2022年孙斌--高等数学教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高等数学教案一、课程的性质与任务 高等数学是运算机科学与技术；信息治理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论 课,通过本课程的学习,也是该专业的核心课程；要使同学获得“ 向量代数” 与“ 空间解 析几何” ,“ 微积分” ,“ 常微分方程与无穷级数” 等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训同学的抽象概括才能、规律推理才能、空间想象才能和 自学才能；在传授学问的同时,要着眼于提高同学的数学素养,培育同学用数学的方法去 解决实际问题的意识、爱好和才能；第一章：函数与极限教学目的与要求1.解函数的概念,把握函数的表示方法

2、,并会建立简洁应用问题中的函数关系式；2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；3.懂得复合函数及分段函数的概念,明白反函数及隐函数的概念；4.把握基本初等函数的性质及其图形；5.懂得极限的概念,懂得函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限之间的关系；6.把握极限的性质及四就运算法就；7.明白极限存在的两个准就,并会利用它们求极限,把握利用两个重要极限求极限的方法；8.懂得无穷小、无穷大的概念,把握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限；9.懂得函数连续性的概念（含左连续与右连续）,会判别函数间断点的类型；10.明白连续函数的性质和初等函数的连续性,明白闭区间上连续函数的性质（有界

3、性、最大值 和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质；第一节：映射与函数一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合；组成这个集合的事物称为该集合的元素表示方法：用A ,B,C, D 表示集合；用a, b,c,d 表示集合中的元素第 1 页,共 49 页1Aa 1,a 2,a 3,2Axx 的性质P 元素与集合的关系：aAaA名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一个集合,如它只含有有限个元素,就称为 有限集 ；不是有限集的集合称为 无限集 ；常见的数集： N,Z,Q,R,N +元素与集合的关系：A、B 是两个集合,假如集合

4、A 的元素都是集合 B 的元素,就称 A 是 B的子集 ,记作 A B；假如集合 A 与集合 B 互为子集,就称 A 与 B 相等 ,记作 A B如作 A B 且 A B 就称 A 是 B 的真子集 ；空集：A2、 集合的运算并集AAB：AABx|xA或xB 交集AB：ABCx|xA且xB 差集B：全集 I 、E Bx|xA 且xB 补集A：集合的并、交、余运算满意以下法就：交换律、ABBAABBABCACBACBC结合律、ABCABCA安排律ABCACBCABC对偶律ABcAcBcAB cc ABc笛卡儿积 A Bx,y|xA 且yB 3、 区间和邻域开区间a,b 闭区间Ua,b半开半闭区间

5、a,ba ,b有限、无限区间邻域：aUa ,xaxaa 邻域的中心邻域的半径去心邻域Ua,二、映射名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 映射概念定义 设 X,Y 是两个非空集合,假如存在一个法就 f ,使得对 X 中的每一个元素 x ,按法就 f ,在 Y 中有唯独确定的元素 y 与之对应,就称 f 为从 X 到 Y 的映射 ,记作f：X Y其中 y 称为元素 x 的像,并记作 f x ,即 y f x 留意： 1）集合 X；集合 Y；对应法就 f2）每个 X 有唯独的像；每个 Y 的原像不唯独3 单射、满射、双

6、射2、 映射、复合映射三、函数1、 函数的概念：定义：设数集fDR,就称映射f :DR为定义在D 上的函数记为yDxx自变量、因变量、定义域、值域、函数值用 f 、 g 、函数相等：定义域、对应法就相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝00. 第 3 页,共 49 页例： 2 x1x3 符号函数y0x01x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 取整函数yxx（阶梯曲线）5 分段函数0x12y1xx12、 函数的几种特性1） 函数的有界性上界、下界；有界、无界 有界的充要条件：既有上界又有下界；注：不同函数、不同定义域,有界性变化；

7、2 函数的单调性（单增、单减）在 x 1、x2点比较函数值f 1x 与 f x 2 的大小（注：与区间有关）3 函数的奇偶性 定义域对称、f x 与 f x 关系打算 图形特点 关于原点、 Y 轴对称 4函数的周期性 定义域中成立：f x l f x 3、 反函数与复合函数反函数 ：函数f:DfD是单射,就有逆映射f1yx,称此映射f1为 f 函数的反函数函数与反函数的图像关yx于对称fDD 1；就第 4 页,共 49 页复合函数 ：函数ug y定义域为D1,函数yfx在 D 上有定义、且ugfxgfx为复合函数； 留意：构成条件 4、函数的运算和、差、积、商注：只有定义域相同的函数才能运算

8、5、初等函数：1 幂函数：yxa2指数函数：yax名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 对数函数ylogax4三角函数ysinx,ycosx,ytanx,ycotx5 反三角函数yarcsin x,ya r c c o s yarccotxyarctan x 以上五种函数为基本初等函数6 双曲函数shxx eexchxexex2ex2thxshxexchxexex注：双曲函数的单调性、奇偶性；双曲函数公式sh xyshxchychxshysh xyshxchychxshych xychxchyshxshych xychxchyshxshy

9、反双曲函数：yarshxyarchxyarthx作业 ： 同步练习册练习一名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次节：数列的极限 一、数列 数列就是由数组成的序列；1）这个序列中的每个数都编了号；2）序列中有无限多个成员；一般写成：na 1a 2a3a4x nan缩写为u n1是这样一个数列,其中例 1 数列nx n1,12 ,34 ,5n也可写为：111110,记为lim n102345可发觉：这个数列有个趋势,数值越来越小,无限接近n1、 极限的N 定义 ：0NnNx na就称数列x n的极限为 a ,记成nl

10、i m xna也可等价表述：1）0NnNNxna2）0Nnx nO a极限是数列中数的变化总趋势,因此与数列中某个、前几个的值没有关系；二、 收敛数列的性质名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 1：假如数列xn收敛,那么它的极限是唯独0x n0 定理 2 假如数列xn收敛,那么数列x n肯定有界定理 3：假如xlimxna且 a0a0 ,当 nN 时,xn定理 4、假如数列xn收敛于 a 那么它的任一子数列也收敛 ,且收敛于 a；第三节：函数的极限一、极限的定义1、在x 点的极限f,xf 在x 有没有定义,以及函

11、数值fx 0的1）x 可在函数的定义域内,也可不在,不涉及大小；只要满意：存在某个0 使：x00x0,x0D；xA 为极限,2）假如自变量x 趋于x 时,相应的函数值有一个总趋势 - 以某个实数就记为：x lim x 0fxA；形式定义为：0x 0xx0fx A注：左、右极限；单侧极限、极限的关系2、 x 的极限设：yfx x,假如当时函数值有一个总趋势- 该曲线有一条水平渐近线第 7 页,共 49 页lim xfxAyA- 就称函数在无限远点有极限；记为：在无穷远点的左右极限：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - flim xfxfx li

12、mfx关系为：lim xfxAlim xfxAlim xfx二、函数极限的性质1、 极限的唯独性2、 函数极限的局部有界性3、 函数极限的局部保号性4、 函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列 x n,假如成立如下的命题：0 N n N nx 就称它为无穷小量,即 lim x x n 0注：1、的意义；2、x n 可写成 x n 0； 0 , x n 3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数,存在一个号码 N,使在这个号码以后的全部的号码 n ,相应的 nx 与极限 0 的距离比这个给定的 仍小；它是我们在直观上对于一个数列趋于 0 的熟悉；定理 1 在自变

13、量的同一变化过程xx0（或x中,函数fx具有极限 A 的充分必要条件是fxA,其中是无穷小；二、无穷大定义名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一个数列x n,假如成立：nG那么称它为无穷大量；记成：lim xxnxn；G0NnNx n特殊地,假如G0NnNx nG,就称为正无穷大,记成lim xxn特殊地,假如G0NNxnG,就称为负无穷大,记成lim x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量；三、无穷小和无穷大的关系f定理 2 在自变量的同一变化过程中,假如fx为无穷大,就f1为无穷小；反之,假如xx为无穷

14、小,且fx0就f1为无穷大xn0时：有x即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当lim x0lim x1xnlim xlim x10xn留意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法就1、无穷小的性质设xn和ny是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：lim xxn0lim xyn0clim xxnyn0第 9 页,共 49 页（ 2）对于任意常数C,数列x n也是无穷小量：名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - limx x n 0 limx c x n 0（ 3）xn y n 也是无穷小量,两个无穷小量的积是一个无穷小量

15、；lim x x n 0 lim x y n 0 lim x x n y n 0（ 4）x n 也是无穷小量：x limx 0 x n 0x limx 0 x n 0（ 5）无穷小与有界函数的积为无穷小；2、函数极限的四就运算1、 如函数 f 和 g 在点0x 有极限,就0,就lim x x 0fx gxx lim x0fx x lim x 0gx2、 函数 f 在点x 有极限,就对任何常数a 成立lim x x 0 afxalim x x0fx3、如函数f 和 g 在点x 有极限,就x lim x 0fx gxx lim x 0fxx lim x 0gx3、 如函数 f 和 g 在点0x 有

16、极限,并且lim x x 0gxlim x x 0fx lim x x 0fxlim x x 0gxgx 极限的四就运算成立的条件是如函数f 和 g 在点x 有极限例：求下述极限lim x 3 x x23lim x 1x22xx3459名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim x lim 2 3 x x 32 3 7x 33 x 2 4 x 5 22x 5 x2 x 123 lim x lim x 2x 2x sinx2 x xx14、复合函数的极限运325算法就定理 6 设函数yfgx是由函数yfu与ugx复合

17、而成,fgx在点x 的 某去心邻域内有定义,如lim x x0gx u0,1）xnynz n,u lim u0fuA,且存在00,当xu0 x 0,0时,有g xu 0,就lim x x 0fg x lim u u 0f u A第六节：极限存在准就两个重要极限定理 1 夹逼定理：三数列xn、y n和z n,假如从某个号码起成立：并且已知x n和z n收敛,2）lim xxnalim xz n,就有结论：xlimyna定理 2 单调有界数列肯定收敛；单调增加有上界的数列肯定收敛；单调削减有下界的数列肯定收敛；例：证明：lim x 0sinx1第 11 页,共 49 页x名师归纳总结 - - -

18、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例：lim x 0tanxlim x 01cosxx的极限xx2lim x 0arcsinxlim x 11xx有界；求证明：lim x 11xx第七节：无穷小的比较定义：如,为无穷小lim0lim且limKc0limc0lim1高 阶 、 低 阶 、 同 阶 、k 阶、等价11、如,为等价无穷小就2、如1 、1 且lim存在,1就：limlim1x1例：lim x 0tan2xlim x 0sinsin5xx33 x1名师归纳总结 lim x 0 1x2311第 12 页,共 49 页cosx- - - - - - -精选学习资

19、料 - - - - - - - - - 第八节：函数的连续性与间断点一、函数在一点的连续性、左极限fx 00 与右极限函数 f 在点x 连续,当且仅当该点的函数值fx0f0x0 三者相等：；fx00 fx 0fx00 或者：当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值lim x x 0fxfx0其形式定义如下：0xxx0fxfx 0函数在区间（ a,b）连续指：区间中每一点都连续；函数在区间 a,b连续时装意端点；注：左右连续,在区间上连续 留意端点 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线二、间断点如：fx00 fx0fx00 中有某一个等式不成立,就间断,分为：1、 第一类间断点

20、：fx00 fx 00即函数在点的左右极限皆存在但不相等,曲线段上显现一个跳动；2 、其次类间断点0x ：左极限fx00 与右极限fx 00 两者之中至少有一个不存在名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例：见教材 第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四就运算1.lim x x 0fxfx0且lim x x 0gxgx 0,f是严格单调增加（削减）并且连续的,x lim x0fx gx0gxfx 02lim x x 0fxfx0且lim x x 0gxgx 0,lim x x0fx0gx0fxgx

21、3.lim x x 0fx fx0且lim x x 0gx gx00,x0lim x x 0fx f反函数连续定理：gx gx0假如函数f:yfx xD就存在它的反函数f1：xf1y yDf并且f1也是严格单调增加（削减）并且连续的；注：1）反函数的定义域就是原先的值域；2）通常惯用X 表示自变量, Y 表示因变量；反函数也可表成yf1xxDf1复合函数的连续性定理：数在点设函数 f 和 g 满意复合条件gxDf,如函数 g 在点 x0连续；gx0u0,又如 f 函u 连续,就复合函数fg在点0连续；注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：lim x x 0fgxflim x x

22、0gx 第 14 页,共 49 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从这些基本初等函数出,通过如干次四就运算以及复合,得到的种种函数统称为初等函数,并且：初等函数在其定义区间内连续；第十节：闭区间上连续函数的性质一、最大、最小值y 0Dfx 0,就记设函数：yfx ,xD在上有界,现在问在值域D1yyfx,xD中是否有一个最大的实数？假如存在,譬如说它是某个点x0D的函数值y 0max x Dfx叫做函数在D 上的最大值；x2f的 函 数 值类 似 地 , 如 果Df中 有 一 个 最 小 实 数 , 譬 如 说 它 是 某 个 点y2f

23、x2,就记y2min x D ffx称为函数在上的最小值；二、有界性有界性定理：假如函数f 在闭区间a,b上连续,就它在a,b上有界；三、零点、介值定理最大值和最小值定理：假如函数f 在闭区间a,b上连续就它在a,b上有最大值和最小值,也就是说存在两个点和,使得ffx f,xa ,b亦即fx0minx a , bfx fmaxx a , bfx 如 x0使f0,就称 x0为函数的零点名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 零点定理：假如函数f 在闭区间a,b上连续,且 f 在区间a,b的两个端点异号：fa*fb0就至少

24、有一个零点a,b0,使f中值定理：假如函数f 在闭区间a,b上连续,就 f 在a,b上能取到它的最大值和最小值 之间的任何一个中间值；作业：见课后各章节练习；其次章 导数与微分教学目的与要求 22 学时1、懂得导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程,明白导数的物理意义,会用导数描述一些物理量,懂得函数的可导性与连续性之间的的关系；2、娴熟把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法就,娴熟把握基本初等函数的导数公式,明白微分的四就运算法就和一阶微分形式的不变性,会求函数的微分；3、明白高阶导数的概念,会求某些简洁函数的 n 阶导数；4、会求分段函数的导数；5

25、、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数,会求反函数的导数；一、导数概念（0 ）01、定义 f / x 0 limx 0 yxlim fx 0 x fx 0 x 0 xlim fx fx 0 x x 0 x x 0f / x lim fx x fxx 0 x左导数名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - f/-xlim-fx0xfx0xlimfx-fx0xxx0x0x0右导数f/x0limfx00xf/fx0xlim0fx-fx0xxx0x0f/-xx0xf/xAA可以证明：可导连续；即可导是连续的充分条件；连

26、续是可导的必要条件；左右导数 注：与左右极限关系 2、导数的几何意义曲线yfx在点x0y0处切线：yy0f/x0xx0例 1：争论fxxsin1x0在 x=0 处可导性x解：lim x0 x00fxlim x 0xsin10f0xfx 在 x = 0 连续lim x0fx-f0lim x 0sin1不存在 fx 在 x = 0 不行导x0x-0x例 2：已知f/x0存在就lim h 0fx02h-fx02f/x0hlim h 0fx05 h-fx05 f/x0hlim h 0fx 03h hfx 0h=lim h 0fx03 h-fx0fx0h-fx04f/hh例 3：设函数 fx 可微,名师

27、归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就lim x 0f2xx-f2x2fxf/xa、b x例 4：设fxx2bxx0axx0为使 fx 在 x = x 0 处可导,应如何选取常数解：第一 fx 必需在 x 0 连续xlim-0fxxlim0-x2x2 0（由 得）第 18 页,共 49 页xxxlimfxxlimaxbax0bx0x0axbx2 0f/-xxlim x 0fx-fx0xlim x 0x2-x2 0xx0xx0xlimxx02x0x0f/xxlim x 0fx-fx0xlim x 0axxb-x2 0xx

28、0-x0xlim x 0ax-ax0ax-x0f/x0存在.9a2x0从而bx02例 5： fx= x x-1x-2 x-9 , 就f/0f/0lim x 0fx-f0x-0名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim x 0x1x2x99.0fx12,例 6：设 fx 在 x = 0 领域内连续,lim x 01x就f/01f0lim x 0fx0（分母 0）f/0lim x 0fx-f0lim x 0fxx-0x1afx-af0clim x0fx-11x1211xx2例 7：设函数f 1+x = a f x ,且f/0b a , b 0,

29、问f/1存在否 . 解：f/1lim x0f1x-f1lim xxxlim x0afx-f0af/0abx二、导数的求法1、显函数导数求一个显函数的导数需解决：基本初等函数导数 P 64; 导数四就运算法就 P65; 复合函数与反函数求导法就 P66 ；定理：ux在 X 有导数du ,yfu在对应点 u 有导数dy ,第 19 页,共 49 页dxduyfx在 X处也有导数,就复合函数dydyduf/u/x；dxdudx名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1：y/xsin2x21求/y22x21解：y/sin2x21x4xcos例 2：yln1x2求y/1x1ln1x2y/112x解：y22x2x例 3：yarctgx求y/解：y 111x2x例 4：yaarctg1求y/x解：y/aarctg1lna11211lna2a