2022年名师p高中数学知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学学问点总结 1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性”A、B；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合Ax x22x30,Bx ax12n（答：1, ,01）如BA,就实数 的值构成的集合为3留意以下性质：；（ ）集合a 1,a 2, ,an的全部子集的个数是（2）如ABABA,ABB；

2、（3）德摩根定律： 4. CUABC UACUB,C UABCUAC UB5M,求实数a你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）M,如3M且如：已知关于x的不等式ax50的解集为x2a的取值范畴；（3M,a350a1,59,25）,“ 且” 和“ 非”.2 3a5M,a550352a 5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”如pq为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p为真,当且仅当p为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；名师归纳总结 7. 对映射的概

3、念明白吗？映射f ：AB,是否留意到A中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,第 1 页,共 33 页哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象； ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4x2的定义域是 的定lgx3（答：0,22,33,4）f x fx 10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fx义域是 _；（答：a,a） xt21 11. 求一个函数的解析式或一

4、个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？如：fx1exx,求f x .令tx1,就t0f t et21t21f x ex 21x21x0 12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x 1xxx0的反函数a2x0（答：f1 x1xx10）x 13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 f1f a f1 a,f f1 f a b 14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函

5、数的单调性？（yf u ,u ,就yf （外层）（内层）f x log 2 xaxa2当内、外层函数单调性相同时f 为增函数,否就f 为减函数；）如：求ylog 1x22 x的单调区间2（设ux22x,由u0就0x2且log 1u,ux121,如图：2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - u O 1 2 x 当x 0,1 时,u,又log1u,y当x1,2 时,u,又log1u,y已知f x log 2 x2,13 上是增函数,就2axa 的值域为 R,f （x）在 a 的取值是2 15. 如何利用导数判定函数的单调性

6、？在区间 a,b 内,如总有 f 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f x 0 呢？3如：已知 a 0,函数 f x x ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f x 3 x 2a 3 x ax a0 就 x a 或 x a3 3 3 3由已知 f x 在 1, 上为增函数,就 a1,即 a 3a 的最大值为 3）3 16. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如 f x f x 总成立 f x 为奇函数 函数图象关于原点对称如 f x f

7、 x 总成立 f x 为偶函数 函数图象关于 y 轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；名师归纳总结 （2）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；20a42x0,a1）第 3 页,共 33 页如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x1即a（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0201又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,1 时,f x 21,x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 求f x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x

8、1x又f x 为奇函数,f x 42x112xxf x ,就f x 为周期x42xx 10又f00,f x 4x1x0）42x1x01,x 17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xT函数, T 是一个周期；）如：如f xaf x ,就是周期函数,2ab为一个周期（答：f x 是周期函数,T2a 为f x 的一个周期）又如：如f x 图象有两条对称轴xa,xb即f axf ax,f bxf bx就f x 如： 18. 你把握常用的图象变换了吗？名师归纳总结 f x 与fx的图象关于y轴 对称第 4 页,共 33 页f x 与ff x 的图象关于x轴 对称f x

9、 与fx的图象关于 原点 对称f x 与1 的图象关于 直线yx对称f x 与f2ax的图象关于直线xa对称f x 与f2 ax 的图象关于点a,0 对称- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将yf x 图象左移a a0 个单位yf xa 右移个单位yf xa a a0 上移b b0 个单位yf xa b下移b b0 个单位yf xa b留意如下“ 翻折” 变换：f x f x x1ylog2x1的图象f x f| |如： f x log 2作出ylog2x1及y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O

10、Oa,bx x=a （ ）一次函数：yykxkb k00ybxkak0是中心Oa,b（2）反比例函数：k推广为x的双曲线；名师归纳总结 （ ）二次函数y2 axbx2c a0a xb24 acab2图象为抛物线第 5 页,共 33 页2 a4顶点坐标为b,4 acb,对称轴xb2 a4 a2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 开口方向：a0,向上,函数ymin4acab24a0,向下,ymax4 acab2x轴4应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与的

11、两个交点,也是二次不等式ax2bxc00 解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax 2bxc0 的两根都大于kbk2 af k 0y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指数函数：yaxa0,a1（ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！ ）y y=a xa1 0a1 1 O 1 x 0a1 （ ）“ 对勾函数”yxkk0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 33 页精选学

12、习资料 - - - - - - - - - y k 20. 你在基本运算上常显现错误吗？O kx 21. 指数运算：a01a0 ,apn1a0 mnama0 ,amn1ma0 annapa对数运算：logaMNlogaMlogaNM0,Nb0logaMlogaMlog1logaaN,logaMMNnx对数恒等式：alogaxnlogalogambnblogcb对数换底公式：logalogcam如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1）x R,f x 满意 f x y f x f y ,证明 f x 为奇函数；（先令 x y 0 f 0 再令 y x, ）（2）x R,f x 满意 f

13、 xy f x f y ,证明 f x 是偶函数；（先令 x y t f t t f tt f t f t f t f t f t f t ）（ ）证明单调性：f x 2 f x 2 x 1 x 2 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法 （配方法）,反函数法, 换元法, 均值定理法, 判别式法, 利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值：名师归纳总结 （ ）y2x32134x（ ）y2x42设x3cos,0,第 7 页,共 33 页x3（ ）x3,yx2（ ）yx49xx3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 23. （ ）y4 x9

14、,x0,1 R的弧长公式和扇形面积公式吗？x你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为 ,半径为（lR,S扇1lR1R2）22R 1 弧度 24. O R 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP,cosOM,tanATy B S T P 如：如80,就sin,cos,tanx O M A 的大小次序是又如：求函数y2212cos2x的定义域和值域；2,如图：（12cosx）12sinx0sin x22k5xk4kZ,0y124名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗

15、？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？sinx1,cosx1y ytgxx 2O 20,kZ对称点为k2,名师归纳总结 ysin 的增区间为2k2,2 k2kZZAcosx第 9 页,共 33 页减区间为2 k2,2 k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kycos 的增区间为2 k,2kkZZ减区间为2 k,2k2kZ图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkytan 的增区间为k2,k2kZ或 y26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）振幅|A|,周期T2| |如f x0A,就xx

16、0为对称轴；,如f x030,就x0,0为对称点,反之也对；（2）五点作图：令x依次为02, ,2,求出x与 ,依点 y2（x, y）作图象；、值）（ ）依据图象求解析式；（求A、x10名师归纳总结 27. 如图列出x22h第 10 页,共 33 页解条件组求、 值正切型函数yAtanx,T| |在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴；如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x13） 28. 263412在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？ 29. 如：函数ysinxsin| |的值域是（x0 时,y2s

17、inx2,2,x0 时,y0,y2,2）娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：（ ）点 （ , ）ah,kP （x,y）,就xx平移至yyk（ ）曲线f x,y0 沿向量ah,k平移后的方程为f xh,yk0图象？如：函数y2sin2x41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （y2sin2 x41横坐标伸长到原先的2倍y2sin2 1 2x412sinx41左平移4个单位y2sinx1上平移1个单位y2sinx4纵坐标缩短到原先的1倍ysinx）tan2 30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱

18、导公式了吗？如：1sin22 cossec2tan2tancotcossecsin2cos0 称为1 的代换；“k2” 化为的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶数； A. 31. 如： cos9tan7sin2146又如：函数ysintan,就y的值为coscot正值或负值B. 负值C. 非负值D. 正值（ysinsinsin2cos10,0）cos coscos2 cossin1sin娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？懂得公式之间的联系：名师归纳总结 sinsincoscossin令tansin22sincos第 11 页,共

19、33 页coscoscossinsin令sin2cos22 costantantan,22 cos112sin21tantan1cos 22 costan22tan21tan2sin21cos2b2sin2asinbcosa2basincos2sin4sin3cos2sin3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 应用以上公式对三角函数式化简；求值,尽可能求值； ）详细方法：（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运

20、算；名师归纳总结 32. 如：已知sincos1,tan2,求tan2的值；23第 12 页,共 33 页1cos 23（由已知得：sincoscos1,tan1又 tan2sin22sin23tan2tan1tantan121113 22）tantan832正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcosAb2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：aAbBcC2Ra2RsinA 33. b2RsinB1（舍）sinsinsinc2RsinCS1absinCABC,ABC2sinABsinC,

21、sinA2BcosC2如ABC中,2sin2A2Bcos2C1（ ）求角C；（ ）如a2b2c2,求cos2Acos2B的值；2（ ）由已知式得：1cosAB2cos2C11又ABC,2cos2CcosC10cosC1或cos C2又0C,C3sin23（2）由正弦定理及a2b21c2得：2sin2A2sin2Bsin2C241cos2A1cos2B3cos2Acos2B3）44用反三角函数表示角时要留意角的范畴；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 反正弦：arcsin x2,2,x1,1反余弦：arccosx0,x1,111反正切：arctan x2,

22、2,xR 34. 不等式的性质有哪些？（ ）ab,c0acbc（2）ab,cdacbdc0acbc（ ）ab0,cd0acbd（ ）ab011,ab0abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,| |axa 或xa如：如110,就以下结论不正确选项（）abb2A a 2b2B abb2C a .| | | | |ab|D a ba答案： C 35. 利用均值不等式：a22 b2 ab a,bR；ab2ab；aba2b2求最值时,你是否注意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：名师归纳总结 a22 ba

23、bab2aba,bR当且仅当ab时等号成立；第 13 页,共 33 页22aba2b2c2abbcca a,bR当且仅当abc时取等号；ab0,m0,n0,就bbm1anaaambnb如：如x0,23x4 x的最大值为（设 y23 x422 1224 3x当且仅当3x4,又x0,x2 3时,y max24 3）x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又如：x2 y1,就2xy 4的最小值为（2 x 2 2 y 2 2 x 2 y 2 2 1,最小值为 2 2） 36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩

24、法的应用；如：证明 1 12 1212 22 3 n（1 12 12 12 1 1 1 12 3 n 1 2 2 3 n 1 n1 1 1 1 1 1 12 2 3 n 1 n2 12）n37 . 解分式不等式 f x a a 0 的一般步骤是什么？g x （移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为 1,穿轴法解得结果； ） 38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切”,从最大根的右上方开头2 3如： x 1 x 1 x 2 0名师归纳总结 - - - - - - - 39. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分a1 或0a1 争论 40. 对含有两个肯定值的

25、不等式如何去解？（找零点, 分段争论, 去掉肯定值符号, 最终取各段的并集； ）例如：解不等式|x3 |x11（解集为x x1）241.会用不等式| | | | |ab| | | | |证明较简洁的不等问题如：设f x x2x13,实数a 满意|xa |1求证： f x f a 2 | |1 证明： | f a | |x2x13 a2a13 |xa xa1 | |xa |1 |xa xa1 | |xa1 | | | |1又| | | | |xa |1,| | | |1 f x f a 2 | |22| |1（按不等号方向放缩）第 14 页,共 33 页精选学习资料 - - - - - - -

26、- - 42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ” 问题） 43. 如：af x 恒成立af x 的最小值af x 恒成立af x 的最大值af x 能成立af x 的最小值例如：对于一切实数x,如x3x2a 恒成立,就a 的取值范畴是（设ux3x2,它表示数轴上到两定点2和 距离之和umin325,5a,即a5或者：x3x2x3x25,a5）等差数列的定义与性质定义：an1and d为常数,ana1n1d等差中项：x,A, 成等差数列2Axy前 项和Sna1annna1n n1d22性质：a n是等差数列（ ）如mnpq,就amana paq；（2）数列a2

27、n1,a2n,kanb仍为等差数列；Sn,S2nSn,S3nS 2n 仍为等差数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（4）如an,bn是等差数列Sn,Tn为前n 项和,就amS2m1；bmT2m1（ ）an为等差数列S nan2bn（ , 为常数,是关于n的常数项为0 的二次函数）名师归纳总结 Sn的最值可求二次函数Snan2bn的最值；或者求出an中的正、负分界项,即：第 15 页,共 33 页当a 10,d0,解不等式组an10可得 0S n达到最大值时的n 值；an当a 10,d0,由an10可得 0S n达到最小值时的n 值；an如：等差数列an,S n18,anan1an23,S 31,就n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （由anan1an233 an13,an11又S 3a 12a333 a 21,a21ana27）paq3Sna 1anna2an1n121n18322 44. 等比数列的定义与性质定义：ann1q（ 为常数,qq0）,ana qn1xya等比中项：x、G、 成等比数列G2xy,或Gna 1q1 前 项和：S na 11qnq1 （要留意.