2022年奥数知识点解析之抽屉原理,推荐文档 .pdf

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1、奥数知识点解析之抽屉原理第一步：初步理解该知识点的定理及性质1、提出疑问：什么是抽屉原理？2、抽屉原理有哪些内容呢？【抽屉原理 1】：将多于 n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2 件；【逆抽屉原理】：从 n 个抽屉中拿出多于n 件的物品，那么至少有2 个物品来至于同一个抽屉。【抽屉原理 2】：将多于 mn件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1 ）件。第二步：学习最具有代表性的题目【例 1】证明：任取 8 个自然数，必有两个数的差是7 的倍数。【例 2】对于任意的五个自然数，证明其中必有3 个数的和能被 3 整除。【总结】以上的例题

2、都是在考察抽屉原理在整除与余数问题中的运用。以上的题目我们都是运用抽屉原理一来解决的。第三步：找出解决此类问题的关键【例 3】从 2、4、6、 30 这 15 个偶数中，任取 9 个数，证明其中一定有两个数之和是 34。【例 4】从 1、2、3、4、 19、20这 20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。【例 5】从 1到 20 这 20 个数中，任取 11 个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。1，2，4，8，163，6，12，5，10，207，14，9，1811， 13， 15， 17， 19。【总结】根据题目条件灵活构造“抽屉”是解决这类题目

3、的关键。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 第四步：重点解决该类型的拓展难题我们先来做一个简单的铺垫题：【铺垫】请说明，任意3 个自然数，总有 2 个数的和是偶数。【例 6】请说明，对于任意的11 个正整数，证明其中一定有6 个数，它们的和能被 6 整除。【总结】上面两道题目用到了抽屉原理中的“双重抽屉”与“合并抽屉”，都是在原有典型抽屉原理题目的基础上进行的拓展。什么是抽屉原理？（1）举例桌上有十个苹果， 要把这十

4、个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放， 有的抽屉可以放一个，有的可以放两个， 有的可以放五个， 但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般情况下， 把 n1 或多于 n1 个苹果放到n个抽屉里， 其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。（一）、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余数 1，结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里（2）余数，结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里（3）余数 0，结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二）、利用最值原理解题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -

5、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法举个例子：把 3 个苹果任意放到 2 个抽屉里，必有一个抽屉至少放了2 个苹果。这个生活中最简单的道理，在数学上就叫做抽屉原理。应用抽屉原理可以解决很多奇妙的问题，当然在实际问题中，“抽屉”和“物体”的表述是不明确的，解题的关键就是找出问题中哪个概念对应的是“抽屉”，哪个概念对应的是“物体”，精心制造“抽屉”是解决此类问题的关键。【题目 1】：至少在多少个

6、人中，才能找到两个同月份出生的人？【解析】：每年都有 12 个不同的月份，可以看着是12 个抽屉。人就看着苹果。原题就相当于：多少个苹果放到12 个抽屉里，可以保证至少有一个抽屉里有2个苹果 ? 12+1=13（人）所以至少在 13 个人中，才能找到两个同月份出生的人。【题目 2】：在任意 3 个自然数中，是否其中必然有两个数，它们的和为偶数？为什么？【解析】：我们先把奇数看作一个抽屉，把偶数看作一个抽屉。自然数不是奇数就是偶数，那么这任意3 个自然数不是奇数就是偶数，把这3个数放到上面奇、 偶数两个抽屉里， 至少有一个抽屉里有两个数，即 3 个自然数中有两个奇数或两个偶数必居其一。假如 3

7、个数中有两个奇数， 这两个奇数的和一定是偶数； 假如 3 个数中有两个偶数，这两个偶数的和也一定是偶数。所以在任意 3 个自然数中，其中必然有两个数，它们的和为偶数。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 【题目 3】：班上有 50 名小朋友，老师至少要拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书？【解析】：“保证至少有一个小朋友能得到不少于两本的书”意思就是：保证至少有一个小朋友最少得到两本书

8、。我们把 50 个小朋友看着 50 个抽屉，至少要多少本书放到50 个抽屉里，能保证至少有一个抽屉里最少有两本书呢：50+1=51（本）。【题目 4】：在 1，2，3，99，100 这 100 个整数中，选出一些数，使得任意两数的差都不等于 1，2，6，那么，从中最多能选出几个数？【解析】：第一步：先从 1 开始列一列。先选 1；至少加 3（差不能为 1、2）选 4；至少要加 4（差也不能为 6）选8；接着再加 3 选 11；加 4 选 15可列举如下：1、4、8、11、15、18、22、25.29第二步：观察上面的数列，找规律。从 1 到 7 七个数中可以选 2 个数；从 8 到 14 七个

9、数中又可以选2 个数；从 15到 21 七个数中又可以选 2 个数即每 7 个数一组可以选出2 个数，这 2 个数可以选 7 个数中的第 1 个和第 4 个。1007=14（组） 2（个）共有 14 组，每组选 2 个数，还剩下 2 个数，即第十五组的第 1 个数和第 2 个数。每组第 1 个数也是可选的。所以从中最多可以选出数：1421=29（个）。【题目 5】：泡泡糖出售机内有各种颜色的糖，有红色糖10 颗、白色糖 15 颗、蓝色糖 3 颗、黄色糖 20 颗。如果投入 1 元钱钱币可得到 1 颗糖，那么至少投入多少元钱，就可以保证得到 5 颗颜色相同的糖？名师资料总结 - - -精品资料欢

10、迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 【解析】：这里共有 4 种颜色的糖果， 除了蓝色糖果 3 颗，其它颜色糖果都不少于5 颗。从最糟糕的情况考虑：投币先得到蓝色糖3 颗，其它颜色糖每种4 颗。这时候再买一颗糖，无论是哪种颜色的糖，就得到了这种颜色的糖5 颗。一元钱一颗糖，买这些糖至少要投入钱币：34 31=16（颗）。本题依据抽屉原理2：把多于 mn个的物体放到 n 个抽屉里，则至少有一个抽屉里有 m+1个或多于 m+1个的物体。【题目 6】：2 行 5 列共 10个小方格，将每个小方格涂上红色或蓝色。试论：无论如何涂法，其中至少有两列，它们的涂色方式是一样的。【解析】：2 行 5 列的小方格，每列有2 个小方格竖排，每个小方格涂上红色或蓝色，共有如下 4 种涂法（看着 4 个抽屉）：红红蓝蓝红蓝蓝红名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -