2022年北京市西城区高三一模理科数学试题及参考答案 .pdf

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1、第 1 页 共 5 页西城区高三统一测试数学（理科）2018.4第卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合| 320AxxR，2|230BxxxR，则ABI（A） |1xxR（B）2|13xxR（C）2|33xxR（D）|3xxR2执行如图所示的程序框图，输出的k值为（A） 2（B）3（C） 4（D）53已知圆的方程为2220 xyy以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，该圆的极坐标方程为（A）2sin（B）2sin（C）2cos（D）2cos4正三棱柱的三视图如图所示，该正三棱柱的表面积是（

2、A）3 3（B）9 32（C）63（D）62 35已知O是正方形ABCD的中心若DOABAC，其中，R ，则（A）12（B）2（C）2（D）2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 5 页6设函数2( )f xxbxc则“( )f x 有两个不同的零点”是“0 xR，使0()0f x”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件7函数2241,0,( )2

3、3 ,0.xxxxf xx则( )yf x的图象上关于原点O 对称的点共有（A）0 对（B）1 对（C）2 对（D）3 对8某计算机系统在同一时间只能执行一项任务，且该任务完成后才能执行下一项任务现有三项任务U，V，W，计算机系统执行这三项任务的时间（单位：s）依次为 a ，b， c ，其中abc一项任务的 “相对等待时间”定义为从开始执行第一项任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比下列四种执行顺序中，使三项任务 “相对等待时间”之和最小的是（A）UVW（B）VWU（C）WUV（D）UWV名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 5 页第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分9若复数 (i)(34i)a的实部与虚部相等，则实数a_10设等差数列na的前n项和为nS 若12a，420S，则3a_；nS_11已知抛物线28yx的焦点与双曲线2221(0)xyaa的一个焦点重合，则a_；双曲线的渐近线方程是_12设0，若函数2cosyx的最小正周期为2，则_13安排甲、乙、丙、丁4 人参加 3 个运动项目，每人只参加一个项目，每个项目都有

5、人参加若甲、乙2 人不能参加同一个项目，则不同的安排方案的种数为_ （用数字作答）14如图，在长方体1111ABCDA B C D 中，12AAAB，1BC，点P在侧面11A ABB上若点P到直线1AA和 CD 的距离相等，则1A P的最小值是 _三、解答题：本大题共6 小题，共80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分13 分）在 ABC 中，已知3sinsin 2aCcA （）求A的大小；（）若7a，2 3b，求 ABC 的面积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

6、- - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 5 页16 （本小题满分13 分）某企业 2017 年招聘员工，其中A、B、C、D、E 五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（）从表中所有应聘人员中随机选择1 人，试估计此人被录用的概率；（）从应聘E 岗位的 6

7、 人中随机选择2 人记 X 为这 2 人中被录用的人数，求X 的分布列和数学期望；（）表中A、B、C、D、E 各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%） ，但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位（只需写出结论）17 （本小题满分14 分）如图 1，在 ABC 中，D，E分别为AB， AC 的中点， O 为DE的中点，2 5ABAC，4BC将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使得平面1A DE平面 BCED ，如图 2（）求证：1A OBD ；（）求直线1A C 和平面1A BD 所成角

8、的正弦值；（） 线段1A C 上是否存在点F ， 使得直线 DF 和 BC 所成角的余弦值为53？若存在，求出11A FAC的值；若不存在，说明理由图 1 图 2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 5 页18 （本小题满分13 分）已知函数1( )e (ln )xf xaxx，其中aR（）若曲线( )yf x 在1x处的切线与直线exy垂直，求a的值；（）当(0,ln 2)a时，证明：( )f x

9、存在极小值19 （本小题满分14 分）已知圆22:4O xy和椭圆22:24C xy， F 是椭圆 C 的左焦点（）求椭圆C 的离心率和点F 的坐标；（）点 P 在椭圆C上，过 P 作x轴的垂线，交圆O于点 Q（,P Q 不重合），l是过点 Q 的圆O的切线圆 F 的圆心为点F ，半径长为 |PF试判断直线l与圆 F 的位置关系，并证明你的结论20 （本小题满分13 分）数列nA ：12,(2)naaanL满足：1 (1,2, )kaknL记nA 的前k项和为kS ，并规定00S定义集合*nEkN，|knkjSS ，0,1,1jkL（）对数列5A ：0.3，0.7，0.1，0.9，0.1，求集

10、合5E；（）若集合12, (1nmEk kkmL，12)mkkkL，证明：11 (1,2,1)iikkSSimL；（）给定正整数C对所有满足nSC的数列nA ，求集合nE的元素个数的最小值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 1 页 共 5 页西城区高三统一测试数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分. 1D 2C 3B 4D 5B 6 C 7C 8A 二

11、、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分. 9710 6 ，2nn113，30 xy1221330143注：第 10，11 题第一空 3 分，第二空2 分. 三、解答题：本大题共6 小题，共80 分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分13 分）解： （）因为3sinsin 2aCcA，所以3sin2sincosaCAAc 1 分 在 ABC 中，由正弦定理得sin3sin2sincossinACAAC 3 分 所以3cos2A 4 分 因为0A， 5 分 所以6A 6 分 （）在ABC 中，由余弦定理得2222cosabcbcA，所以2223( 7)(2

12、 3)2(2 3)2cc， 8 分 整理得2650cc， 9 分 解得1c，或5c，均适合题意 11 分当1c时， ABC 的面积为13sin22SbcA 12 分 当5c时，ABC的面积为15 3sin22SbcA 13 分 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 2 页 共 5 页16 （本小题满分13 分）解： （）因为表中所有应聘人员总数为5334671000 ，被该企业录用的人数为264169433 ，所

13、以从表中所有应聘人员中随机选择1 人，此人被录用的概率约为4331000P 3 分 （） X 可能的取值为0,1,2 4 分因为应聘E 岗位的 6 人中， 被录用的有4 人，未被录用的有2 人， 5 分所以2226C1(0)C15P X；112426C C8(1)C15P X；2426C2(2)C5P X 8 分所以X 的分布列为：X0 1 2 P115815251824()012151553E X 10 分 （）这四种岗位是：B、C、D、E 13 分 17 （本小题满分14 分）解： （）因为在 ABC 中，D，E分别为AB， AC 的中点，所以/DEBC， ADAE 所以11A DA E

14、，又 O 为DE的中点，所以1A ODE 1 分因为平面1A DE平面 BCED ，且1A O平面1A DE，所以1A O平面 BCED ， 3 分 所以1A OBD 4 分（）取BC的中点G，连接OG，所以OEOG由（）得1A OOE ，1A OOG 如图建立空间直角坐标系Oxyz- 5 分由题意得，1(0,0,2)A，(2,2,0)B，(2,2,0)C，(0, 1,0)D所以1(2, 2, 2)A B，1(0, 1, 2)A D，1(2,2,2)AC设平面1A BD 的法向量为( , , )x y zn，则110,0,A BA Dnn即2220,20.xyzyz令1x，则2y，1z，所以(

15、1,2, 1)n 7 分设直线1A C 和平面1A BD 所成的角为，则111|22sin|cos,|3|A CACA Cnnn所以直线1A C 和平面1A BD 所成角的正弦值为2 23 9 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 5 页（）线段1A C 上存在点 F 适合题意设11A FAC，其中0,1 10 分设111(,)F xyz，则有111(,2)(2 ,2 , 2 )xyz，所以1112

16、 ,2 ,22xyz，从而(2 , 2 , 22 )F，所以(2 ,21,22 )DF，又(0,4,0)BC，所以222|4|21|cos,|4 (2 )(21)(22 )|DFBCDF BCDFBC 12 分令222| 21|53(2 )(21)(22 )，整理得23720 13 分解得13，舍去2所以线段1A C 上存在点 F 适合题意，且1113A FAC 14 分18 （本小题满分13 分）解： （）( )f x 的导函数为2111( )e(ln )e()xxfxaxxxx221e(ln )xaxxx 2 分依题意， 有(1)e (1)efa， 4 分解得0a 5 分（）由221( )

17、e(ln)xfxaxxx及 e0 x知，( )fx 与221lnaxxx同号令221( )lng xaxxx， 6 分则223322(1)1( )xxxgxxx 8 分所以对任意(0,)x，有( )0gx，故( )g x在(0,)单调递增 9 分因为(0,ln 2)a，所以(1)10ga，11()ln022ga，故 存在01(,1)2x，使得0()0g x 11 分( )f x 与( )fx 在区间1(,1)2上的情况如下：x01(,)2x0 x0(,1)x( )fx0+( )f x极小值所以( )f x 在区间01(,)2x上单调递减，在区间0(,1)x上单调递增所以( )f x存在极小值0

18、()f x 13 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 4 页 共 5 页19 （本小题满分14 分）解： （）由题意，椭圆C的标准方程为22142xy 1 分所以24a，22b，从而2222cab因此2a，2c故椭圆C的离心率22cea 3 分椭圆 C 的左焦点 F 的坐标为 (2,0) 4 分（）直线l与圆F相切证明如下： 5 分设00(,)P xy，其中022x，则220024xy， 6 分依题意可设01

19、(,)Q xy，则22014xy 7 分 直线l的方程为0101()xyyxxy，整理为0140 x xy y 9 分所以圆 F 的圆心 F 到直线l的距离002201|24|2|2 |2xdxxy 11分因为22222200000011|(2)(2)(4)22422PFxyxxxx 13 分 所以22|PFd，即|PFd ，所以直线l与圆 F 相切 14 分 20 （本小题满分13 分）解： （）因为00S，10.3S，20.4S，30.3S，41.2S，51.3S， 2 分所以52,4,5E 3 分 （）由集合nE的定义知1iikkSS，且1ik是使得ikkSS成立的最小的k，所以11ii

20、kkSS. 5 分 又因为11ika，所以1111iiikkkSSa 6 分1.ikS所以11iikkSS 8 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 5 页（）因为0nSS，所以nE非空设集合12,nmEk kkL，不妨设12mkkkL，则由（）可知11 (1,2,1)iikkSSimL，同理101kSS，且mnkSS所以12110()()()()mmmnnkkkkkkSSSSSSSSSL10 1111mmL1 4 4 2 4 4 3个因为nSC，所以nE的元素个数1mC 11 分取常数数列nA：1(1,2,1)2iCaiCCL，并令1nC，则22(1)2122nCCCSCCC，适合题意，且1,2,1nECL，其元素个数恰为1C综上，nE的元素个数的最小值为1C 13 分 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -