2022年圆锥曲线知识点总结 2.pdf

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1、圆锥曲线知识点总结一、方程的曲线：在平面直角坐标系中， 如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 ) 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1) 曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2) 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C的方程是 f(x,y)=0， 则点 P0(x0,y0) 在曲线 C上f(x0,y 0)=0； 点 P0(x0,y0) 不在曲线 C上f(x0,y0)0。两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为 f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点 P0(x0,y

2、0) 是 C1，C2的交点0),(0),(002001yxfyxf方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。二、圆：1、定义： 点集M OM =r ，其中定点 O为圆心，定长 r 为半径 . 2、方程： (1) 标准方程：圆心在c(a,b) ，半径为 r 的圆方程是 (x-a)2+(y-b)2=r2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x2+y2=r2(2) 一般方程：当 D2+E2-4F0 时， 一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED半径是2422FED。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=

3、0 化为(x+2D)2+(y+2E)2=44F-ED22当 D2+E2-4F=0 时，方程表示一个点 (-2D,-2E); 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 当 D2+E2-4F0 时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系已知圆心 C(a,b), 半径为 r, 点 M的坐标为 (x0,y0)，则MC r点 M在圆 C内，MC =r点M在圆 C上， MC r点 M在圆 C内，其中 MC =2020b)-(y

4、a)-(x。（4）直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i) 判别式法； (ii)利用圆心 C(a,b) 到直线 Ax+By+C=0 的距离22BACBbAad与半径 r 的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y) 到一个定点 F(c,0) 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数 e(e0), 则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0) 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率。当 0e1 时，轨迹为椭圆；当

5、 e=1时，轨迹为抛物线；当e1 时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线：【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e. 共轭双曲线： 以已知双曲线的虚轴为实轴， 实轴为虚轴的双曲线， 叫做已知双曲线的共轭双曲线.2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 共渐近线的双曲线系

6、方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax.【备注 2】抛物线：（1）抛物线2y=2px(p0) 的焦点坐标是 (2p,0) ，准线方程 x=-2p，开口向右；抛物线2y=-2px(p0) 的焦点坐标是 (-2p,0) ，准线方程 x=2p，开口向左；抛物线2x=2py(p0) 的焦点坐标是 (0,2p)，准线方程 y=-2p，开口向上；抛物线2x=-2py（p0）的焦点坐标是（ 0,-2p） ，准线方程 y=2p，开口向下 . （2）抛物线2y=2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F

7、的距离20pxMF；抛物线2y=-2px(p0) 上的点 M(x0,y0) 与焦点 F的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p0) ，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p，顶点到准线的距离2p，焦点到准线的距离为 p. （4）已知过抛物线2y=2px(p0) 焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段 AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB=21xx+p 或2sin2pAB( 为直线 AB的倾斜角 )，221pyy，2,41221pxAFpxx(AF叫做焦半径 ). 五、椭圆的常用结论：1. 点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的外角 . 2.

8、 PT平分PF1F2在点 P处的外角，则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 6. 若000(,)P xy在椭圆2222

9、1xyab外，则过0P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7. 椭圆22221xyab (a b0) 的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8. 椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc ,2( ,0)F c00(,)M xy). 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q两点， A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M 、N两点，则 MF NF. 10. 过椭圆

10、一个焦点 F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12. 若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 1

11、1 页 - - - - - - - - - 【推论】 ：1、若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab。椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 2、过椭圆22221xyab (a 0, b 0) 上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线 BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若 P为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴

12、端点的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 4、设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 5、若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项 . 6、P为椭圆22221xyab（ab0）上任一点 ,F1,F2为二焦点， A为椭圆内一定点，则2112| | 2|aAFPA

13、PFaAF, 当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 7、椭圆220022()()1xxyyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 8、 已知椭圆22221xyab（ab0） ， O为坐标原点，P、 Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2） |OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;

14、（3）OPQS的最小值是2222a bab. 9、过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、已知椭圆22221xyab（ a b0） ,A 、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa. 11、 设 P点是椭圆22221xyab（ a b0）上异于长轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122tan2PF FSb. 12、设 A、B是椭圆22221xyab（ a b0）的长轴

15、两端点， P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2) 2tantan1 e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知椭圆22221xyab（ a b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点, 点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - -

16、 - - - - - - 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中 ,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). （注:在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. ）17、椭圆焦三角形中 ,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中 ,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 六、双曲线的常用结论：1、点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点

17、P处的内角. 2、PT平分PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3、以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交. 4、以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切. （内切： P在右支；外切： P在左支）5、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab. 6、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）外 ，则过 Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 7、双曲线

18、22221xyab（a0,b o）的左右焦点分别为F1，F 2，点 P为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 面积为122t2F PFSb co. 8、双曲线22221xyab（a0,b o）的焦半径公式： (1(,0)Fc , 2( ,0)F c）当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa；当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,2

19、0|MFexa。9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点， A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于 M 、N两点，则 MF NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M ，A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11、AB是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则被 Po所平分的

20、中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 13、若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b 0）内，则过 Po的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 【推论】 ：1、双曲线22221xyab（a0,b 0）的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点

21、的轨迹方程是22221xyab. 2、过双曲线22221xyab（a0,b o）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC有定向且2020BCb xka y（常数） . 3、若 P为双曲线22221xyab（a0,b 0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）. 4、 设双曲线22221xyab（a0,b0） 的两个焦点为 F1、F2,P （异于长轴端点） 为双曲线上任意一点， 在PF1F2中， 记12F PF, 12PF F,12F F P，

22、则有sin(sinsin)cea. 5、若双曲线22221xyab（a0,b 0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 6、 P为双曲线22221xyab（a0,b0） 上任一点 ,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点， 则21| 2|AFaPAPF, 当且仅当2,A F P名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - -

23、- 三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立 . 7、双曲线22221xyab（a0,b 0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 8、已知双曲线22221xyab（ba 0） ，O为坐标原点， P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （1）22221111|OPOQab; （2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba; （3）OPQS的最小值是2222a bba. 9、过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 10、 已知双曲线22221

24、xyab（a0,b 0） ,A、 B是双曲线上的两点， 线段 AB的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 11、 设 P点是双曲线22221xyab（a0,b 0） 上异于实轴端点的任一点,F1、 F2为其焦点记12F PF， 则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 122cot2PF FSb. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 12、设 A、B是双曲线222

25、21xyab（a0,b 0）的长轴两端点， P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 13、已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点 . 14 、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线

26、交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中 , 外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e( 离心率). (注: 在双曲线焦三角形中 ,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中 , 其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18 双曲线焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：xcbyay2顶点)244(2ababac. )0(22ppxy则焦点半径2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF. 通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的. pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx） （t为参数） .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -