2022年华师大版九年级数学上册课本教材.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 25 章 解直角三角形 . 25. 1 测量. 25. 2 锐角三角函数 . 1. 锐角三角函数 . 2用运算器求锐角三角函数值 . 25. 3 解直角三角形 . 阅读材料 . 小结. 复习题 . 课题学习 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 25 章 解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中常常遇到的问题a2b2c2名师归纳总结 tanBb第 2 页,共 39 页a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 25.

2、1 测量当你走进学校, 仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时,你或许很想知道,操场旗杆有多高？你可能会想到利用相像三角形的学问来解决这个问题图 25.1.1 如图 2511,站在操场上,请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度,再依据你的身高,便可以利用相像三角形的学问运算出旗杆的高度假如就你一个人, 又遇上阴天, 那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法,仍是利用相像三角形的学问试一试如图 2512 所示,站在离旗杆 BE 底部 10 米处的 D 点,目测旗杆的顶部,视线 AB 与水平线的夹角 BAC 为 34 ,并已知目高 AD 为 1.5 米现在如按 1500 的比例将ABC画

3、在纸上,并记为ABC ,用刻度直尺量出纸上 BC 的长度,便可以算出旗杆的实际高度你知道运算的方法吗？图 25.1.2 实际上,我们利用图 2512（1）中已知的数据就可以直接运算旗杆的高度,而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系我们已经知道直角三角形的三条边所满意的关系（即勾股定理） ,那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容练习名师归纳总结 1小明想知道学校旗杆的高度,他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面仍多1 米,当他把绳子第 3 页,共 39 页的下端拉开5 米后,发觉下端刚好接触地面,求旗杆的高度2请你与你的同学一起设计切实可行的方案,测量你们学校楼房的高度- - - - -

4、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 习题 251 1如图,为测量某建筑的高度,在离该建筑底部300 米处,目测其顶,视线与水平线的夹角为 40 ,目高 15 米试利用相像三角形的学问,米）（第 1 题）求出该建筑的高度 （精确到 012在安静的湖面上,有一枝红莲,高出水面 1 米,阵风吹来,红莲被风吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为 2 米,问这里水深多少？3如图,在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘A 处另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处,距离以直线运算,假如两只猴子所经过的距离相等,求这棵树的高度（第 3

5、 题） 25. 2 锐角三角函数1. 锐角三角函数在 251 中,我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度,其中都显现了两个相像的直角三角形,即名师归纳总结 按1的比例,就肯定有 ABC A BC 第 4 页,共 39 页500BCAC1,BC 1500AC500就是它们的相像比当然也有BCBCACAC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 我们已经知道,直角三角形ABC 可以简记为Rt ABC ,直角 C 所对的边 AB 称为斜边,用 c 表示,另两条直角边分别为A 的对边与邻边,用a、b 表示（如图252 1）图 25.2.1 前面的结论告知我们,在Rt

6、ABC 中,只要一个锐角的大小不变（如A34 ）,那么不管这个直角三角形大小如何,该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值摸索一般情形下,在Rt ABC 中,当锐角A 取其他固定值时,A 的对边与邻边的比值仍会是一个固定值吗？图 25.2.2 观看图 2522 中的 RtAB1C1、RtAB2C2和 RtAB3C3,易知RtAB 1C 1Rt _Rt _,所以B 1C 1_AC1可见,在 Rt ABC 中,对于锐角 A 的每一个确定的值,其对边与邻边的比值是唯独确定的我们同样可以发觉,对于锐角 A 的每一个确定的值,其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯独确定的因此这几个比值都是锐角

7、A 的函数,记作 sinA、cosA、tanA 、cotA,即A 的对边 A 的邻边sinA,cosA,斜边 斜边A 的对边 A 的邻边tanA,cotAA 的邻边 A 的对边分别叫做锐角A 的 正弦、余弦、正切、余切,统称为锐角A 的三角函数 明显,锐角三角函数值都是正实数,并且0sinA 1,0cosA1名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 依据三角函数的定义,我们仍可得出sin2Acos2A1,tanAcotA 1图 25.2.3 例 1 解sinAcosAtanAcotA 求出图 252 3 所示的 Rt AB

8、C 中 A 的四个三角函数值ABBC2AC228917,BC8,AB AC17 15,AB17BC8,AC15AC15BC8探究依据三角函数的定义,sin30 是一个常数用刻度尺量出你所用的含 30 角的三角尺中,30 角所对的直角边与斜边的长,与同伴沟通,看看常数 sin30 是多少通过运算,我们可以得出图 25.2.4 名师归纳总结 sin30 对边1,第 6 页,共 39 页斜边2即斜边等于对边的2 倍因此我们可以得到：在直角三角形中,假如一个锐角等于30 ,那么它所对的直角边等于斜边的一半- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 摸索上述结论仍可通过规

9、律推理得到如图2524,Rt ABC 中, C90 , A 30 ,作 BCD 60 ,点 D 位于斜边 AB 上,简洁证明BCD 是正三角形,DAC 是等腰三角形,从而得出上述结论做一做在 Rt ABC 中, C90 ,借助于你常用的两块三角尺,或直接通过运算,依据锐角三角函数定义,分别求出以下A 的四个三角函数值：（1）A 30 ；（2）A60 ；（3）A 45 为了便于记忆,我们把 30 、 45 、 60 角的三角函数值列表如下： sin cos tan cot30124511 1 602练习1如图,在 Rt MNP 中, N90 P 的对边是 _, P 的邻边是 _；M 的对边是 _

10、, M 的邻边是 _第 1 题 （第 2 题）2求出如下列图的 Rt DEC（ E90 ）中 D 的四个三角函数值3设 Rt ABC 中, C90 , A、 B、 C 的对边分别为 a、b、c,依据以下所给条件求 B 的四个三角函数值：（1）a3,b4；（2）a5,c 134求值：2cos60 2sin30 4tan45 2用运算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用运算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角名师归纳总结 （1）求已知锐角的三角函数值第 7 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 求 sin63 5241

11、的值（精确到00001）解先用如下方法将角度单位状态设定为“ 度”：D SHIFT MODE SETUP 3 显示再按以下次序依次按键：sin 63 o”52 o”41 ”o”= 显示结果为0897859012D ）,按以下次序依次按键：所以 sin63 5241 08979例 3 求 cot70 45 的值（精确到00001）解在角度单位状态为“ 度” 的情形下（屏幕显示1 tan 70 o”45 o= 显示结果为03492156334所以 cot70 45 03492（2）由锐角三角函数值求锐角例 4 已知 tanx 07410,求锐角 x（精确到 1 ）解在角度单位状态为“ 度” 的情形

12、下（屏幕显示7 D ）,按以下次序依次按键：SHIFT tan tan1 0 4 1 0 = 显示结果为36 53844577再按键：名师归纳总结 SHIFT o3”184.第 8 页,共 39 页显示结果为362- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 x 36 32 例 5 已知 cotx 01950,求锐角 x（精确到 1 ）4 的方法就可以求出锐角x依据tanx1x,可以求出tanx 的值,然后依据例分析cot的值练习1使用运算器求以下三角函数值（精确到 00001） （精确到1 ）sin24 , cos51 4220 , tan70 21 ,

13、cot70 2已知以下锐角 的各三角函数值,使用运算器求锐角（1）sin 02476；（2）cos 04174；（3）tan 01890；（4）cot 13773习题 252 1在 Rt ABC 中, C90 ,已知 AC 21,AB 29,分别求 A、 B 的四个三角函数值2在 Rt ABC 中, C90 , BCAC 34,求 A 的四个三角函数值3求以下各式的值（1）sin30 sin 2 451 tan 260 ；3（2） 4 sin 30 tan 60 cot 30 4 cos 60 4用运算器求下式的值 （精确到 0 0001）sin81 3217 cos38 4347 5已知 c

14、otA 31748,利用运算器求锐角 A（精确到 1 ） 25. 3 解直角三角形我们已经把握了直角三角形边角之间的各种关系,题的有效工具这些都是解决与直角三角形有关的实际问例 1 如图 2531 所示, 一棵大树在一次剧烈的地震中于离地面 10 米处折断倒下,树顶落在离树根 24 米处大树在折断之前高多少？图 25.3.1 名师归纳总结 解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为第 9 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10224226,26 1036（米）所以,大树在折断之前高为 36 米在例 1 中,我们仍可以利用直角三角形的边角

15、之间的关系求出另外两个锐角像这样, 在直角三角形中,由已知元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形图 25.3.2 例 2 如图 2532,东西两炮台 A、B 相距 2000 米,同时发觉入侵敌舰 C,炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东 40 的方向,炮台 B 测得敌舰 C 在它的正南方,试求敌舰与两炮台的距离（精确到 1 米）解 在 Rt ABC 中,CAB 90 DAC 50 ,BC tanCAB ,ABBCAB tanCAB 2000 tan50 2384（米）AB cos50 ,AC1 ACAB20003111（米）cos 50cos 50答：敌舰与 A 、B 两炮台的距离分别约为3

16、111 米和 2384 米在解直角三角形的过程中,常会遇到近似运算,本书除特殊说明外,角度精确到解直角三角形,只有下面两种情形：（1）已知两条边；（2）已知一条边和一个锐角练习1在电线杆离地面8 米高的地方向地面拉一条长10 米的缆绳, 问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2海船以 326 海里 /时的速度向正北方向航行,在 A 处看灯塔 Q 在海船的北偏东 30处,半小时后航行到 B 处,发觉此时灯塔 Q 与海船的距离最短, 求灯塔 Q 到 B 处的距离（ 画出图形后运算,精确到 01 海里）读一读名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 39 页精选学习资料 - -

17、 - - - - - - - 图 25.3.3 如图 2533,在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角例 3 如图 2534,为了测量电线杆的高度 AB ,在离电线杆 227 米的 D 处,用高 120米的测角仪 CD 测得电线杆顶端 B 的仰角 22 ,求电线杆 AB 的高（精确到 01 米）图 25.3.4 解 在 Rt ACE 中,AECE tanDB tan 227 tan22 917,AB BEAE AE CD 917120 104（米）答：电线杆的高度约为104 米练习1如图,某飞机于空中A 处探测到目标C,此时飞行高度AC12

18、00 米,从飞机上看地面掌握点 B 的俯角 16 31 ,求飞机A 到掌握点 B 的距离（精确到 1 米）名师归纳总结 2（第 1 题）（第 2 题）第 11 页,共 39 页两座建筑 AB 与 CD ,其地面距离AC 为 504 米,从 AB 的顶点 B 测得 CD 的顶部 D- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的仰角 25 ,测得其底部C 的俯角 50 ,求两座建筑物AB 与 CD 的高（精确到01 米）读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度如图 2535,坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比）

19、,记作 i,即ihl图 25.3.5 坡度通常写成1m 的形式,如i1642 米,上底的宽是1251 米,坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作 ,有ihtan l明显,坡度越大,坡角 就越大,坡面就越陡例 4 如图 2536,一段路基的横断面是梯形,高为路基的坡面与地面的倾角分别是图 25.3.6 32 和 28 求路基下底的宽 （精确到 01 米）解作 DE AB ,CFAB ,垂足分别为E、F由题意可知DECF42（米）,CDEF1251（米）在 Rt ADE 中,iDE 4 . 2tan32 ,AE AEAE.4 2672（米）tan 32在 Rt BCF 中,同理可得BF.4 2790（米

20、）tan 28AB AE EF BF 6721251790271（米）名师归纳总结 答：路基下底的宽约为271 米第 12 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ,坝顶宽 62 米,坝高 235 米,斜坡AB 的坡度 1i 1 3,斜坡 CD 的坡度 2i 125求：（1）斜坡 AB 与坝底 AD 的长度；（精确到 01 米）（2）斜坡 CD 的坡角 （精确到 1 ）习题 253 1在 Rt ABC 中, C90 ,由以下条件解直角三角形：（1）已知 a6 15,b6 5,求 c; （2）已知 a 20

21、,c20 2,求 B；（3）已知 c 30,A60 ,求 a；（4）已知 b 15,A30 ,求 a2 一个公共房屋门前的台阶共高出地面 12 米台阶被拆除后, 换成供轮椅行走的斜坡根据这个城市的规定,轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过 平距离该是多少？（精确到 01 米）9 从斜坡的起点至楼门的最短的水3两幢大楼相距110 米,从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26 ,假如甲楼高35 米,那么乙楼的高为多少米？（精确到1 米）（第 3 题）（第 4 题）4一艘船向东航行,上午 8 时到达 B 处,看到有一灯塔在它的北偏东 59 ,距离为 72海里的 A 处；上午 10 时到达 C 处,看到灯塔在它的正北

22、方向求这艘船航行的速度（精确到 1 海里 /时）阅读材料葭生池中今有方池一丈,葭生其中心,名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐问：水深、葭长各几何？（采自杨辉详解九章算法,1261 年）这是我国数学进展史上闻名的“ 葭生池中” 问题它的解法可以由下图获得中世纪,印度闻名数学家婆什迦罗（池中” 相像的“ 荷花问题”平平湖水清可鉴,荷花半尺出水面忽来一阵狂风急,吹倒荷花水中偃湖面之上不复见,入秋渔翁始发觉残花离根二尺远,试问水深尺如干这类问题仍有很多很多Bhaskara,11141185？）

23、在其著作中提出了与“ 葭生你看,关于勾股定理应用的丰富好玩的数学问题处处可见,你仍能找到一些其他的问题吗？小结一、 学问结构两个锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半应用直角三角形30 角所对的直角边等于斜边的一半解直角三角形勾股定理名师归纳总结 边角关系：锐角三角函数第 14 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、概括1懂得并把握直角三角形中边角之间的关系；2能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题复习题A 组1某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图）,如棚宽 a4m,高 b 3m,长 d35m,求掩盖在顶上的塑料薄膜的面积

24、（第 1 题）（第 2 题）2如图,正方形ACDE 的面积为 252 cm ,测量出 AB 12cm,BC13cm,问 E、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？3已知直角三角形两条直角边分别为6、8,求斜边上中线的长4求以下各式的值（1）2cos30 cot60 2tan45 ；（2）sin245cos260；sin230cos230tan260（3）cot2605求以下各直角三角形中字母的值（第 5 题）名师归纳总结 6小明放一个线长为125 米的风筝,他的风筝线与水平地面构成39 角他的风筝有多第 15 页,共 39 页高？（精确到1 米）- - - - - - -精选学习资料 - -

25、- - - - - - - 7在 Rt ABC 中, C90 ,A 60 , A 的平分线 AM 的长为 15cm,求直角边 AC 和斜边 AB 的长（精确到 0.1cm）8已知在 Rt ABC 中, C90 ,直角边AC 是直角边 BC 的 2 倍,求 B 的四个三角函数值9如图,在所示的直角坐标系中,P 是第一象限的点,其坐标是（3,y）,且 OP 与 x 轴的正半轴的夹角 的正切值是4 ,求：3（1）y 的值；（2）角 的正弦值（第 9 题）（第 10 题）10如图,飞机 A 在目标 B 的正上方 1000 米处,飞行员测得地面目标 C 的俯角为 30 ,求地面目标 B、之间的距离 （结

26、果保留根号）11如图,一个古代棺木被探明位于点 A 地下 24 米处由于点 A 地面下有煤气管道,考古人员不能垂直向下挖掘,他们被答应从距点A 8 米的点 B 挖掘考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1 ,距离精确到01 米）（第 11 题）（第 12 题）B 组12如图,一段河坝的断面为梯形ABCD ,试依据图中数据, 求出坡角 和坝底宽 AD （iCEED,单位米,结果保留根号）13如图,两建筑物的水平距离BC 为 24 米,从点 A 测得点 D 的俯角 30 ,测得点C 的俯角 60 ,求 AB 和 CD 两座建筑物的高 （

27、结果保留根号）名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - （第 13 题）C 组14如图,为了测得电视塔的高度 AB ,在 D 处用高 12 米的测角仪 CD ,测得电视塔的顶端 A 的仰角为 42 ,再向电视塔方向前进 120 米,又测得电视塔的顶端 A 的仰角为61 ,求这个电视塔的高度 AB （精确到 1 米）（第 14 题）15如图,为了求河的宽度,在河对岸岸边任意取一点A,再在河这边沿河边取两点B、C,使得 ABC 60 , ACB 45 ,量得 BC 长为 30 米（1）求河的宽度（即求ABC 中 BC 边上的

28、高）；（精确到1 米）（2）请再设计两种测量河的宽度的方案（第 15 题）（第 16 题）16折竹抵地（源自九章算术）：今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺问折者高几何？名师归纳总结 意即：一根竹子,原高一丈,虫伤有病,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离第 17 页,共 39 页原长竹子处3 尺远问原处仍有多高的竹子？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 课题学习高度的测量我们已经学会了一些测量方法,现在请你观看一下学校中较高的物体,如教学楼、 旗杆、大树等等 .如何测量它们的高度呢？选定某一个物体,先与你的小伙伴一起争论,确定如下的问题：1可以用什么

29、测量方法？与其他的小组比较一下,看谁的效2每一种方法要用到哪些工具？3应测量得到哪些有关的数据？4如何运算最终的结果？写出你们的方案,再实际做一做,看看最终的结果如何果较好第 26 章 随机大事的概率 . 26.1 概率的猜测 . 1什么是概率 . 2在复杂情形以下举全部机会均等的结果 . 6阅读材料 . 26.2 模拟试验 . 10 1. 用替代物做模拟试验 . 10 2用运算器做模拟试验 . 28 小结. 复习题 . 课题学习 . 附表随机数表 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第 26 章 随机大事的概

30、率班级联欢会上举办抽奖活动：每个同学的名字都写在小纸条上投入抽奖箱,其中男生 22名,女生 20名老师闭上眼睛从搅匀的小纸条中抽出一张,恰好抽中男同 学的概率大,仍是抽中女同学的概率大？名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 39 页精选学习资料 - - - - - - - - - 26.1 概率的猜测1什么是概率我们已经知道,抛掷一枚一般的硬币仅有两个可能的结果：“ 显现正面” 和“ 显现反面”这两个结果发生的可能性相等,所以各占 的可能性的大小50%的机会 50%这个数表示大事“ 显现正面” 发生表示一个大事发生的可能性大小的这个数,叫做该大事的 概率（probabili

31、ty ）例如,抛掷一枚硬币,“ 显现反面” 的概率为 1 ,可记为 P（显现反面）1 2 2再例如,投掷一枚一般的六面体骰子,“ 显现数字 1” 的概率为 1 ,可记为 P（显现数字 1）61 6这两个问题比较简洁,都可以经过分析得出概率,但有很多问题, 人们也常常实行重复试验、观看频率值的方法,这种方法我们已经比较熟识了让我们一起回忆已经做过的几个试验及其结果,并完成表 2611表 2611 做过的几个试验及其试验结果试验关注的结果频率稳固值全部机会均等的关注结果发生的抛掷一枚硬币正面0 5 左右结果概率正面；反面1抛掷两枚硬币两个正面0 25 左右两个正面；两个21反面；先正后反；4先反后

32、正名师归纳总结 投掷一枚四周体掷得“4”0 25 左右数字：“ 1” ；“2” ；1第 20 页,共 39 页骰子掷得“6”0 167 左右“ 3” ；“ 4”4投掷一枚六面体- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 骰子从一副没有大小黑桃0 25 左右王的扑克牌中随机地抽一张我们发觉, 原先这几个动手试验观看到的频率值也可以开动脑筋分析出来,当然, 最关键的有两点：（1）要清晰我们关注的是发生哪个或哪些结果；（2）要清晰全部机会均等的结果（1）、（2）两种结果个数之比就是关注的结果发生的概率,如P（掷得“6” ）1 ,读作：6掷得“6” 的概率等于1 6问题

33、 1 掷得“6” 的概率等于 1 表示什么意思？6有同学说它表示每 6 次就有 1 次掷出“ 6” ,你同意吗？请你再做投掷骰子试验,一旦掷到“ 6” ,就算完成了 1 次试验,然后数一数你投掷了几次才得到“6” 的看看能否发觉什么小明的试验结果如表 2612 所示,在他 10 次试验中,有时很迟才掷得“6” ,有时很早就掷得“6” ,平均一下的话,平均每 5 4 次掷得一个“6” 你是平均几次掷得“6” 的？表 2612 平均投掷骰子几次得到 1 次“6”试验 每次掷得的点数 投掷次数第 1 次试验 4 3 4 5 3 1 5 2 1 2 2 4 5 3 6 15 次第 2 次试验 4 6 2 次第 3 次试验 2 5 2 5