2022年弹性力学与有限元分析试题及参考答案.docx

《2022年弹性力学与有限元分析试题及参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年弹性力学与有限元分析试题及参考答案.docx（94页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 弹性力学与有限元分析试卷及参考答案四、分析运算题1、试写出无体力情形下平面问题地应力重量存在地必要条件,并考虑以下平面问题地应力重量是否可能在弹性体中存在.CxDy,yxyExxyFy；（ 1）xAxBy,y（ 2）xA x2y2,yBx22,Cxy其中, A,B,C,D,E,F 为常数 .解 ： 应 力 分 量 存 在 地 必 要 条 件 是 必 须 满 足 下 列 条 件 ： （ 1 ） 在 区 域 内 地 平 衡 微 分 方 程xyx0；（ 2）在区域内地相容方程22xy0；（ 3）在边界上地应力边界xyyxy0x2y2yx条件lxymy

2、xsfxs；（ 4）对于多连体位置移单值条件.mlxysfysA=-F ,D=-E. 此外仍应满意应（ 1）此组应力重量满意相容方程.为了满意平稳微分方程,必需力边界条件 .（ 2）为了满意相容方程,其系数必需满意A+B=0 ；为了满意平稳微分方程,其系数必需满意A=B=-C/2. 上两式是冲突地,因此,此组应力重量不行能存在xy.2y3C3x2y,体力不计, Q 为常数 .2、已知应力重量xQxy2C 13 x,y3C22 xy,C2试利用平稳微分方程求系数C1,C2,C3.解：将所给应力重量代入平稳微分方程xyx0xyyxy0yx得Qy23 C1x23 C2y2C3x203 C2xy2C3

3、xy0即3 C1C3x2Q3 C2y203 C22C3xy0由 x,y 地任意性,得名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 C1C30由此解得,C1Q,C2Q 3,C3QxyQ3 C20.3 C22C 30623、已知应力重量xq,yq,0,判定该应力重量是否满意平稳微分方程和相容方程解：将已知应力重量xq,yq,xy0,代入平稳微分方程可知,已知应力重量xq,yq,xxyxX0yyyxyY0xxy0一般不满意平稳微分方程,只有体力忽视不计时才满意 .按应力求解平面应力问题地相容方程：将已知应力重量xq,2x,y02

4、yx2 12xy.y2x2xyyqxy代入上式,可知满意相容方程按应力求解平面应变问题地相容方程：2x1y2y1x122xy.y2x2xy将已知应力重量xq,yq,xy0代入上式,可知满意相容方程.4、试写出平面问题地应变重量存在地必要条件,并考虑以下平面问题地应变重量是否可能存在（ 1）xAxy,yBy3,xyCDy2；（ 2）xAy2,yBx2y,xyCxy；（ 3）x0,y0,xyCxy；其中, A,B,C,D 为常数 .解：应变重量存在地必要条件是满意形变和谐条件,即2x2y2xyy2x2xy将以上应变重量代入上面地势变和谐方程,可知：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页

5、,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）相容 .（ 2）2 A 2 By C（1 分）；这组应力重量如存在,就须满意：B=0 ,2A=C.（ 3）0=C；这组应力重量如存在,就须满意：C=0,就 x 0,y 0,xy 0（1 分） .25、证明应力函数 by 能满意相容方程,并考察在如下列图地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计,b 0）.h/2 O x h/2 l/2 l/2 y 解：将应力函数2 by 代入相容方程2x4y24404可知,所给应力函数x42y.2 by 能满意相容方程由于不计体力,对应地应力重量为x222 b,y220,xy2y0yxx对

6、于图示地矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,依据边界条件,上下左右四个边上地面力分别为：名师归纳总结 上边,yh,l0,m1,xfxyyh0,yfyyh0；第 3 页,共 49 页222下边,yh,l0,m1,xfxyyh0,fyyyh0；222左边,xl,l1,m0,fxxxl2 b,yfxyxl02222b.因此,应力函数右边,xl,l1,m0,fxxxl2b,yfxyxl0.222可见,上下两边没有面力,而左右两边分别受有向左和向右地均布面力2 by 能解决矩形板在x 方向受均布拉力（b0）和均布压力（b0）地问题 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

7、- - 6、证明应力函数 axy 能满意相容方程,并考察在如下列图地矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计,a0）.O h/2 x h/2 解：将应力函数l/2 l/2 x4y2440axy 代入相容方程y 4可知,所给应力函数x422yaxy 能满意相容方程.由于不计体力,对应地应力重量为x220,y220,xy2yayxx对于图示地矩形板和坐标系,当板内发生上述应力时,依据边界条件,上下左右四个边上地面 力分别为：上边,yh 2,l0,m1,fxxyxyyha,yfyyyh0；下边,22yh,l0,m1,fxyhh0a,fyy；222左边,xl 2,l1,m0,xfxxxl0,fyxxy

8、xla；22右边,xl,l1,m0,xfxxyl0la.,fy222可见,在左右两边分别受有向下和向上地均布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左地均布面力 a.因此,应力函数axy 能解决矩形板受均布剪力地问题.0.7、如下列图地矩形截面地长坚柱,密度为,在一边侧面上受均布剪力,试求应力重量O 解：依据结构地特点和受力情形,可以假定纵向纤维互不挤压,即设 x x.由此可知b 2g q xy20将上式对 y 积分两次,可得如下应力函数表达式名师归纳总结 y x ,yf1xyf2x 第 4 页,共 49 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 将上式代入应力

9、函数所应满意地相容方程就可得4 4d f 1 x d f 2 x y 4 4 0dx dx2.3 直角三角形固定在刚性基础上,受齐顶地水压力和自重作用,如图 2.14 所示 .如按一个单元计算,水地容重 g ,三角形平面构件容重 g ,取泊松比 v =1/6,试求顶点位移和固定面上地反力 .解：按逆时针编码,局部编码与整体编码相同：1-2-3建立坐标 xoy : 1 2 a , 0 2 ,0 3 a 3 ,0 0 （1）求形函数矩阵：a 10a 20a 36ab 13 ab 20b 33 a02 a2 ac 1c 2c 3图（ 2.14）形函数 : A12 aNi1aib ixciy2A3 a

10、3 a22所以：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - N1x2aN2yxy3aN312a3a形函数地矩阵为：NNiNjNmx0y01xy10y2 a3 a2 a3 axyx0002 a3 a2 a3 a（2） 刚度矩阵KeKK114K122K13b rb s1c rc sb rc s1c rb sK21K22K23K31K32K33Et2 112rs1Ac rb sb rc sc rc sb rb s2216名师归纳总结 t12A3E2第 6 页,共 49 页Et4135a12512- - - - - - -精选学习资

11、料 - - - - - - - - - 可得：KK113E90 154K333 E327503 72 313535K223 E5122403 E0 513 0354K0352133E9 51 15K233E53 12 4353522Ke3E90 150 51 0 0 4 1 49 52 53 1 323 721 1504 52 52 502 0 53 0 52 4 735192 153 52 311224（ 3）位移列向量和右端项由边界条件可确定：ae00u2200T水压力和构件厚分别为：名师归纳总结 p01gh第 7 页,共 49 页t- - - - - - -精选学习资料 - - - -

12、- - - - - Re00q0h0q0h0T163q0 lt001020T233自重为 W 与支座反力：ReRx 1R y1W0WR x3Ry3WT2333所以：Ke3EKReeR x1R y1Wq 0hW0R x3q 0hR y3WT由a36333eRe得到以下矩阵方程组：90 150 519 51 15R x 1R y 1 W3q 0 h004 52 52 52 50006 Wu22 0 53 0 53 1 322 4 735142R x33 q 0h9102 153 53 72 311403 W32224R y3化简得：3 E50u2q0h6 W3 035243可得：名师归纳总结 -

13、- - - - - -第 8 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - u27 q0h6 E35 W236E将u2代入下式：23 Eq 00 51u2gaR x 1R y 1 W3R x 3 q 0 h3R y 3 W302 513523 542固定面上地反力：gh3h3 a从而可得支座反力为：Rx1WWh12Ry1q0h43Rx3Wq0h122Ry32Wq034这是 y 地线性方程,但相容方程要求它有很多多地解（全柱内地 数和自由项都应当等于零,即y 值都应当满意它）,可见它地系d4f1x 0,d4f2x 0dx4dx4这两个方程要求f1x 3 AxBx2CxI,f2

14、x Dx3Ex2JxK代入应力函数表达式,并略去对应力重量无影响地一次项和常数项后,便得y 3 AxBx2Cx Dx3Ex2对应应力重量为名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2xy202以上常数可以依据边界条件确定yx2y6Ax2 B6Dx2EgyCxy2y3Ax22Bxx.左边,x0,l1,m0,沿 y 方向无面力,所以有右边,xb,l1,m0xyx0C0,沿 y 方向地面力为q,所以有xyxb32 Ab2 Bbq上边,y0,l0,m1,没有水平面力,这就要求xy在这部分边界上合成地主矢量和主矩均为零,即将bxyy

15、0dx00y在这部分边界上0xy地表达式代入,并考虑到C=0,就有b3 Ax22Bx dxAx3Bx2bAb3Bb2而00bxyy00 dx0自然满意 .又由于在这部分边界上没有垂直面力,这就要求0合成地主矢量和主矩均为零,即将y地表达式代入,就有b 0yy0dx0,b 0yy0xdx00b 0 6 Dx2E dx3 Dx22 Exb3Db22Eb0b 0 6Dx2Exdx2Dx32 Exb2 Db3Eb200由此可得名师归纳总结 Aq,Bq,C0,D0,E0y=0 处这第 10 页,共 49 页b2b应力重量为2qy13xgy, xyqxx 3b2x0, ybbb虽然上述结果并不严格满意上端

16、面处（y=0）地边界条件,但依据圣维南原理,在稍远离一结果应是适用地.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8、证明：假如体力重量虽然不是常量,但却是有势地力,即体力重量可以表示为f xV,xf yV, 其 中V 是 势 函 数 , 就 应 力 分 量 亦 可 用 应 力 函 数 表 示 为 ,x2y2V,y22y,yx2V,xyxy,试导出相应地相容方程.xy应当满意证明：在体力为有势力地情形下,按应力求解应力边界问题时,应力重量x,平稳微分方程xyxV0（1 分）xyxyxyV0yxy仍应满意相容方程22xy1fxfy（对于平面应力问题）.x2y2xy

17、22xy11fxfy（对于平面应变问题）x2y2xy并在边界上满意应力边界条件（1 分） .对于多连体,有时仍必需考虑位移单值条件第一考察平稳微分方程.将其改写为xxVyx0yyyVxy0x这是一个齐次微分方程组.为了求得通解,将其中第一个方程改写为xxVyyx依据微分方程理论,肯定存在某一函数A（x,y）,使得xVA,yxAyx同样,将其次个方程改写为名师归纳总结 可见也肯定存在某一函数yyVxyx（1 分）第 11 页,共 49 页B（x,y）,使得B x,ByVyxy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由此得因而又肯定存在某一函数x,y,使得AAB

18、xxyy,B代入以上各式,得应力重量222V,xyy2xy2V,yxxy为了使上述应力重量能同量满意相容方程,应力函数x,必需满意肯定地方程,将上述应力重量代入平面应力问题地相容方程,得222222V222V1V122V2Vx2y2yx2 xy2222222x2y2yx2x2y2x2y2简写为4 12V将上述应力重量代入平面应变问题地相容方程,得22222V222V1122V2Vx2y22 yxx2y22222212x2y2yx2x2y2Vx2y21简写为4122V,试用纯三次地应力函数求解.19、如下列图三角形悬臂梁只受重力作用,而梁地密度为O x g y 名师归纳总结 - - - - -

19、- -第 12 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：纯三次地应力函数为ax32 bxy2 cxydy3相应地应力重量表达式为x22xfx2 cx6 dy, y22yfy6ax2bygy, xy2y2 bx2 cyyxx这些应力重量是满意平稳微分方程和相容方程地 足应力边界条件 .现在来考察,假如适当挑选各个系数,是否能满上边,y0,l0,m1,没有水平面力,所以有0对上端面地任意xyy02 bxx 值都应成立,可见b0同时,该边界上没有竖直面力,所以有对上端面地任意x 值都应成立,可见yy006 ax0a因此,应力重量可以简化为斜面,yxtan,lcosx2

20、cx6 dy,ymgy,0xy2 cy,没有面力,所以有2sin,coscosyxlxmyxtanmylxyyxtan0由第一个方程,得对斜面地任意2 cx6dx tansin2 cx tancos4 cx sin6 dx tansin0x 值都应成立,这就要求4 c6 dtan0由其次个方程,得对斜面地任意2cxtansingxtancos2cx tansingxsin0x 值都应成立,这就要求2c tang0（1 分）由此解得c1gcot（ 1 分）,d1 g 3cot22从而应力重量为名师归纳总结 xgx cot2gy cot2, ygy, xygy cot第 13 页,共 49 页-

21、- - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设三角形悬臂梁地长为l,高为h,就tanh.依据力地平稳,固定端对梁地约束反力沿x 方l向地重量为0,沿 y 方向地重量为1 2glhxy.因此,所求x在这部分边界上合成地主矢应为零,应当合成为反力1glh.2gy cot2dyglhcotgh2cot202hxxldyhglcot00hxyxldyhgycotdy1gh2cot1glh0022可见,所求应力重量满意梁固定端地边界条件.10、设有楔形体如下列图,左面铅直,右面与铅直面成角,下端作为无限长,承担重力及液体压力,楔形体地密度为1,液体地密度为2,试求应力重量.O

22、 x 解：采纳半逆解法.第一应用量纲分析方法来假设应力分量地函数形式 .取坐标轴如下列图.在楔形体地任意一点,每一个应力重量都将由两部分组成：一部分由重力引起,应当与 1 g 成正比（ g 是重力加速度）；另一部分2g 1g由液体压力引起,应当与 2 g 成正比 .此外,每一部分仍y 与,x,y 有关 .由于应力地量纲是 L-1MT-2 ,1 g 和2 g 地量纲是 L-2MT-2 ,是量纲一地量,而 x 和 y 地量纲是 L ,因此,假如应力重量具有多项式地解答,那么它们地表达式只可能是A 1 gx,B 1 gy,C 2 gx,D 2 gy 四项地组合,而其中地 A ,B,C,D 是量纲一地

23、量,只与有关 .这就是说,各应力重量地表达式只可能是 x 和 y 地纯一次式 .其次,由应力函数与应力重量地关系式可知,应力函数比应力重量地长度量纲高二次,应当是x 和 y 纯三次式,因此,假设ax32 bxy2 cxydy3相应地应力重量表达式为x22xfx2 cx6dy, y22yfy6ax2 by1gy, xy2y2 bx2 cyyxx这些应力重量是满意平稳微分方程和相容方程地 足应力边界条件 .现在来考察,假如适当挑选各个系数,是否能满名师归纳总结 左面,x0,l1,m0,作用有水平面力2gy,所以有第 14 页,共 49 页对左面地任意xx06 dy2gyy 值都应成立,可见- -

24、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - d2g 6同时,该边界上没有竖直面力,所以有对左面地任意y 值都应成立,可见xyx002 cy0c因此,应力重量可以简化为斜面,xytan,lx2gy,y6ax2 bytan1 gy,xy2 bxcos,mcos2msin,没有面力,所以有0lxyxxymylxyxytan0由第一个方程,得对斜面地任意y 值都应成立,这就要求2gy cos2 by tansin02gcos2 b tansin0由其次个方程,得6 aytan2 by1gysin2 by tancos6 atansin4 b sin1g siny0对斜面地任意x

25、 值都应成立,这就要求6atan4 b1g0由此解得a11gcot12gcot3,b12 cot2632从而应力重量为x2gy, y1g cot22g cot3x2gcot21gy, xy2gx cot2位移边界条件 对称、固定边和简支边上支点地已知位移条件如下：对称轴 : 法线转角 =0 固定边 : 挠度 =0 或已知值 边线转角 =0 或已知值 法线转角 =0 或已知值 简支边 : 挠度 =0 或已知值 边线转角 =0 或已知值 运算图示四边固定方板名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方板地边长为l,厚度为t,

26、弹性模型量为E,波松比 =0.3,全板承担均布法向荷载,求薄板中地挠度和内力 . 单元划分：为了说明解题方法,采纳最简洁地网络 22,即把方板分成四个矩形单元 .由于对称性,只需计算一个单元,例如,运算图中有阴影地单元,单元地节点编号为,.l此时,单元地a, b是ab4运算节点荷载 :由前面地均布荷载运算公式得：Rql2 12ll12ll12ll1 2llT192边界条件：边界 23 和 34 为固定边,因此节点 2, 3, 4 地挠度、边线和法线转角均为零 .边界 12 和 14 为对称轴,因此 x1 =0、 y1 =0.于是,在 4 个节点和 12 个位移重量中 ,只有一个待求地未知量 w

27、 .结构地代数方程组：这是一个单元地运算题目,单元刚度矩阵在此处即为总刚度矩阵 阵中只取第一行、列元素,在方程组右端项中只保留第一个元素8D0k1w 18D0816w 1ql2D012Et320. 09158Et315 l215l216同此解出w 10. 00148ql4.其中D01内力 : 利用式 4-2-6可求得方板中点力矩为：.引入支承条件后,在总刚度矩 .于是结构地代数方程为：名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 49 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由表看出,网格越密,运算结果越接近于精确答案.仍可看出,位移地精度一般比内力地精度高,这是由于在

28、位移法中,位移是由基本方程直接求出地,而内力就是依据位移间接求出地 .第三章 平面问题有限单元法习题答案名师归纳总结 3-2 图示等腰直角三角形单元,设=1/4 ,记杨氏弹性模量E,厚度为t,求形函数矩阵N 、应变第 17 页,共 49 页矩阵 B 、应力矩阵 S 与单元刚度矩阵Ke.j0,aaia,0aixjy mxmyj,b iyjym,c ixmxj【解】：ajx myixiym,bjymyi,cjxixmaamx iyjxjyi,b my iyj,c mxjx iM0,0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a i0*00*a0 ,bia0a,c i000amaja0*aa*00 ,bj000,cja0aNm,0y*a0*0a2,b m0aa,c m0aaNNi0Nj0jD 1ENi0Ni0N0N mNi1a ib ixciy ij,m 2AA11a01a210a2210010ax0yx0a2ayaNj100xayya2aNm1a2axayaxa2ayN1x0y0axa0x0y0x110 11010 120122 11名师归纳总结 1E11 411412013 E1m100E310第 18 页,共 49 页1411