2022年概率论与数理统计第八章假设检验 .pdf

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1、第八章假设检验第一节概述统计推断中的另一类重要问题是假设检验(Hypothesis testing).当总体的分布函数未知，或只知其形式而不知道它的参数的情况时，我们常需要判断总体是否具有我们所感兴趣的某些特性 .这样，我们就提出某些关于总体分布或关于总体参数的假设，然后根据样本对所提出的假设作出判断：是接受还是拒绝.这就是本章所要讨论的假设检验问题.我们先从下面的例子来说明假设检验的一般提法. 例 8. 1某工厂用包装机包装奶粉，额定标准为每袋净重0.5kg.设包装机称得奶粉重量X 服从正态分布N（，2）.根据长期的经验知其标准差=0.015(kg). 为检验某台包装机的工作是否正常；随机抽

2、取包装的奶粉9 袋，称得净重（单位：kg）为0.499 0.515 0.508 0.512 0.498 0.515 0.516 0.513 0.524 问该包装机的工作是否正常？由于长期实践表明标准差比较稳定，于是我们假设XN（，0.0152）.如果奶粉重量X的均值 等于 0.5kg，我们说包装机的工作是正常的.于是提出假设：H0：=0=0.5；H1：0=0.5.这样的假设叫统计假设. 1. 统计假设关于总体 X 的分布（或随机事件之概率）的各种论断叫统计假设，简称假设，用“H”表示，例如：（1） 对于检验某个总体X 的分布，可以提出假设：H0：X 服从正态分布，H1: X 不服从正态分布.

3、H0：X 服从泊松分布，H1: X 不服从泊松分布. （2） 对于总体 X 的分布的参数，若检验均值，可以提出假设：H0： =0；H1：0. H0： 0；H1：0. 若检验标准差，可提出假设：H0：=0；H1： 0. H0： 0；H1：0. 这里 0，0是已知数，而 =E（ X） ，2=D（X）是未知参数 . 上面对于总体X 的每个论断，我们都提出了两个互相对立的（统计）假设：H0和 H1，显然，H0与 H1只有一个成立， 或 H0真 H1假， 或 H0假 H1真， 其中假设 H0， 称为原假设 (Original hypothesis)（又叫零假设、基本假设），而 H1称为 H0的对立假设（

4、又叫备择假设）. 在处理实际问题时，通常把希望得到的陈述视为备择假设,而把这一陈述的否定作为原假设 .例如在上例中，H0：=0=0.5 为原假设，它的对立假设是H1：0=0.5.统计假设提出之后，我们关心的是它的真伪.所谓对假设H0的检验，就是根据来自总体的样本，按照一定的规则对H0作出判断：是接受，还是拒绝，这个用来对假设作出判断的规则叫做检验准则，简称检验， 如何对统计假设进行检验呢？我们结合上例来说明假设检验名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页

5、- - - - - - - - - 的基本思想和做法. 2. 假设检验的基本思想在例 8. 1 中所提假设是H0：=0=0.5(备择假设 H1：0).由于要检验的假设涉及总体均值， 故首先想到是否可借助样本均值这一统计量来进行判断 .从抽样的结果来看，样本均值x=19（0.499+0.515+0.508+0.512+0.498+0.515+0.516+0.513+0.524 ）=0.5110，与=0.5 之间有差异 .对于与 0之间的差异可以有两种不同的解释. （ 1） 统计假设 H0是正确的，即 =0=0.5，只是由于抽样的随机性造成了与0之间的差异；（ 2） 统计假设 H0是不正确的，即0

6、=0.5，由于系统误差，也就是包装机工作不正常，造成了与 0之间的差异 . 对于这两种解释到底哪一种比较合理呢？为了回答这个问题，我们适当选择一个小正数（=0.1,0.05 等） ，叫做显著性水平(Level of significance). 在假设 H0 成立的条件下，确定统计量X-0的临界值，使得事件 X-0 为小概率事件，即PX-0= . （8. 1）例如，取定显著性水平=0.05.现在来确定临界值0.05.因为 XN（，2） ，当 H0：=0=0.5 为真时，有XN（0，2） ，于是2011,niiXXNnn，Z=002/XXnnN（0，1） ，所以PZ z/2= .由（ 8. 1）

7、式，有/PZn=，因此22,/zznn0.05=z0.0250.0159=1.96 0.015/3=0.0098 .故有P X-0 0.0098=0.05 .因为 =0.05 很小，根据实际推断原理，即“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的”原理，我们认为当H0为真时，事件 X-0 0.0098 是小概率事件，实际上是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 - - - - - - - - - 不可能发生的 .现在抽样的结果是x-0=0.5110-0.

8、5=0.01100.0098.也就是说，小概率事件X-0 0.0098 居然在一次抽样中发生了，这说明抽样得到的结果与假设H0不相符，因而不能不使人怀疑假设H0的正确性，所以在显著性水平=0.05下，我们拒绝H0，接受 H1，即认为这一天包装机的工作是不正常的. 通过上例的分析，我们知道假设检验的基本思想是小概率事件原理，检验的基本步骤是：（1） 根据实际问题的要求，提出原假设H0及备择假设H1；（2） 选取适当的显著性水平（通常 =0.10,0.05 等）以及样本容量n；（3） 构造检验用的统计量U，当 H0为真时， U 的分布要已知，找出临界值使 P U= .我们称 U所确定的区域为H0的

9、拒绝域 (Rejection region) ，记作 W；（4） 取样，根据样本观察值，计算统计量U 的观察值U0；（5） 作出判断，将U 的观察值U0与临界值比较，若U0落入拒绝域W 内，则拒绝H0接受 H1；否则就说H0相容（接受H0）. 3. 两类错误由于我们是根据样本作出接受H0或拒绝 H0的决定， 而样本具有随机性，因此在进行判断时，我们可能会犯两个方面的错误：一类错误是，当H0为真时，而样本的观察值U0落入拒绝域 W 中，按给定的法则，我们拒绝了H0，这种错误称为第一类错误.其发生的概率称为犯第一类错误的概率或称弃真概率，通常记为，即P拒绝 H0H0为真= ；另一种错误是，当H0不

10、真时，而样本的观察值落入拒绝域W 之外，按给定的检验法则，我们却接受了H0. 这种错误称为第二类错误，其发生的概率称为犯第二类错误的概率或取伪概率，通常记为 ，即P接受 H0H0不真= .显然这里的 就是检验的显著性水平.总体与样本各种情况的搭配见表8-1. 表 8-1 H0判断结论犯错误的概率真接受正确0 拒绝犯第一类错误假接受犯第二类错误拒绝正确0 对给定的一对H0和 H1，总可以找到许多拒绝域W.当然我们希望寻找这样的拒绝域W，使得犯两类错误的概率与都很小 .但是在样本容量n 固定时，要使 与都很小是不可能的， 一般情形下， 减小犯其中一类错误的概率，会增加犯另一类错误的概率，它们之间的

11、关系犹如区间估计问题中置信水平与置信区间的长度的关系那样.通常的做法是控制犯第一类错误的概率不超过某个事先指定的显著性水平（01） ，而使犯第二类错误的概率也尽可能地小.具体实行这个原则会有许多困难，因而有时把这个原则简化成只要求犯第一类错误的概率等于，称这类假设检验问题为显著性检验问题，相应的检验为显著性检验.在一般情况下，显著性检验法则是较容易找到的，我们将在以下各节中详细讨论. 在实际问题中，要确定一个检验问题的原假设，一方面要根据问题要求检验的是什么，另一方面要使原假设尽量简单，这是因为在下面将讲到的检验法中，必须要了解某统计量在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

12、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 原假设成立时的精确分布或渐近分布. 下面各节中， 我们先介绍正态总体下参数的几种显著性检验，再介绍总体分布函数的假设检验 . 第二节单个正态总体的假设检验1. 单个正态总体数学期望的假设检验（1） 2已知关于 的假设检验（ Z 检验法 (Z-test)）设总体 XN（，2） ，方差 2已知，检验假设H0：=0；H1：0 (0为已知常数）由XN（，n） ，/XnN（0，1） ，我们选取Z=/Xn（8.2）作为此假设检验的统计量，显然当假

13、设H0为真（即 =0正确）时， ZN（0，1） ，所以对于给定的显著性水平，可求 z/2使PZ z/2= ，见图 8-1，即P Z-z/2+ PZz/2= .从而有PZz/2= /2，PZz/2=1- /2. 图 8-1 利用概率 1-/2，反查标准正态分布函数表，得双侧分位点（即临界值）z/2. 另一方面，利用样本观察值x1，x2， xn计算统计量Z 的观察值z0=0/xSn. （8. 3）如果： （ a） z0 z/2，则在显著性水平下，拒绝原假设H0（接受备择假设H1） ，所以 z0 z/2便是 H0 的拒绝域 . （b） z0z/2，则在显著性水平下，接受原假设H0，认为 H0正确 .

14、 这里我们是利用H0 为真时服从N（0，1）分布的统计量Z 来确定拒绝域的，这种检验法称为 Z 检验法 （或称 U 检验法） .例 8. 1 中所用的方法就是Z 检验法 .为了熟悉这类假设检验的具体作法，现在我们再举一例. 例 8. 2根据长期经验和资料的分析，某砖厂生产的砖的 “抗断强度” X 服从正态分布，方差 2=1.21.从该厂产品中随机抽取6 块，测得抗断强度如下（单位：kgcm-2） ：32.56 29.66 31.64 30.00 31.87 31.03 检验这批砖的平均抗断强度为32.50kgcm-2是否成立（取 =0.05，并假设砖的抗断强度的名师资料总结 - - -精品资料

15、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页 - - - - - - - - - 方差不会有什么变化）？解 提出假设 H0：=0=32.50；H1：0. 选取统计量Z=0/Xn，若 H0为真，则ZN（0，1）. 对给定的显著性水平=0.05，求 z/2使PZ z/2= ，这里 z/2=z0.025=1.96. 计算统计量Z 的观察值：z0=0/xn=31.13 32.501.1 63.05. 判断：由于 z0=3.05z0.025=1.96，所以在显著性水平=0. 05 下否定 H0，即不能

16、认为这批产品的平均抗断强度是32.50 kgcm-2. 把上面的检验过程加以概括，得到了关于方差已知的正态总体期望值的检验步骤：（ a） 提出待检验的假设H0：=0；H1：0. （ b） 构造统计量Z，并计算其观察值z0：Z=0/Xn，z0=0/xn.（ c） 对给定的显著性水平，根据PZ z/2= ，PZz/2= /2，P Zz/2=1- /2 查标准正态分布表，得双侧分位点 z/2.（d） 作出判断：根据H0的拒绝域若 z0 z/2，则拒绝 H0，接受 H1；若 z0 z/2，则接受 H0. （2） 方差 2未知，检验 （t 检验法 (t-test)）设总体 XN（，2） ，方差 2未知，

17、检验H0：=0；H1：0.由于 2未知，0/Xn便不是统计量，这时我们自然想到用2的无偏估计量样本方差 S2代替2，由于/Xnt（n-1） ，故选取样本的函数t=0/XSn（8.4）图 8-2 作为统计量，当H0为真（ =0）时 tt（n-1） ，对给定的检验显著性水平，由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - Pt t/2（n-1）= ，P tt/2（n-1）= /2，见图 8-2，直接查 t 分布表，得t 分布分位

18、点t/2（n-1）. 利用样本观察值，计算统计量t 的观察值t0=0/xsn，因而原假设H0 的拒绝域为t0=0/xsnt/2（n-1）. （8. 5）所以，若 t0t/2（n-1） ，则拒绝 H0，接受 H1；若 t0 t/2（n-1） ，则接受原假设H0. 上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法 . 在实际中， 正态总体的方差常为未知，所以我们常用t 检验法来检验关于正态总体均值的问题. 例 8. 3用某仪器间接测量温度，重复5 次，所得的数据是1250,1265， 1245，1260， 1275，而用别的精确办法测得温度为1277(可看作温度的真值） ，试问此仪器间接测量有无系统

19、偏差？这里假设测量值X 服从 N（，2）分布 . 解问题是要检验H0：=0=1277；H1：0.由于 2未知（即仪器的精度不知道），我们选取统计量t=0/XSn.当 H0为真时， tt（n-1） ，t 的观察值为t0=012591277185.399/(570) /(45)xsn3.对于给定的检验水平=0.05，由Pt t/2（n-1）= ，P tt/2（n-1）= /2，P tt0.025(4)=0.025 ，查 t 分布表得双侧 分位点t/2（n-1）=t0.025(4)=2.776 .因为 t0 3t0.025(4)=2.776，故应拒绝H0，认为该仪器间接测量有系统偏差. （3） 双边

20、检验与单边检验上面讨论的假设检验中，H0为=0，而备择假设H1：0意思是 可能大于 0，也可能小于 0，称为双边备择假设，而称形如H0：=0，H1：0的假设检验为双边检验 .有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体的均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的大，则可考虑采用新工艺.此时，我们需要检验假设H0： =0；H1：0. （8. 6）（我们在这里作了不言而喻的假定，即新工艺不可能比旧的更差），形如（8. 6）的假设检验，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

21、 - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 称为右边检验，类似地，有时我们需要检验假设H0：=0；H1：0. （8. 7）形如（ 8. 7）的假设检验，称为左边检验，右边检验与左边检验统称为单边检验. 下面来讨论单边检验的拒绝域. 设总体 XN（，2） ，2为已知， x1，x2， xn是来自X 的样本观察值.给定显著性水平 ，我们先求检验问题H0：=0；H1： 0. 的拒绝域 . 取检验统计量Z=0/Xn，当 H0为真时， Z 不应太大，而在H1为真时，由于X 是的无偏估计，当 偏大时， X 也偏大，从而Z 往往偏大，因此拒

22、绝域的形式为Z=0/Xnk，k 待定 .因为当 H0为真时，0/XnN（0，1） ，由P拒绝 H0H0为真 = P0/Xkn=得 k=z，故拒绝域为Z=0/Xnz. （8. 8）类似地，左边检验问题H0：=0；H1： 0. 的拒绝域为Z=0/Xn-z. 8. 9）例 8. 4从甲地发送一个信号到乙地，设发送的信号值为，由于信号传送时有噪声迭加到信号上，这个噪声是随机的，它服从正态分布N（0，22） ，从而乙地接到的信号值是一个服从正态分布N（，22）的随机变量 .设甲地发送某信号5 次，乙地收到的信号值为：8.4 10.5 9.1 9.6 9.9 由以往经验，信号值为8，于是乙方猜测甲地发送的

23、信号值为8，能否接受这种猜测？取=0.05. 解按题意需检验假设H0：=8；H1：8.这是右边检验问题，其拒绝域如（8. 8）式所示，即Z= 0/Xnz0.05=1.645.而现在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - z0=9.582/5=1.681.645，所以拒绝 H0，认为发出的信号值8. 2. 单个正态总体方差的假设检验（2检验法 (2- test)）（1） 双边检验设总体 XN（，2） ，未知，检验假设H0

24、：2=02；H1： 202. 其中 02为已知常数 . 由于样本方差S2是2的无偏估计， 当 H0为真时， 比值220S一般来说应在1 附近摆动，而不应过分大于1 或过分小于1，由第六章知当H0为真时2=220(1)nS2（n-1）. （8. 10）所以对于给定的显著性水平有（图 8-3）图 8-3 P21/ 2（n-1）22/ 2（n-1）=1- . （8. 11）对于给定的 ，查2分布表可求得2分布分位点21/ 2（n-1）与2/ 2（n-1）. 由（ 8. 11）知， H0的接受域是21/ 2(n-1)22/ 2(n-1)；(8. 12) H0的拒绝域为221/ 2（n-1）或22/2（

25、n-1）. （8. 13）这种用服从2分布的统计量对个单正态总体方差进行假设检验的方法，称为2检验法 . 例 8. 5某厂生产的某种型号的电池，其寿命长期以来服从方差2=5000（小时2）的正态分布， 现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机抽取26 只电池，测得其寿命的样本方差s2=9200（小时2）.问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往有显著的变化（取=0.02)? 解本题要求在 =0.02 下检验假设H0：2=5000；H1：25000.现在 n=26，2/2（n-1）=20.01(25)=44.314，21/ 2(n-1)=20.99(25)=1

26、1.524, 02=5000.由（ 8. 13）拒绝域为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 220(1)ns44.314 或220(1)ns11.524 由观察值s2=9200 得220(1)ns=4644.314,所以拒绝 H0， 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化 . （2） 单边检验（右检验或左检验）设总体 XN（，2） ，未知，检验假设H0：202；H1：202. （右检验）由于 XN（，2） ，故

27、随机变量*2=22(1)nS2（n-1）.当 H0为真时，统计量2=220(1)nS*2.对于显著性水平，有P*22（n-1）= 图 8-4 （图 8-4） . 于是有P22（n-1） P*22（n-1）= .可见，当 很小时， 22（n-1） 是小概率事件，在一次的抽样中认为不可能发生，所以 H0的拒绝域是：2=220(1)nS2（n-1） （右检验） . （8. 14）类似地，可得左检验假设H0：202，H1：202的拒绝域为221（n-1） （左检验） . (8. 15) 例 8. 6今进行某项工艺革新，从革新后的产品中抽取25 个零件，测量其直径，计算得样本方差为s2=0.00066，

28、已知革新前零件直径的方差2=0.0012，设零件直径服从正态分布，问革新后生产的零件直径的方差是否显著减小？（=0.05) 解(1） 提出假设 H0：202=0.0012；H1：202.(2) 选取统计量名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 2=220(1)nS.*2=22(1)nS2（n-1） ，且当 H0为真时，*22(3） 对于显著性水平=0.05，查2分布表得21（n-1）=20.95(24)=13.848，

29、当 H0为真时，P221(n-1) P2212(1)(1)nSn=.故拒绝域为221(n-1)=13.848 .(4) 根据样本观察值计算2的观察值2=220(1)24 0.000660.0012ns=13.2.(5) 作判断：由于2=13.221(n-1)=13.848 ，即2落入拒绝域中，所以拒绝H0：202，即认为革新后生产的零件直径的方差小于革新前生产的零件直径的方差. 最后我们指出， 以上讨论的是在均值未知的情况下，对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多.至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为2=2120()niiX.当2=02为真时，22（n）.

30、 关于单个正态总体的假设检验可列表8-2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 表 8-2 检验参数条件H0H1H0的拒绝域检验用的统计量自由度分位点数学期望2已知=000000|Z|z/2ZzZ-zZ=0/Xnz /2z-z2未知=000000t t/2ttt-tt=0/XSnn-1 t /2t-t方差未知2=02 202202202 20220222/2221/2222212=220(1)nSn-1 / 21

31、/222221已知2=02 202202202 20220222/2221222212=2120()niiXn / 21/222221注：上表中H0中的不等号改成等号，所得的拒绝域不变. 第三节两个正态总体的假设检验上一节介绍了单个正态总体的数学期望与方差的检验问题，在实际工作中还常碰到两个正态总体的比较问题. 1. 两正态总体数学期望假设检验（1） 方差已知，关于数学期望的假设检验（Z 检验法）设 XN(1,12） ，YN（2，22） ，且 X，Y 相互独立， 12与22已知，要检验的是H0：1=2；H1：12. (双边检验 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

32、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 怎样寻找检验用的统计量呢？从总体X 与 Y 中分别抽取容量为n1， n2的样本 X1， X2， ，1nX及 Y1，Y2，2nY，由于2111,XNn，2222,YNn，E（X-Y）=E（X）-E（Y）=1-2，D（X-Y）=D（X）+D（Y）=221212nn，故随机变量X-Y也服从正态分布，即X-YN(1-2，221212nn).从而12221122()()(/)(/)XYnnN（0，1）.于是我们按如下步骤判断. （a） 选取统计量Z

33、=221122()(/)(/)XYnn，（8. 16）当 H0为真时， ZN（0，1）. （b） 对于给定的显著性水平，查标准正态分布表求z/2使PZ z/2= ，或 PZz/2=1- /2. （8. 17）（c） 由两个样本观察值计算Z 的观察值 z0：z0=221122(/)(/)xynn.（ d） 作出判断：若 z0 z/2，则拒绝假设H0，接受 H1；若 z0 z/2，则与 H0相容，可以接受H0. 例 8. 7 A，B 两台车床加工同一种轴，现在要测量轴的椭圆度.设 A 车床加工的轴的椭圆度 XN（1，12） ，B 车床加工的轴的椭圆度YN（2，22） ，且12=0.0006(mm2

34、)，22=0.0038(mm2)，现从 A，B两台车床加工的轴中分别测量了n1=200，n2=150 根轴的椭圆度，并计算得样本均值分别为=0.081(mm),=0.060(mm). 试问这两台车床加工的轴的椭圆度是否有显著性差异？（给定=0.05) 解 提出假设 H0：1=2；H1：12. 选取统计量Z=221122(/)(/)XYnn，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 在 H0为真时， ZN（0，1）. 给

35、定 =0.05，因为是双边检验，/2=0.025.PZ z/2=0.05, P Zz/2=0.025 ，P Zz/2=1-0.025=0.975 .查标准正态分布表，得z/2=z0.025=1.96. 计算统计量Z 的观察值 zz0=2211220.081 0.060(0.0006/ 200)(0.0038/150)(/)(/)xynn=3.95.作判断：由于z0=3.951.96=z/2，故拒绝 H0，即在显著性水平=0.05 下，认为两台车床加工的轴的椭圆度有显著差异. 用 Z 检验法对两正态总体的均值作假设检验时，必须知道总体的方差，但在许多实际问题中总体方差12与22往往是未知的，这时

36、只能用如下的t 检验法 . （2） 方差 12，22未知，关于均值的假设检验（t 检验法）设两正态总体X 与 Y 相互独立， XN（1，12） ，YN（2，22） ，12，22未知，但知 12=22，检验假设H0：1=2；H1：12. (双边检验 ) 从总体 X，Y 中分别抽取样本X1，X2，1nX与 Y1，Y2，2nY，则随机变量t=1212(1/)(1/)wXYSnnt（n1+n2-2） ，式中 Sw2=22112212(1)(1)2nSnSnn，S12，S22分别是 X 与 Y 的样本方差 . 当假设 H0为真时，统计量t=12(1/)(1/)wXYSnnt（n1+n2-2）. （8.

37、18）对给定的显著性水平，查 t 分布得 t/2（n1+n2-2） ，使得P t t/2（n1+n2-2）= . （8. 19）再由样本观察值计算t 的观察值t0=12(1/)(1/)wxySnn，（8. 20）最后作出判断：若 t0 t/2（n1+n2-2） ，则拒绝 H0；若 t0 t/2（n1+n2-2） ，则接受 H0. 例 8. 8在一台自动车床上加工直径为2.050 毫米的轴，现在每相隔两小时，各取容量都为 10 的样本，所得数据列表如表8-3 所示. 表 8-3 零件加工编号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第一个样本2.066 2.063 2.068 2.060 2.0

38、67 2.063 2.059 2.062 2.062 2.060 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 第二个样本2.063 2.060 2.057 2.056 2.059 2.058 2.062 2.059 2.059 2.057 假设直径的分布是正态的，由于样本是取自同一台车床,可以认为 12=22=2，而 2是未知常数 .问这台自动车床的工作是否稳定？（取=0.01) 解这里实际上是已知12=22=2，但 2

39、未知的情况下检验假设H0：1=2；H1：12.我们用 t 检验法，由样本观察值算得：x=2.063, y=2.059，s12=0.00000956，s22=0.00000489，sw2=2212990.0000860.0000441010218ss=0.0000072.由（ 8. 20）式计算得t0=2.0632.0590.0000072(2 /10)=3.3.对 于 =0.01， 查 自 由 度 为18 的 t分 布表 得t0.005(18)=2.878. 由 于 t0 =3. 3t0.005(18)=2.878, 于是拒绝原假设H0：1=2.这说明两个样本在生产上是有差异的，可能这台自动车

40、床受时间的影响而生产不稳定. 2.两正态总体方差的假设检验（F 检验法 (F-test)）（1） 双边检验设两正态总体XN（1，12） ，YN（2，22） ，X 与 Y 独立， X1，X2，1nX与Y1，Y2，2nY分别是来自这两个总体的样本，且1与2未知 .现在要检验假设H0：12=22；H1：1222. 在原假设H0成立下，两个样本方差的比应该在1 附近随机地摆动，所以这个比不能太大又不能太小 .于是我们选取统计量F=2122SS. （8. 21）显然，只有当F 接近 1 时，才认为有 12=22. 由于随机变量F*=22112222/SSF（n1-1，n2-1）,所以当假设H0：12=2

41、2成立时 ,统计量F=2122SSF（n1-1，n2-1）.对于给定的显著性水平，可以由 F 分布表求得临界值12aF（n1-1，n2-1）与 F/2（n1-1，n2-1）使得P12aF（n1-1，n2-1） FF/2（n1-1，n2-1）=1- （图 8-5） ，由此可知H0的接受区域是12aF（n1-1，n2-1） FF/2（n1-1，n2-1） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 22 页 - - - - - - - - - 而 H0的拒绝域为F12

42、aF（n1-1，n2-1） ，或FF/2（n1-1，n2-1）. 然后，根据样本观察值计算统计量F 的观察值，若F的观察值落在拒绝域中，则拒绝H0，接受 H1；若 F 的观察值落在接受域中，则接受H0. 图 8-5 例 8. 9在例 8. 8中我们认为两个总体的方差12=22，它们是否真的相等呢？为此我们来检验假设H0：12=22（给定 =0.1). 解这里 n1=n2=10，s12=0.00000956,s22=0.00000489，于是统计量F 的观察值为F=0.00000956/0.00000489=1.95 .查 F 分布表得F/2（n1-1，n2-1）=F0.05(9,9)=3.18

43、 ，F1-/2（n1-1，n2-1）=F0.95(9,9)=1/F0.05(9,9)=1/3.18 .由样本观察值算出的F 满足F0.95(9,9)=1/3.18F=1.953.18=F0.05(9,9).可见它不落入拒绝域，因此不能拒绝原假设H0：12=22，从而认为两个总体的方差无显著差异 . 注意：在 1与2已知时，要检验假设H0：12=22，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：F=12211122121()1()niiniiXnYnF（n1，n2）.其拒绝域参看表8-4. 表 8-4 检验参条件H0H1H0的拒绝域检验用的统计量自由度分位点名师资料总结 - - -精

44、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 22 页 - - - - - - - - - 数均值12,22已知1=21212121212|Z|z/2ZzZ-zZ=221212XYnnz /2z-z12,22未知12=221=21212121212tt/2ttt-tt=1211wXYSnnn1+n2-2 t /2t-t方差1,2未知12=22 122212221222 12221222F F/2或FF1-/2FFFF1-F=2122SS(n1-1,n2-1) F/2或F1-/2 FFF1-1,

45、2已知12=22 12221221222 12221222F F/2或FF1-/2FFFF1-F=12211122121()1()niiniiXnXn(n1,n2)F/2或F1-/2 FFF1-(2) 单边检验可作类似的讨论，限于篇幅，这里不作介绍了. 第四节总体分布函数的假设检验上两节中，我们在总体分布形式为已知的前提下，讨论了参数的检验问题.然而在实际问题中， 有时不能确知总体服从什么类型的分布，此时就要根据样本来检验关于总体分布的假设 .例如检验假设： “总体服从正态分布”等.本节仅介绍2检验法 . 所谓2检验法是在总体的分布为未知时，根据样本值x1，x2， xn来检验关于总体分布的假设

46、H0：总体 X 的分布函数为F（x） ；H1：总体 X 的分布函数不是F（x）（8. 22）的一种方法（这里的备择假设H1可不必写出） . 注意，若总体X 为离散型，则假设（8. 22）相当于H0：总体 X 的分布律为PX=xi= pi，i=1，2，；（8.23）若总体 X 为连续型，则假设（8. 22）相当于H0：总体 X 的概率密度为f（x）. （8. 24）在用2检验法检验假设H0时，若在假设H0下 F（x）的形式已知，而其参数值未知，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

47、 第 16 页，共 22 页 - - - - - - - - - 此时需先用极大似然估计法估计参数，然后再作检验. 2检验法的基本思想与方法如下：(1) 将随机试验可能结果的全体分为 k 个互不相容的事件A1，A2， Ak(1kiiA=，AiAj=，ij；i,j=1,2,k）,于是在 H0为真时，可以计算概率?ip=P(Ai） （i=1，2， k）. （2） 寻找用于检验的统计量及相应的分布，在n 次试验中，事件Ai出现的频率ifn与概率?ip往往有差异， 但由大数定律可以知道，如果样本容量n 较大（一般要求n 至少为 50，最好在 100 以上），在 H0成立条件下?iifpn的值应该比较小

48、，基于这种想法，皮尔逊使用2=21?()?kiiiifnpnp(8. 25) 作为检验 H0的统计量 ,并证明了如下的定理. 定理 8. 1若 n 充分大 (n50),则当 H0为真时 (不论H0中的分布属什么分布),统计量(8. 25)总是近似地服从自由度为k-r-1 的2分布,其中 r 是被估计的参数的个数. （3） 对于给定的检验水平，查表确定临界值2(1)kr使P22(1)kr）= ，从而得到 H0的拒绝域为22(1)kr）.（4）由样本值x1，x2， xn计算2的值，并与2(1)kr比较 . （5） 作结论： 若22(1)kr，则拒绝 H0，即不能认为总体分布函数为F（x） ；否则接

49、受 H0. 例 8. 10 一本书的一页中印刷错误的个数X 是一个随机变量，现检查了一本书的100页，记录每页中印刷错误的个数，其结果如表8-5 所示 . 表 8-5 错误个数i0 1 2 3 4 5 6 7 页数 fi36 40 19 2 0 2 1 0 AiA0A1A2A3A4A5A6A7其中fi是观察到有i 个错误的页数 .问能否认为一页书中的错误个数X 服从泊松分布(取=0.05)? 解由题意首先提出假设：H0：总体 X 服从泊松分布 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

50、- - 第 17 页，共 22 页 - - - - - - - - - PX=i=!eii，i=0，1，2，这里 H0中参数 为未知，所以需先来估计参数.由最大似然估计法得0 36 1 406 1?+70100 x=1.将试验结果的全体分为A0，A1， A7两两不相容的事件.若 H0为真，则PX=i 有估计111?!eeipP Xiii，i=0，1，2， .例如10?0,epP X11?1,epP X12?2,2epP X166701?711.!eiiipP Xpi计算结果如表8-6 所示 .将其中有些npi5 的组予以适当合并，使新的每一组内有npi5，如表 8-6 所示，此处并组后k=4，