2022年双曲线极其简单几何性质教案 .pdf

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1、知识归纳： 形如221xymn的方程所表示的曲线形状由m、n 确定。若_，方程表示圆；若 _，方程表示椭圆；若 _，方程表示双曲线。以双曲线标准方程12222byax为例进行说明双曲线的顶点、渐近线和离心率。1、顶点：在双曲线12222byax的方程里，对称轴是, x y轴，所以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2aAaA，他们是双曲线12222byax的顶点。令0 x，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。2）实轴：线段2AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2 ,a a叫做

2、双曲线的实半轴长。虚轴：线段2BB叫做双曲线的虚轴，它的长等于2 ,b b叫做双曲线的虚半轴长。2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看， 双曲线12222byax的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。所谓渐近， 既是无限接近但永不相交。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 3、离心率：双曲线的焦距与实轴长的比e=ac，叫双曲线的离心率. 说明：由ca0 可

3、得 e1；双曲线的离心率越大，它的开口越阔. 双曲线及其标准方程(一 ) 复习提问1椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数( 大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做椭圆教师要强调条件：(1) 平面内； (2) 到两定点F1、F2 的距离的和等于常数；(3) 常数 2a|F1F2| 2椭圆的标准方程是什么？( 学生口答，教师板书) (二) 双曲线的概念把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？1简单实验如图 2-23，定点 F1、F2 是两个按钉， MN是一个细套管， 两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点 M移动

4、时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支注意：常数要小于|F1F2| ，否则作不出图形这样作出的曲线就叫做双曲线2设问1、|MF1| 与|MF2| 哪个大？不定：当M在双曲线右支上时，|MF1| |MF2| ；当点 M在双曲线左支上时，|MF1| |MF2| 2、点 M与定点 F1、F2 距离的差是否就是|MF1|-|MF2| ？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - -

5、 - - - 不一定，也可以是|MF2|-|MF1|正确表示为 |MF2|-|MF1|3、这个常数是否会大于等于|F1F2| ？应小于 |F1F2| 且大于零当常数=|F1F2| 时，轨迹是以F1、F2为端点的两条射线；当常数|F1F2| 时，无轨迹3定义平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数( 小于 |F1F2|) 的点的轨迹叫做双曲线这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距(三 ) 双曲线的标准方程(1)建系设点取过焦点F1、F2的直线为 x 轴，线段 F1F2的垂直平分线为y 轴( 如图 2-24) 建立直角坐标系设 M(x，y) 为双曲线上任意一点，

6、双曲线的焦距是2c(c 0) ，那么 F1、F2 的坐标分别是 (-c ，0) 、(c ，0)又设点 M与 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数(2)点的集合由定义可知，双曲线就是集合：P=M|MF 1|-|MF2|=2a=M|MF1|-|MF2|=2a(3)代数方程这就是双曲线的标准方程名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 两种标准方程的比较( 引导学生归纳 ) ：(1)双曲线标准方程中，a0，b0，但 a 不一定

7、大于b；(2)如果 x2 项的系数是正的，那么焦点在x 轴上；如果y2 项的系数是正的，那么焦点在y 轴上注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上(3)双曲线标准方程中a、b、c 的关系是 c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2(五) 小结1定义：平面内与两定点F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数( 小于 |F1F2|) 的点的轨迹3图形 ( 见图 2-25) ：4焦点： F1(-c ， 0) 、F2(c ，0)；F1(0 ，-c) 、F2(0，c) 5a、b、 c 的关系： c2=a2+b2；c=a2+b2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -