2022年历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高考数学试题圆锥曲线一挑选题：2 21. 又曲线 x2 y2 1（a0,b 0）的两个焦点为 F1、F2, 如 P 为其上一点,a b且| PF1|=2| PF2|, 就双曲线离心率的取值范畴为 B A.1,3 B. 1,3 C.3,+ D. 3,2. （已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上,那么点 P 到点 Q（2,1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P的坐标为（ A ）A. （1 , 1）B. （1 ,1）C. （1,2）D. （1,2）4 43. 如下列图,“ 嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨

2、道飞向月球,在月球邻近一点 P轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行, 之后卫星在 P 点其次次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行, 最终卫星在 P 点第三次变轨名师归纳总结 进入以 F 为圆心的圆形轨道绕月飞行, 如用2c 和2c 分别表示椭轨道和的第 1 页,共 25 页焦距,用2a 和2a 分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出以下式子：a 1c 1a 2c ; a 1c 1a 2c ; c a2a c ; c 1c2. a 1a 2其中正确式子的序号是B A. B. C. D. 4. 如双曲线x2y21（a0, b0）上横坐标为3 a 的点到右焦点的距离大于它2a2

3、b2到左准线的距离,就双曲线离心率的取值范畴是 B A.1,2 B.2,+ C.1,5 D. 5,+ 5. 已知F 、F 是椭圆的两个焦点,满意MF 1MF 20的点 M 总在椭圆内部,就椭圆离心率的取值范畴是C A 0,1 B0,1 C 0,2 D 2,12226. 已知点P是抛物线y22x 上的一个动点,就点P 到点（ 0,2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A17B 3优秀学习资料欢迎下载C5D9 22名师归纳总结 7. 设a1,就双曲线2 xay21的离心率 e的取值范畴是（ B ）第

4、 2 页,共 25 页a22 1A 2 2B 2,5C 2 5D 2,58. 设椭圆 C1的离心率为 5 ,焦点在 X 轴上且长轴长为 26. 如曲线 C2上的点到椭13圆C1的两个焦点的距离的差的肯定值等于 8,就曲线C2 的标准方程为 A （A）x2y21Bx2y21Cx2y21Dx2y21422 3132522 3421321229. 双曲线x2y21（a0,b0）的左、右焦点分别是F 1,F2,过1F 作倾斜a2b2角为 30 的直线交双曲线右支于M 点,如MF 垂直于 x 轴,就双曲线的离心率为（ B ）A6B3C2D3310. 已知抛物线C:y28x 的焦点为 F ,准线与 x 轴

5、的交点为 K ,点 A 在 C 上且AK2AF ,就AFK 的面积为 B （） 4（） 8（） 16（） 3211. 设椭圆2 xy21（m0,n0）的右焦点与抛物线y28x 的焦点相同,2 mn2离心率为1 2,就此椭圆的方程为B （A）x2y21（B）x2y21（C）x2y21（D）x2y21121616124864644812. 如双曲线x2y21的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2, 就双曲线的a2b2离心率是 D （A）3 （B）5 （C）3（D）513. 如图, AB是平面 a 的斜线段, A 为斜足,如点 P 在平面 a 内运动,使得ABP的面积为定值,就动点P的轨迹是 B -

6、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）圆（B）椭圆优秀学习资料欢迎下载（D）两条平行直线（C）一条直线2 214. 已知双曲线 x2 y2 1（ a 0, b0）的一条渐近线为 y=kx k 0, 离心率a be= 5k , 就双曲线方程为 C 2 2 2 2 2 2 2 2（A）x2y2 =1 B x2 y2 1 C x2 y2 1 D x2 y2 1a 4 a a 5 a 4 b b 5 b b二填空题：2 21. 过双曲线 x y1 的右顶点为 A,右焦点为 F；过点 F 平行双曲线的一条渐9 16近线的直线与双曲线交于点B,就 AFB的面积为

7、_32 15名师归纳总结 2. 已知椭圆x2y21（ab0）的右焦点为 F, 右准线为 l , 离心率 e=5 . 5过顶第 3 页,共 25 页a22 b点 A0, b 作 AMl , 垂足为 M,就直线 FM的斜率等于 . 123. 在平面直角坐标系中, 椭圆x2y21 ab0 的焦距为 2,以 O为圆心,aa2b2为半径的圆, 过点a2,0作圆的两切线相互垂直, 就离心率 e = 2c24. 过抛物线x22py p0的焦点 F 作倾角为 30 的直线,与抛物线分别交于A 、B 两点（ A在 y 轴左侧）,就AF FB1 35. 已知抛物线yax21的焦点是坐标原点,就以抛物线与两坐标轴的

8、三个交点为顶点的三角形面积为2 6. 在ABC中, ABBC ,cosB7如以 A,B为焦点的椭圆经过点 C ,就18该椭圆的离心率 e3 87. 已知 F 是抛物线C：y24x的焦点,过 F 且斜率为1 的直线交 C 于 A,B两点设 FAFB ,就 FA 与 FB 的比值等于322- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 已知F 、F2为椭圆x2y2优秀学习资料欢迎下载A、B 两点如1的两个焦点,过F 的直线交椭圆于259F 2AF2B12,就 AB =_；8 F 12,0三解答题：1.设椭圆C:x2y21 ab0过点M2,1,且着焦点为a2b2（）

9、求椭圆 C 的方程；（）当过点P4,1的动直线 l 与椭圆 C 相交与两不同点A B 时,在线段 AB 上取点 Q ,满意 AP QBAQPB ,证明：点 Q 总在某定直线上解 1由题意：c221,解得a24,b22,所求椭圆方程为x2y2121a2b242c2a2b22方法一设点 Q、A 、B 的坐标分别为 , ,x y1,x2,y 2；,就0且1由题设知AP,PB,AQ,QB 均不为零,记APAQPBQB又 A ,P,B,Q 四点共线,从而APPB AQQB于是4x 1x ,1y 1y 211xx 1x 2,yy 1y 211从而2 x 122 x 24x,（1）2 y 12 y 22y,

10、（2）1212又点 A 、B 在椭圆 C 上,即名师归纳总结 2 x 122 y 14,32 x 222y24,4第 4 页,共 25 页2（1）+（ 2） 2 并结合（ 3）,（ 4）得 4sy4即点Q x y 总在定直线 2xy20上- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载方法二设点Q x y , ,A x y 1,B x 2,y2,由题设,PA,PB,AQ,QB 均不为零；24,且PAPBAQQB又P A Q B 四点共线,可设PAAQ PBBQ0,1,于是x 14x,y 11y（1）1 41 1x 2x,y 2y（2）11由于A

11、 x y 1,B x2,y2在椭圆 C 上,将（ 1）,（2）分别代入C 的方程x22y整理得名师归纳总结 x22y24242xy2140（3）1第 5 页,共 25 页x22y24242xy21404 4 3 得8 2 xy2 00,2xy20即点Q x y 总在定直线 2xy20上2.已知菱形 ABCD 的顶点 A,C在椭圆x23y24上,对角线 BD 所在直线的斜率为（）当直线BD 过点 0 1, 时,求直线 AC 的方程；（）当ABC60时,求菱形 ABCD 面积的最大值解：（）由题意得直线BD 的方程为yx1由于四边形 ABCD 为菱形,所以ACBD 于是可设直线AC的方程为yxn由

12、x23 y2n4,得4x26nx3n240yx由于 A,C在椭圆上,所以12n2640,解得4 3n4 333设 A,C两点坐标分别为x 1,y 1 , ,2y2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就x 1x 23n,x x23 n24优秀学习资料欢迎下载x2n 4,y 1x 1n ,y 22所以 y 1 y 2 n2所以 AC 的中点坐标为 3 n n,4 4由四边形 ABCD 为菱形可知,点 3 n n,在直线 y x 1 上,4 4所以 n 3 n 1,解得 n 24 4所以直线 AC 的方程为 y x 2,即 x y 2 0（）由于四边形 AB

13、CD为菱形,且 ABC 60,所以 AB BC CA 所以菱形 ABCD 的面积 S 3AC 2222 2 2 3 n 16由（）可得 AC x 1 x 2 y 1 y 2 ,2所以 S 3 3 n 216 4 3n 4 34 3 3所以当 n 0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3 2 23.如图、椭圆 x2 y2 1 a b 0 的一个焦点是 F（1,0）,a bO 为坐标原点 . （）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程；（）设过点F 的直线 l 交椭圆于A、B 两点 .如直线 l考查分类与绕点 F 任意转动,值有OA2OB2AB2,求 a 的取值范畴

14、 . 本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本学问,整合思想,考查运算才能和综合解题才能. 满分 12 分. 解法一： 设 M,N为短轴的两个三等分点,名师归纳总结 由于MNF为正三角形,第 6 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以OF3MN优秀学习资料欢迎下载3., 即 13 2 , 2 3解得 2a2b214,因此,椭圆方程为x2y21.y2143 设A x 1,y 1,B x2,y 2. 当直线AB与 x 轴重合时,OA2OB22 a2,AB24 a2a 21,因此,恒有OA2OB2AB2. 当直线 AB不与 x

15、轴重合时,设直线 AB的方程为：xmy1, 代入x2y21,22ab整理得a22 2b my22 2 b myb22 a b20,所以y 1y 2a22 b m,y y2b22 a b222 2b ma22 b m2由于恒有OA2OB22 AB ,所以AOB恒为钝角 . 即OA OBx y 1 x 2,y2x x 2y y 20恒成立 . x x 1 2y y 12my 11my21y y 12m21y y 1 2m y 1m2a1 b22 2a ba2 22 b m122 2b m22 2b m2 2m a b22b22 a b2a20.a2 b m2又 a 2+b 2m 20,所以 -m

16、2a 2b 2+b 2-a 2b 2+a 2 a 2 -a 2b 2+b 2 对 m R 恒成立 . 当 m R 时, a 2b 2m 2 最小值为 0,所以 a 2- a 2b 2+b 20. a 2a 2b 2- b 2, a 20,b0,所以 a0, 解得 a125或 a125, 综合（ i）ii ,a 的取值范畴为（125, +）. 解法二：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（）同解法一,（）解：（ i）当直线l 垂直于 x 轴时,a211, x=1 代入1y21,y2b2a21=1.

17、 a22 bAa2由于恒有 |OA | 2+|OB| 2|AB| 2,21+ yA21,即a解得 a125或 a125. （ii ）当直线 l 不垂直于 x 轴时,设 A（x1,y1）, B（ x2,y2）. 名师归纳总结 设直线 AB 的方程为 y=kx-1代入x2y21,第 8 页,共 25 页a2b2得b2+a 2k2x 2-2a2k2x+ a 2 k2- a2 b 2=0, 故 x1+x2=b22 a k22,x x 22 a k22 a b2.22 a kb22 a k2由于恒有 |OA |2+|OB| 2|AB| 2, 所以 x22 1+y1+ x2 2+ y2 22 x2-x1+

18、y2-y12 , 得 x1x2+ y1y20 恒成立 . x1x2+ y1y2= x1x2+k2x1-1 x2-1=1+ k 2 x1x2-k2x1+x2+ k2 =1+k22 a k22 a b2k2b22 a k22k2a22 a b22 b k22 a b2. b22 a k222 a kb22 a k2由题意得（ a 2- a 2 b 2+b 2） k 2- a 2 b 20 时,不合题意；R 恒成立 . 当 a 2- a2 b 2+b2=0 时, a=125; 当 a 2- a2 b 2+b20 时, a2- a 2a2-1+ a 2-10, 解得 a 2325或 a 2325（舍去

19、）,a125,因此 a125. 综合（ i）（ii）,a 的取值范畴为（125,+）. 4.设b0,椭圆方程为x2y21,抛物线方程为x28yb 如图4 所示,过点2 b2b2F0,b2作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为G ,已知抛物线在点G 的切线经过椭圆的右焦点1F - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（1）求满意条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 A,B分别是椭圆长轴的左、右端点,摸索究在抛物线上是否存在点P ,使得ABP为直角三角形？如存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必详细求出这些点的坐标） 【解析

20、】（1）由x28yb 得y1x 2b ,y F G 8当yb2得x4,G点 的 坐 标 为 4,b2,y1x ,y | x41,过点 G 的切线方程为yb2x4A F1B x 4O 即yxb2, 令y0得x2b ,F 点 的 坐 标 为图 4 2b, 0,由椭圆方程得F 点的坐标为 ,0,21和x28y1；2bb即b1,即椭圆和抛物线的方程分别为x2y2（ 2）过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点P ,以PAB 为直角的 Rt ABP 只有一个,同理以PBA为直角的Rt ABP只有一个；2,0 和如以APB 为直角,设 P 点坐标为 ,1x21, A 、 B 两点的坐标分别为82,0

21、,PA PBx221x22 114 x5x210；8644关于2 x 的二次方程有一大于零的解,x 有两解,即以APB 为直角的 Rt ABP 有两个,因此抛物线上存在四个点使得ABP为直角三角形；5 如图,在以点 O为圆心, |AB| 4为直径的半圆ADB 中,ODAB , P 是半圆弧上一点,POB30,曲线 C 是满意 |MA|MB| 为定值的动点M 的轨迹,且曲线C 过点 P . 名师归纳总结 （）建立适当的平面直角坐标系,求曲线C 的方程；第 9 页,共 25 页（）设过点D的直线 l 与曲线C相交于不同的两点E、F. 如 OEF 的面积不小于2 2 ,求直线 l 斜率的取值范畴.

22、（）解法1：以 O 为原点, AB、OD 所在直线分别为x 轴、 y 轴,建立平面直角坐标系,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载就 A（ -2, 0）,B（2, 0）,D0,2,P（3 1,）,依题意得MA -MB =PA-PB2321 2（23）1 222 AB 4. 曲线 C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设实平轴长为a,虚半轴长为b,半焦距为c,就 c2,2a22 , a2=2,b 2=c2-a 2=2. 曲线 C 的方程为x2y21. 22解法 2：同解法 1 建立平面直角坐标系,就依题意可得AB 4. 曲线

23、C 是以原点为中心,A、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为x2y21 a0,b0） . a2b2就由（3）11解得 a 2=b 2=2, a2b2a2b24曲线 C 的方程为x2y21.22MA-MB = PA- PB名师归纳总结 解法 1：依题意,可设直线l 的方程为 ykx+2,代入双曲线C 的方程并整理得（1-K2）第 10 页,共 25 页x2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点E、F,1k2402461k20k31k3k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k（ -优秀学习资料欢迎下载3 ,-1）（ -1,1）（ 1,

24、3 ）. 设 E（ x,y）,Fx2,y2,就由式得 x1+x2= 4 k2 , x 1 x 2 6,于是1 k 1 kEF x 1 x 2 2 y 1 x 2 2 1 k 2 x 1 x 2 221 k 2 x 1 x 2 24 x 1 x 2 1 k 2 2 2 32 k .1 k而原点 O 到直线 l 的距离 d2,21 k2 2S DEF= 12 d EF 12 1 2k 2 1 k 2 2 21 3k 2 k 2 21 3k 2 k .如 OEF 面积不小于 2 2 ,即 S OEF 2 2,就有22 2 32 k 2 2 k 4k 2 2 0 , 解得 2 k 2 . 1 k综合、

25、知,直线 l 的斜率的取值范畴为 -2 ,-11-,1 1, 2 . 解法 2：依题意,可设直线 l 的方程为 ykx+2,代入双曲线 C 的方程并整理,得（ 1-K2）x 2-4kx-6=0. 直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、F,1k 20 k 12 2 4 k 4 6 1 k 0 3 k 3.k（ -3 ,-1）（ -1, 1）（ 1,3 ）. 设 Ex1,y1,Fx2,y2,就由式得名师归纳总结 x1-x2=x 1x224x 1x21k22232k2.x2;第 11 页,共 25 页1k当 E、 F 在同一去上时（如图1 所示）,x 21 2ODx 1SOEFSODFSOD

26、E1ODx 12当 E、 F 在不同支上时（如图2 所示） . x 21 2ODx 1x 2.SOEFSODFS ODE=1ODx 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上得 S OEF1ODx 1x 2,优秀学习资料欢迎下载于是22由 OD2 及式,得 S OEF= 2 2 32 k .1 k如 OEF 面积不小于 2 2 , 即 S OEF 2 2 , 就有22 2 32 k2 2 k 4k 20 , 解得 2 k 2 . 1 k综合 、 知,直线 l 的斜率的取值范畴为 -2 ,-1（ -1,1）（ 1,2 ）. 6.如 A、B 是抛物线 y

27、2=4x 上的不同两点,弦 AB （不平行于 y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点 P,就称弦 AB 是点 P 的一条“ 相关弦”.已知当 x2 时,点 P（x,0）存在无穷多条“ 相关弦”.给定 x02. （I）证明：点 P（x0,0）的全部“ 相关弦” 的中点的横坐标相同；II 试问：点 P（ x0,0）的“ 相关弦” 的弦长中是否存在最大值？如存在,求其最大值（用 x0 表示）：如不存在,请说明理由 . 解: （I）设 AB 为点 P（x0,0）的任意一条“ 相关弦”,且点 A、B 的坐标分别是2 2（x1,y1）、（x2,y2）（x1 x2）,就 y 1=4x1, y 2=4x2, 两

28、式相减得（ y1+y2）（y1-y2）=4（ x1-x2）.由于 x1 x2,所以 y1+y 2 0. 设直线 AB 的斜率是 k,弦 AB 的中点是 M（xm, ym）,就名师归纳总结 k=y1y2y 14y22.从而 AB 的垂直平分线l 的方程为yy my mxx m.第 12 页,共 25 页x1x2ym2又点 P（x0,0）在直线 l 上,所以y my mx 0x m.x0-2. 2而ym0,于是x mx02.故点 P（x0,0）的全部“ 相关弦” 的中点的横坐标都是 由 知,弦 AB所在直线的方程是yy mk xx m,代入y24x 中,整理得2 k x22 k y mkx m2x

29、ymkx m20.（ ）就x 1、x 2是方程（ ）的两个实根,且x 1x 2ymkkx m2 .2设点 P 的“ 相关弦”AB 的弦长为 l,就l2x 1x 22y 1y 221k2x 1x22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1k2x 1x2 24x x优秀学习资料xm欢迎下载2241k2 2x x1414x2ym2xm222x 03 .2y m2 y mm42 y m4y24xm2 y m y m44y m2 x m116xmm4xm12y22xm124x 012ymm由于 02 y 3,就 2x0-30, 4x0-8,所以当 t=2x0-3,即

30、l 有最大值 2x0-1. 如 2x03,就 2x0-3 0,gt在区间（ 0,4 x0-8）上是减函数,所以 0l 23 时,点 P（x0,0）的“ 相关弦” 的弦长中存在最大值,且最大值名师归纳总结 为 2（x0-1）；当 2 x03 时,点 P（x0,0）的“ 相关弦” 的弦长中不存在最大值. x第 13 页,共 25 页7.设点P x0,y 0在直线xm ym ,0m1上,过点 P 作双曲线x2y21的两条切线 PA、PB,切点为 A 、 B,定点M1,0. m（1）求证：三点A、M、B共线；（2）过点 A作直线xy0的垂线,垂足为N ,试求AMN 的重心 G 所在曲线方程 . 证明：（1）设A x y 1,B x 2,y2,由已知得到y y20,且2 x 12 y 11,x22 y 21,2设切线 PA 的方程为：yy 1k xx 1由yy 1k x1x 1得yxmx22 yN1k2x22 k y 1kx xy 1kx 1210A从 而4k2y 1kx 12 412