为极限，则称数列na发散. 2）数列收敛或发散的性质统称为数列的敛散性. 3）常数列的极限仍为该常数. 定理 1 ( 单调有界原理 ) ：单调有界数列必有极限。例 2 证明：01lim2nn第二节函数极限2.10 xx时的极限定义 1如果当0 xx时, 函数)(xf无限趋近于一个确定的常数A, 则称 A 为函数)(xf当0 xx时的极限 , 记作Axfxx)(lim0或Axf)( 当0 xx时). 此时也称)(lim0 xfxx存在

6、。如果当0 xx时, 函数)(xf不趋近于任何一个确定的常数 , 则称)(lim0 xfxx不存在 . 定义 2 设函数)(xfy在点0 x的去心领域内有定义，若果对任意的正数，总存在相应的正数，当00 xx时，总有Axf)(成立，则称函数)(xf当0 xx以 A为极限，或称函数)(xf在0 x点有极限，记为Axfxx)(lim0或Axf)(（0 xx）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 注：1）具有二重性，固定

7、性和任意性；2）依赖于，由确定；3）0 x有无定义，均可求极限；4）若这样的 A找不到，则称函数)(xfy在0 x点无极限 . 如 ：2)1(lim1xx，又如1limx112xx= 2 2.2x时的极限定义 3 设函数)(xfy在),(a内有定义， A是一个确定的数， 若果对任意 给 定 的 正 数， 总 存 在 某 个 正 数)(aM， 使 得 当Mx时， 总 有Axf)(成立，则称函数)(xf当x以 A为极限，记为Axfx)(lim或Axf)(（x）. 总结：1、理解数列和函数极限的实质2、会求数列和函数的极限作业：51P 1. （1）（3）（4）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

8、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2.3 函数极限的性质 1. 唯一性若Axfxx)(lim0，Bxfxx)(lim0，则BA 2. 有界性若Axfxx)(lim0，则存在0 x的某一去心邻域N(0? x，)，在N(0? x，) 内函数)(xf有界. 3. 保号性若Axfxx)(lim0且)0(0AA或，则存在某个去心邻域N(0? x，) ，在 N(0? x，) 内)(xf).0)(0 xf或 4、夹逼准则AxfxfAxhxgxhxfxgxxxxxxxx

9、xx)(lim)(lim)(lim)(lim)()()()(000000存在且，则且有可不包括点的某邻域内设在这个定理称为夹逼定理，它同样适用于x的情况2.4 无穷小量与无穷大量 1 、无穷小量概念定义 4极限为 0 的量称为无穷小量，简称无穷小；注: 1) 无穷小量不是很小的数 , 它也是极限的概念。2)数零是唯一可作为无穷小的常数。3)无穷小指量的变化状态，而不是量的大小。 4) 当0 xx（或）时，如果函数)(xf的极限为 0，则称当0 xx（或）时，)(xf是无穷小量。 5)若数列 na 的极限为 0，则na是无穷小量。例如：0sinlim0 xx，所以，当 x0 时，sin x 是无

10、穷小量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 教学过程第二节函数的极限 2 . 极限与无穷小之间的关系：定理 2 Axfxx)(lim0的充要条件为)()(xAxf，其中0)(lim0 xxx 3. 无穷小量的性质定理 3有限个无穷小量的代数和是无穷小量。定理 4 无穷小量与有界量之积是无穷小量。推论 1：任一常数与无穷小量之积是无穷小量。推论 2：有限个无穷小量之积是无穷小量。（注：两个无穷小之商未必是无穷小）4. 无

11、穷大量当 x0 x（或）时，如果函数 f(x) 的绝对值无限增大， 则称当 x0 x（或）时， f(x) 是无穷大量。记作0limxx f(x)=, 或 f(x) 。定义 5若)(lim0 xfxx（或)(limxfx）, 则称)(xf为当0 xx（或）时的无穷大量 , 简称无穷大。如oxlimx1=，表示当时, x1为无穷大 . .5. 无穷大量与无穷小量的关系定理 5 无穷大量的倒数为无穷小量，非零的无穷小量的倒数为无穷大量. 2.5 极限的四则运算为叙述方便，我们用“lim ”代表“0limxx”或“xlim ”，假设 c 是常数，并且极限)(limxf和)(limxg都存在，则有：1）

12、)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 教学过程第二节函数的极限2. )(lim)(lim)()(limxgxfxgxf；)(lim)(.limxgCxgC；其中 C 为常数3. nnxfxf)(lim)(lim)(lim)(lim)()(limxgxfxgxf（0)(limxg） 例 3 求极限（1）)432(lim21xxx（2）求21lim21xxx（3）求1312

13、lim33nnnn2.6 两个重要极限（1）1sinlim0 xxx变形1sinlim0 xxx，11sinlimxxx（2）exxx)11 (lim变形exxx10)1(lim例 6 求极限（1）xxxtanlim0（2）20cos1limxxx（3）xxx5tan3sinlim（4）xxx1sinlim（5）xxxx)2(lim（6）xxx5)21 (lim（7）xxxx)11(lim（8）xxxxsec2)cos1(lim总结：1、理解函数极限的实质2、会求函数的极限作业：52P 8. （1）（3）（5）（9） 10. （2）（4）（6）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 教学后记名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -