2022年因式分解专题复习及讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决很多数学问题的有力工具因式分解方法敏捷,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是把握因式分解内容所必需的,而且对于培育同学的解题技能,进展同学的思维才能,都有着非常特殊的作用中学数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .：ma+mb+mc=ma+b+c 二、运用公式法 . 在整式的乘、除中,

2、我们学过如干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如：（ 1）a+ba -b = a 2-b 2 -a2 a b 2 = a 2 2ab+b 2 a2-b 2=a+ba -b ；2 2ab+b2=a b2；3 a+ba2-ab+b2 =a3+b 3- a3+b 3=a+ba2-ab+b2 ；4 a-ba2+ab+b 2 = a3-b3 -a3-b3=a -ba2+ab+b2 下面再补充两个常用的公式：5a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=a+b+c 2；6a 3+b 3+c 3-3abc=a+b+ca 2+b 2+c 2-ab-bc-ca ；例.已知 a, ,c

3、是 ABC 的三边,且 a 2b 2c 2ab bc ca ,就 ABC 的外形是（）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：a 2b 2c 2ab bc ca 2 a 22 b 22 c 22 ab 2 bc 2 ca2 2 2 a b b c c a 0 a b c三、分组分解法 . （一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式：am an bm bn分析：从“ 整体” 看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“ 局部” 看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考 虑两组之间的

4、联系；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原式 =aman优秀教案bn欢迎下载bm= a m n b m n 每组之间仍有公因式！= m n a b 例 2、分解因式：2 ax 10 ay 5 by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组；其次、三项为一组；解：原式 = 2 ax 10 ay 5 by bx 原式 = 2 ax bx 10 ay 5 by = 2 a x 5 y b x 5 y = x 2 a b 5 y 2 a b = x 5 y 2 a b = 2 a b x

5、 5 y 练习：分解因式 1、a 2 ab ac bc 2、xy x y 1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x2y2axay分析：如将第一、三项分为一组,其次、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能连续分解,所以只能另外分组；解：原式 =x2y2axayab=xyxya xy=xyxya例 4、分解因式：a22abb2c2解：原式 =a22abb2c2=ab 2c2=abcabc练习：分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz综合练习：（ 1）x3x2yxy2y3（2）ax2bx2bxax（3）x26xy9y216a28a1（4）a26 ab12b9 b24a（5）a

6、42a3a29（6）4a2x4a2yb2xb2y（7）x22xyxzyzy2（8）a22ab22 b2ab1（9）yy2 m1 m1 （10）acac bb2a （11）a2bcb2acc2ab2abc（12）a3b3c33abc四、十字相乘法. （一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2pqxpqxpxq进行分解；特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载摸索：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a

7、 5,且 a 为整数,如 2 x 23 x a 能用十字相乘法分解因式,求符合条件的 a .解 析 ： 凡 是 能 十 字 相 乘 的 二 次 三 项 式 ax 2+bx+c, 都 要 求b 2 4 ac 0 而且是一个完全平方数；于是 9 8a 为完全平方数,a 1例 5、分解因式：x 2 5 x 6分析：将 6 分成两个数相乘,且这两个数的和要等于 5；由于 6=2 3=-2 -3=1 6=-1 -6 ,从中可以发觉只有 2 3的分解适合,即 2+3=5 ；1 2 解：x 2 5 x 6 = x 2 2 3 x 2 3 1 3 = x 2 x 3 1 2+1 3=5 用此方法进行分解的关键

8、：将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数；例 6、分解因式：2 x2 x7x66 x1 61 -1 解：原式 =1 =x1 x6 1 -6 （-1）+（-6）= -7 练习 5、分解因式 1x214x242a215a363x2104x5练习 6、分解因式 123x2xx22y22y15x24（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax2bxc名师归纳总结 条件：（1）a2a1a2a2c 1a 1xc1a2xcb1a2c2c11第 3 页,共 36 页（2）cc 1c2ac2（3）ba 1c2a 1a2c分解结果：axbxc=2- - - - - - -精选学习资料 -

9、- - - - - - - - 例 7、分解因式：3x211优秀教案-2 欢迎下载x10分析：1 3 -5 （2）3x2y27x210（-6）+（-5）= -11 解：3x211x10=x23 x5练习 7、分解因式： （1）5x27x6（4）（3）10x217x3611y（三）二次项系数为1 的齐次多项式2 2例 8、分解因式：a 8 ab 128 b分析：将 b 看成常数,把原多项式看成关于乘法进行分解；a 的二次三项式,利用十字相名师归纳总结 1 8b b2第 4 页,共 36 页1 -16b 解：a28 a b8b+-16b= -8b 2 21 2 8 = a 8 b16 ba8b16

10、b=a8 ba16 b练习 8、分解因式 1x23xy2y22m26mn8n23a2ab6b2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、2x27xy6y2例 10、x2y23xy21 -2y 把 xy 看作一个整体1 -1 2 -3y 1-2解：原式 =-3y+-4y= -7y x 2 y 2 x 3y解：原式 =-1+-2= -3 xy 1 xy2 练习 9、分解因式： （1）15x27xy4y2（2）a2x26ax8综合练习10、（1）8x67x31（2）12x211 xy15y2（3）xy23 xy10（4）ab24a4 b3（5）x2y25x2y6x2（ 6）m24mn4 n23 m

11、6 n2（7）x24xy4y22x4y3（ 8）5 ab223a2b210a（9）4x24xy6x3yy210（ 10）12xy211x2y22 xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 摸索：分解因式：abcx2优秀教案c2欢迎下载a2b2xabc五、换元法；例 13、分解因式（ 1）2005x2200521x20051,（ 2）x1 x2x3x6 x2解：（1）设 2005= a ,就原式 =ax2a21 xa=ax1 xa=2005x1 x2005（2）型如abcde的多项式, 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘；原式 =x27x6x25x6x2

12、设x25x6A,就x27x6A2x原式 =A2xAx2=A22Axx2=Ax2=x26x62练习 13、分解因式（ 1）x2xyy224xy x2y2（2）x23x2 4x28x3 90（3）a212a25 24 a23 2例 14、分解因式（ 1）2x4x36 x 2x 2x 的降幂排列, 每一项的次数依次少观看： 此多项式的特点是关于并且系数成“ 轴对称”；这种多项式属于“ 等距离多项式”；方法：提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法；名师归纳总结 解：原式 =x22x2x611=x22 x212x21x6第 5 页,共 36 页xx2x2x设 x 1x原式 = x （2tt,

13、就x2t221106x22122t2 t2tx=2=x22 t5t2=x22x5xxx=x2x25xx1 x2=2x25x2x21x=x1 22x1 x2（2）x44x3x24x1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：原式 =x2x24x优秀教案1欢迎下载x214x1114 x=x2x2x2x设x1y,就x21y2231x23x1xx2原式 =x2y24y3=x2y1y=x2x711 x2173 =x2xx 3 xx6练习 14、（1）6x436xx（2）x42x3x212xx2六、添项、拆项、配方法；例 15、分解因式（ 1）x33x24解法 2添项

14、；4xx44 解法 1拆项；原式 =x313x23原式 =x33x24x=x1 x2x1 3 x1 x1 =xx23 x44=x1 x2x13x3=xx1 x44 x1 =x1 x24x4 =x1 x24x4 =x1 x22=x1 x22（2）x9x6x33x31 解：原式 =x91 x61 =x31 x6x31 x31 x31 x31 =x31 x6x31x311 =x1 x2x1 x62x33练习 15、分解因式（1）x39x28y4（ 2）xb14x21 2x1 4b4c412（3）x47x（4）x4x2ax1a2a4（5）x4y4x（6）2a222 a2c22b2c2七、待定系数法；名

15、师归纳总结 例 16、分解因式x2xy6y2x13y6x3yx2y,就原多项式第 6 页,共 36 页分析：原式的前x2xy2可以分为3 项6y必定可分为x3ymx2yn - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设x2xy6y2x优秀教案6=欢迎下载m x2yn13yx3yx3ymx2yn=x2xy6y2mnx3 n2mymnx2xy6y2x13y6=x2xy6y2mn xm3 n2 m ymn对比左右两边相同项的系数可得mn113,解得23n2 mn3mn6原式 =x3y2 x2y3 x2y2mx5y6能分解因式,并分例 17、（ 1）当 m 为何值时

16、,多项式解此多项式；名师归纳总结 （2）假如x3ax2bx8有两个因式为x1和x2,求ab的值；第 7 页,共 36 页（1）分析： 前两项可以分解为xyxy,故此多项式分解的形式必为xya xyb解：设x2y2mx5y6=xyaxyb就x2y2mx5y6=x2y2abxbayababma2a2比较对应的系数可得：ba5,解得：b3或b3ab6m1m1当m1时,原多项式可以分解；当m1时,原式 =xy2xy3 ；当m1时,原式 =xy2 xy3 （2）分析：x3ax2bx8是一个三次式, 所以它应当分成三个一次式相乘,x c 的一次二项式；因此第三个因式必为形如解：设x3ax2bx8=x1 x

17、2 xc就x3ax2bx8=x33cx223 cx2ca3ca7b23 c解得b14,2 c8c4ab=21练习 17、（1）分解因式x23 xy10y2x9y2（2）分解因式x23xy2y25x7y6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3） 已知：x2优秀教案3y2欢迎下载14yp能分解成两个一次因式2xy6x之积,求常数xp 并且分解因式；x5y2能分解成两个一次（4） k 为何值时,22xyky23因式的乘积,并分解此多项式；其次部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的 因式；_的形式,叫做把这个多项式分解2 分解因式：

18、m3-4m= . , 就n的 值3. 分解因式： x2-4y2= _ _. 4、分解因式：x24x4=_ _ ；5. 将n x-yn 分 解 因 式 的 结 果 为 x2+y2x+yx-y为 . 6、如x y5, xy6,就2 x y2 xy =_,22 x22 y =_；二、挑选题7、多项式153 m n22 5 m n202 3m n 的公因式是 b23A、5mn B、2 25m n C 、2 5m n D 、5mn28、以下各式从左到右的变形中,是因式分解的是 A、a3a32 a9 B、a22 babaC、a24 a5a a45 D、2 m2m3m mm10. 以下多项式能分解因式的是（

19、）Ax2-y Bx2+1 Cx2+y+y2 Dx2-4x+4 11把（ x y）2（ yx）分解因式为（）A（ xy）（ xy1） B（ yx）（ xy1）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载C（ yx）（ yx1） D（ yx）（ yx1）12以下各个分解因式中正确选项（）A10ab 2c6ac 2 2ac2ac（5b 23c）B（ ab）2（ ba）2（ ab）2（ ab1）Cx（bca） y（abc） ab c（ bca）（xy 1）D（ a2b）（3a b） 5（2ba）2（ a2b）（11

20、b2a）13. 如 k-12xy+9x2是一个完全平方式,那么k 应为（）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2 三、把以下各式分解因式： 14 、nxny 15、4m2、9n222 a bab216、m mnn nm 17a318、x242162 x 19、9mn216mn 2；五、解答题20、如图,在一块边长a=6.67cm 的正方形纸片中, 挖去一个边长b=3.33cm的正方形；求纸片剩余部分的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载21 、如图,某环保工程需要一种空心混凝土管道,它的规格是

21、内径d45 cm,外径D75 cm,长l3 m ；利用分解因式运算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？取 3.14 ,结果保留2 位有效数字 lD d22、观看以下等式的规律,并依据这种规律写出第 5 个等式；1 x21x1x11x11xx11x12 4 x1x21x3 x81x412 x1x14 16 x18 x1x41x25 _经典二：爱特训练因式分解小结学问总结归纳名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式,它和整式乘法互为逆运算,在中学代数中占

22、有重要的位置和作用,在其它学科中也有广泛应用,学习本章学问时,应留意以下几点； 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果肯定是整式乘积的形式； 3. 分解因式,必需进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式,也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式,应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的范畴,一般指在有理数范畴内分解； 7. 因式分解的一般步骤是：（1）通常采纳一“ 提”、二“ 公” 、三“ 分” 、四“ 变” 的步骤；即首先看有无公因式可提,其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施,可用分组分解法,分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利

23、用公式法连续分解；（2）如上述方法都行不通,可以尝试用配方法、换元法、 待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；下面我们一起来回忆本章所学的内容； 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的例 1. 分解因式 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1分 析 ： 这 是 一 个 六 项 式 , 很 显 然 要 先 进 行 分 组 , 此 题 可 把5 4 3 2x x x 和 x x 1 分别看成一组,此时六项式变成二项式,提取公因式后, 再进一步分解； 也可把 x 5 x 4 ,x 3x 2 ,x 1分别看成一组,此时的六项式变成三项式,提取公因式后再进行分解；名师归纳总结 解一：原式x5x4x3x

24、2x1 第 11 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x3x2优秀教案x2欢迎下载x1 x1 2. x31 x2x1 x1 100 的值肯定是非负数x1 x2x1 x2解二：原式 =x5x4x3x2x1 x4x1 x2x1 x1 x1 x4x1 x2x1 x42 x21 x1 x2x1 x2x1 通过变形达到分解的目的 3. 例 1. 分解因式 x33x243 解一：将 32 x 拆成 2x22 x ,就有原式x32x2x24 x2x2 x2x2x2 x2x2x1 x2 2解二：将常数4 拆成13 ,就有原式x313 x23 x1 x2x

25、1 x1 3xx1 x24x4 x1 x2 2在证明题中的应用例：求证：多项式x24 x210x21 分析：现阶段我们学习了两个非负数,它们是完全平方数、肯定值；此题要证明这个多项式是非负数,需要变形成完全平方数；名师归纳总结 证明： x24x210x21 100第 12 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x2x2x优秀教案7 欢迎下载3 x100 4. x2x7x2 x3 10042x25 x14x25x6 100设 yx25x,就原式y14y6100y28 y16y无论 取何值都有y4 203x24 x210x21 100的值肯定是

26、非负数因式分解中的转化思想例：分解因式： a2bc3ab3bc分析：此题如直接用公式法分解,的关系,努力查找一种代换的方法；过程很复杂, 观看 a+b,b+c 与 a+2b+c解：设 a+b=A,b+c=B,a+2b+c=A+B 原式AB3A3B3B3A3B3A32 3 A B3 AB23 A2B3 AB2c3 AB AB 3 ab bc a2 b说明：在分解因式时,敏捷运用公式,对原式进行“ 代换” 是很重要的；中考点拨名师归纳总结 例 1. 在ABC 中,三边ca,b,c满意 a216b2c26ab10bc0第 13 页,共 36 页求证： ac2 b26ab10bc0证明：a216b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a26ab9b2c2优秀教案25b2欢迎下载10bc0即a3 b2c5 b200a8 bca2bc 0abc8bca8bc,即a于是有a2bc0即ac2b说明：此题是代数、几何的综合题,难度不大,同学应把握这类题不能丢分；例 2. 已知： x12,就x311_ xx3解： x311x21xx3xxx1x1 x221 x2