2022年历年高考真题考点归纳第九章解析几何第二节圆锥曲线.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题40.2022 年广东卷文 （本小题满分14 分）3,两个焦点分别为F 和F ,椭圆 G 上已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上 ,离心率为2一点到F 和F 的距离之和为12.圆C :x2y22 kx4y210kR 的圆心为点A . 1求椭圆 G 的方程2求 Ak F 1F 2 的面积3问是否存在圆 C k 包围椭圆 G.请说明理由 . 2 2解（1）设椭圆 G 的方程为：a x2 b y2 1（a b 0）半焦距为 c; 2 a 12 a 6 2 2 2就 c 3 , 解得c 3 3 , b a c 36 27 9a 2

2、2 2x y所求椭圆 G 的方程为：1 . 36 92 点 A 的坐标为 K , 2S V A F F K 1 2 1 F F 1 2 2 1 6 3 2 6 32 2（3）如 k 0,由 6 20 212 0 21 15 12 0 可知点（ 6,0）在圆 C 外,2 2如 k 0,由 6 0 12 0 21 15 12 0 可知点（ -6,0）在圆 C 外；不论 K 为何值圆 C 都不能包围椭圆 G. 41.（2022 浙江理）（此题满分 15 分）2 2已知椭圆 C ：y2 x2 1 a b 0 的右顶点为 A 1,0,过 C 的焦点且垂直长轴的弦长a b为 1名师归纳总结 （I）求椭圆C

3、 的方程；C 交于点M N 当第 1 页,共 47 页（II）设点 P 在抛物线C ：y2 xh hR 上,C 在点 P 处的切线与线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求h 的最小值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解（I）由题意得b11,a2,所求的椭圆方程为2 yx21,b22b14a2（II）不妨设 M x y 1 , N x 2 , y 2 , P t t h , 就抛物线 C 在点 P 处的切线斜率为 y x t 2 t ,2直 线 MN 的 方 程 为 y 2 tx t h , 将 上 式 代 入 椭 圆 C 1 的 方 程

4、中 , 得4 x 2 2 tx t 2 h 2 4 0,即 4 1 t 2x 24 t t 2h x t 2h 24 0,由于直线 MN与椭圆 C 有两个不同的交点,所以有 1 16 t 42 h 2 t 2h 24 0,2设线段 MN 的中点的横坐标是 3x ,就 x 3 x 1 x 2 t t h2 ,2 21 t 设线段 PA 的中点的横坐标是 x ,就 x 4 t 1,由题意得 x 3 x ,即有 t 2 1 h t 1 0,22其中的 2 1 h 4 0, h 1 或 h 3；当 h 3 时有 h 2 0,4 h 20,因此不等式 1 16 t 42 h 2 t 2h 24 0 不成

5、立；因此 h 1,当 h 1 时代入方程 t 21 h t 1 0 得 t 1,将 h 1, t 1 代入不等式1 16 t 42 h 2 t 2h 24 0 成立,因此 h 的最小值为 142.（2022 浙江文）（此题满分 15 分）已知抛物线 C ：x 22 py p 0 上一点 A m ,4 到其焦点的距离为 174（I）求 p 与 m 的值；（II）设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为t t0,过 P 的直线交 C 于另一点 Q ,交 x轴于点 M ,过点 Q作 PQ的垂线交 C 于另一点 N 如 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值名师归纳总结 解（）由抛物线方程得其准线方程：y

6、p,依据抛物线定义1第 2 页,共 47 页2点A m , 4 到焦点的距离等于它到准线的距离,即4p17,解得p242抛物线方程为：2 xy,将A m , 4 代入抛物线方程,解得m2（）由题意知,过点P t,t2的直线 PQ 斜率存在且不为0,设其为 k ；就l PQ:yt2kxt,当y,0xt2kt,就Mt2kt0, kk；联立方程yt22kxt,整理得：x2kxtkt0xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即：xtxkt0,解得x,t或xktQ k t , k t 2,而 QN QP,直线 NQ 斜率为 1kl NQ : y k t 2 1k

7、x k t ,联立方程 y k t 2x 2 1ky x k t 整理得：x 2 1 x 1 k t k t 2 0,即：kx 2 x k t k k t 1 0k k kx k k t 1 x k t 0,解得：x k k t 1,或 x k tk2 k k t 1N k kk t 1 , k kk t2 1 2,K NMk k t k1 2t 2kt k k t 22 ktk 2 1 1 2k k而抛物线在点 N 处切线斜率：k 切 y k k t 1 2 k k t 2xk k2 2 k kt 1 2 k k t 2MN 是抛物线的切线,2 2,k t k 1 k2 2整理得 k tk

8、1 2 t 02 2 2 2 2t 4 1 2 t 0,解得 t（舍去）,或 t,t min3 3 343.（2022 北京文）（本小题共 14 分）2 2已知双曲线 C : x2 y2 1 a 0, b 0 的离心率为 3 ,右准线方程为 x 3；a b 3（）求双曲线 C 的方程；（）已知直线 x y m 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B,且线段 AB 的中点在圆2 2x y 5 上,求 m 的值 .【解析】 此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础学问,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算才能名师归纳总结 解（）由题意,得a23,解得a1, c3

9、,第 3 页,共 47 页c3c3a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - b22 ca22,所求双曲线C 的方程为x2y21 . 2（）设 A、B 两点的坐标分别为 x y 1 , x 2 , y 2,线段 AB 的中点为 M x 0 , y 0,22 y由 x2 1 得 x 22 mx m 22 0（判别式 0 ）, x y m 0x 0 x 1 x 2 m y 0 x 0 m 2 m, 22 2点 M x 0 , y 0 在圆 x y 5 上,m 22 m 25,m 1 . 44.（2022 北京理）（本小题共 14 分）2 2已知双曲线 C : x2

10、 y2 1 a 0, b 0 的离心率为 3 ,右准线方程为 x 3a b 3（）求双曲线 C 的方程；（）设直线 l 是圆 O x 2 y 2 2 上动点 P x 0 , y 0 x y 0 0 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点 A B ,证明 AOB 的大小为定值 .【解法 1】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础学问,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算才能名师归纳总结 a233,2 y,1. 第 4 页,共 47 页（）由题意,得c3,解得a1,cc3ax22 b2 ca22,所求双曲线C 的方程为2（）点P x 0,y 0x y 00在

11、圆2 xy22上,x 0圆在点P x 0,y 0处的切线方程为yy 0x0xy0化简得x xy y2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由x2y21及x22 y 02得32 x 04x24x x 0822 x 00,20名师归纳总结 x xy y2第 5 页,共 47 页切线 l 与双曲线 C交于不同的两点A、B,且0x22,032 x 040,且162 x 04 3x24822 x 00,0设 A、B 两点的坐标分别为x y 1,x 2,y 2,就x 1x 234 x 04,x x 2822 x 0,2 x 02 3 x 04 cosAOBOA O

12、B,且OAOBOA OBx x2y y 2x x212x x 12x x 2,2 y 0x x 2212 x 042x 0x 1x 22 x x x 282 x 022 x 0212 x 0482 x 04x23822 x 00343 x2 02 x 0482 2 x 0822 x 00. 2 3 x 042 3 x 04AOB 的大小为 90 . 【解法 2】（）同解法1. （）点P x 0,y 0x y 0 00在圆2 xy22上,圆在点P x 0,y 0处的切线方程为yy 0x0xx 0,y0化简得x x 0y y 02. 由x2y21及x22 y 02得20x xy y232 x 04

13、x24x x82x20032 x 04y28y x82x200- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 切线 l 与双曲线 C交于不同的两点A、B,且0x22,0名师归纳总结 32 x 040,设 A、B 两点的坐标分别为x y 1,x 2,y 2,第 6 页,共 47 页就x x 282x 0 2,y y 22 x 0 28,3 x 0 243 x 0 24OA OBx x 2y y 20,AOB 的大小为 90. （x2 02 y 02且x y 00,02 x 02,0y2 02,从而当3x2 040时,方程和方程的判别式均大于零）. 45.（2022 江

14、苏卷）（此题满分10 分）在平面直角坐标系xoy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A（2,2）,其焦点 F 在 x 轴上；（1）求抛物线C的标准方程；（2）求过点 F,且与直线OA 垂直的直线的方程；（3）设过点M m ,0m0的直线交抛物线C于 D、E两点, ME=2DM,记D 和 E两点间的距离为f m ,求f m 关于m的表达式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 46.2022 山东卷理 （本小题满分 14 分）设椭圆 E: x2y21（a,b0）过 M（ 2,2 ） ,N 6 ,1两点, O 为坐标原点,a2b 2（I）求椭圆 E 的方程；名师归

15、纳总结 （ II）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且2第 7 页,共 47 页OAOB ？如存在,写出该圆的方程,并求| AB| 的取值范畴,如不存在说明理由；解:（1）由于椭圆E: 2 xy21（a,b0）过 M（2,2 ） ,N 6 ,1两点 , a 2b2所以421解得11所以2 a8椭圆 E 的方程为2 x2 y1a2b2a2861111b 2484a2b2b24（ 2）假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且ykxmOAOB ,设该圆的切线方程为ykxm解方程组x2y21得2 x2 kx2 m 8,即8

16、41 2 k22 x4 kmx2 2 m80, 就 =2 216 k m412 k222 m888 k22 m40,即8 k22 m40x 1x 224km2,12kx x 2m2812 k2y y 2 kx 1m kx 2m 2 k x x 2km x 1x 22 mk222 m282 24 k m2 m2 m8 k1 2k12 k212 k2要使 OAOB ,需使x x 2y y 20,即2 2 m82 m8 k20,所以2 3 m8 k280,所以12 k212 k2k22 3 m80又8 k22 m40, 所 以2 m2, 所 以2 m8, 即m236或2 3 m883m2 6, 因

17、为 直 线 ykxm 为 圆 心 在 原 点 的 圆 的 一 条 切 线 , 所 以 圆 的 半 径 为3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - rmk2,r212 m21m288,r2 6,所求的圆为x2y28,此时圆的切线13 m23k338名师归纳总结 ykxm 都满意m2 6或m2 6,而当切线的斜率不存在时切线为x2 6与椭第 8 页,共 47 页333圆x2y21的两个交点为2 6,236或2 6,236满意 OAOB ,综上 , 存在8433圆心在原点的圆x 2y28,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且3OAOB . 由于x

18、 1x24km2, 12kx x 22m2812k2所以x 1x 22x 1x 224x x 1 214 km2242 2 m888 k22 m24, 2 k12 k21 2 k2|AB|x 1x 22y 1y221k2x 1x 221k288 k22 m41 2 k22 32 4 k45 k21321 34 k4k2k2 1, 34 k44 k214当k0时|AB|3214 k21431k2由于4k2148所以04k2141, k218k2所以323214 k21412, 331k2所以4 36|AB| 2 3当且仅当k2时取 ”=”. 2当k0时,|AB|436. - - - - - -

19、-精选学习资料 - - - - - - - - - 当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为2 6,2 6或2 6,236, 333所以此时|AB|4 6, ,直线与椭圆的3综上 , | AB | 的取值范畴为46|AB| 2 3即: |AB| 46, 2 333【命题立意】 :此题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法 问题以及方程的根与系数关系 . 47. 2022 山东卷文 （本小题满分 14 分）,能够运用解方程组法讨论有关参数设 mR ,在平面直角坐标系中,已知向量amx y1,向量b , x y1, ab , 动点M

20、x y 的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程 ,并说明该方程所表示曲线的外形 ; （2）已知 m 1,证明 :存在圆心在原点的圆 ,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点4A,B,且 OA OB O 为坐标原点 ,并求出该圆的方程 ; 3已知 m 1,设直线 l 与圆 C: x 2y 2R 1R2相切于 A1,且 l 与轨迹 E只有一个公共点 2B1,4当 R为何值时 ,| A1B1| 取得最大值 .并求最大值 . 名师归纳总结 解（1）由于 ab ,amx y1,b , x y1, ykxt ,解方第 9 页,共 47 页所以a bmx2y210, 即2 mxy21. 当 m=0

21、 时,方程表示两直线,方程为y1; 当m1时, 方程表示的是圆当m0且m1时,方程表示的是椭圆; 当m0时,方程表示的是双曲线. 2.当m1时, 轨迹 E的方程为x2y21,设圆心在原点的圆的一条切线为44- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ykxt名师归纳总结 程组x2y21得x24kxt24,即1 4 k2x 28 ktx4 t240, 第 10 页,共 47 页4要使切线与轨迹E 恒有两个交点A,B, 就使 =64 k t 2 2161 4 k2t21164 k2t210, 即4 k2t210,即t24 k21 , 且x 1x 218kt24kx

22、x 24 t244 k21y y2kx 1tkx 2t2 k x x2kt x 1x 2t2k24t2k2482 2 k t2t2t24 k2, 1414k14k2要使 OAOB , 需使x x 2y y 20,即4 t24t24 k25 t24k240, 14 k214 k214 k2所以5 t24 k240, 即5 t24 k24且t24 k21 , 即4 k2420 k25恒成立 . 所以又由于直线ykxt 为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为r1tk2,r21t224 1 5k24, 所求的圆为2 xy24. kk2551当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 , 切 线 为x

23、25, 与2 xy21交 于 点25,25或545525 ,25也满意 OAOB . 55综上 , 存在圆心在原点的圆2 xy24,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,5且 OAOB . 3当m1时 ,轨迹E 的方程为x22 y1,设直线 l 的方程为ykxt ,由于直线l 与圆44C:x2y22 R 1R2相切于 A1, 由（ 2）知R1tk2, 即t22 R1k2, 由于 l 与轨迹 E只有一个公共点B1, - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ykxt由（ 2）知 x 22 得 x 2 4 kx t 2 4 , y 142 2 2即 1

24、 4 k x 8 ktx 4 t 4 0 有唯独解2 2 2 2 2 2 2 2就 = 64 k t 161 4 k t 1 164 k t 1 0 , 即 4 k t 1 0 , 2t 2 3 R2由得 42 R, 此时 A,B 重合为 B1x1,y1点, k 2 R 124 R8 kt由 x 1 x 24 t 12 44 k 2中 x 1 x 2 ,所以 , x 1 21 4 t 24 k 42 16 R3 2R 2 16, x x 2 21 4 k2B1x1,y1点在椭圆上 ,所以 y 1 21 1 x 1 2 4 R2 ,所以 | OB 1 | 2x 1 2y 1 25 42 , 4

25、3 R R在 直 角 三 角 形 OA1B1 中 , | A B 1 | 2| OB 1 | 2| OA 1 | 25 42 R 25 42 R 2 因 为R R4 2 22 R 4 当且仅当 R 2 1,2 时取等号 ,所以 | A B 1 1 | 5 4 1 ,即R当 R 2 1,2 时|A 1B1| 取得最大值 ,最大值为 1. 【命题立意】 :此题主要考查了直线与圆的方程和位置关系 ,以及直线与椭圆的位置关系 ,可以通过解方程组法讨论有没有交点问题 ,有几个交点的问题 . 48.（2022 全国卷文）（本小题满分 12 分）2 2已知椭圆 C: xa 2b y2 1 a b 0 的离心

26、率为3 3,过右焦点 F 的直线 l 与 C相交于 A、B两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 2 O 到 l 的距离为2 22（）求 a,b 的值；（） C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP OA OB 成立？如存在,求出全部的 P 的坐标与 l 的方程；如不存在,说明理由；解析： 此题考查解析几何与平面对量学问综合运用才能,第一问直接运用点到直线的距离公名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 47 页精选学习资料 - - - - - - - - - 式以及椭圆有关关系式运算,其次问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,留

27、意特别情形的处理；名师归纳总结 解（） 设Fc0,当 l 的斜率为 1 时,其方程为xyc0 ,O到 l 的距离为第 12 页,共 47 页00cc, 故c2,c122OB成立；22由ec3,得a3,ba 2c2=2a3（） C 上存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有OPOA由 （）知 C的方程为2 2x +3y =6. 设 2Ax 1,y1,Bx2,y2.x 1x2,y1y2）, 当l不垂直x 轴时,设l的方程为ykx1 C上的点P使OPOAOB成立的充要条件是P 点的坐标为（且2 x 1x 223 y 1y 226整理得2x 123y 122x 223y224x 1x26y

28、 1y26又A、B在C上,即2x 123y12,62x223y226故2x 1x23y1y230将ykx1代入2x23 y26 , 并化简得 23 k22 x6 k2x3 k260于是x 1x 226k22, x 1x2=3 k23 k6, 3 k22y 1y 2k2x 11 x22 24 k223 k代入解得,k22,此时x1x232于是y 1y 2kx 1x22 =k, 即P3,k222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因此,当k2时,P3,2,l的方程为2xy20；22当k2时,P3,2,l的方程为2xy20；成立；x 记P s t , 22（）

29、当 l 垂直于 x 轴时,由OAOB20,知, C上不存在点P 使OPOAOB综上, C上存在点P3,2使OPOAOB成立,22此时 l 的方程为2xy20.49.（ 2022广 东 卷 理 ）（本小题满分14 分）已知曲线C y2 x 与直线l:xy20交于两点A xA,yA和B x B,yB,且x A曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 （含边界）为 D 设点是 L 上的任一点,且点P 与点 A 和点 B 均不重合（1）如点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段PQ 的中点 M 的轨迹方程；（2）如曲线G:x22axy24ya2x510与 D 有公共点,试求a 的最小值y5,25解（1）联立yx2与yx2得xA,1xB2,就 AB 中点Q1,5,2212s,y52t,即s设线段 PQ 的中点 M 坐标为x ,y2x1,t222,就22又点 P 在曲线 C 上,名师归纳总结 2y52 x12化简可得y2x2x211 8,又点 P 是 L 上的任一点,第 13 页,共 47 页22且不与点 A 和点 B 重合,就1x1 2,即1x5,44中点 M 的轨迹方程为yx2x11 8（1x5）. 44-