2022年小学《数学思维与方法》校本课程教材.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数学思维与方法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 目录名师归纳总结 第一讲观看才能的训练 1 第 2 页,共 38 页其次讲联想才能的训练 4 第三讲问题转化的训练（1） 7 第四讲问题转化的训练 （2） 11 第五讲开拓性思维训练实例1 14 第六讲开拓性思维训练实例2 17 第七讲开拓性思维训练实例3 21 第八讲数学思维过程 1 25 第九讲数学思维过程 2 27 第十讲解题熟识化策略 30 第十一讲解题简洁化策略 34 第十二讲解题其他策略 35 - - -

2、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第一讲 观看才能的训练 任何一道数学题, 都包含肯定的数学条件和关系；要想解决它,就必需依据题目的详细特点,对题目进行深化的、细致的、透彻 的观看,然后认真摸索,透过表面现象看其本质,这样才能确定 解题思路,找到解题方法；虽然观观看起来是一种表面现象,但它是熟识事物内部规律的 基础；所以,必需重视观看才能的训练,使同学不但能用常规方 法解题,而且能依据题目的详细特点,采纳特殊方法来解题；例1 已知a ,b ,c ,d都是实数,求证a2b2c2d2ac2bd2.思路分析从题目的外表形式观看到,要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式

3、很相像,而左端可看作是点到原点的距离公式；依据其特点,y A a,b可采纳下面奇妙而简捷的证法,这正是思维变通的表达；证明不妨设A a,b,Bc,d如图 121 所示,O 图1 2Bc ,dx 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就ABac2bd2.2 2 2 2OA a b , OB c d ,在 OAB 中,由三角形三边之间的关系知：OA OB AB 当且仅当 O 在 AB 上时,等号成立；2 2 2 2 2 2因此,a b c d a c b d .2 2 2 2例2 已知 3 x 2 y 6 x,试求 x y

4、 的最大值；2 2解 由 3 x 2 y 6 x 得y 2 3 x 23 x .22 3 2y 0 , x 3 x 0 , 0 x 2 .2又 x 2y 2x 2 3x 23 x 1 x 3 2 9,2 2 2当 x 2 时,x 2y 2有最大值,最大值为 1 2 3 2 9 4 .2 22 2 2 2思路分析 要求 x y 的最大值,由已知条件很快将 x y1 2 9变为一元二次函数 f x x 3 , 然后求极值点的 x 值,联2 2系到 y 20,这一条件, 既快又准地求出最大值； 上述解法观看到了隐藏条件,表达了思维的变通性；名师归纳总结 例3已知二次函数fx ax20.bxc0 a0

5、 ,满意关系第 4 页,共 38 页f2xf2x,试比较f5 与f的大小；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 思路分析由已知条件f2xf2x可知,在与x2左右等距离的点的函数值相等,说明该函数的图像关于直线 y x 2 对称,又由已知条件知它的开口向上,所以,可依据该函数的大致名师归纳总结 图像简捷地解出此题；O 2 x 解（如图 122）由f2xf2x,图 122 知fx是以直线x2为对称轴,开口向上的抛物线第 5 页,共 38 页它与x2距离越近的点,函数值越小；20 5.2f0 5. f- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

6、 - - - 其次讲 联想才能的训练联想是问题转化的桥梁；稍具难度的问题和基础学问的联系,都是不明显的、间接的、复杂的；因此,解题的方法怎样、速度如何,取决于能否由观看到的特点,敏捷运用有关学问,做出相应的联想,将问题打开缺口,不断深化；x y 2例如,解方程组 . xy 3这个方程指明两个数的和为 2 ,这两个数的积为 3；由此联2想到韦达定理, x 、 y 是一元二次方程 t 2 t 3 0 的两个根,x 1 x 3所以 或 .可见,联想可使问题变得简洁；y 3 y 1例2 在 ABC 中,如 C 为钝角,就 tgA tgB 的值A 等于 1 B小于 1 C 大于 1 D 不能确定思路分析

7、此题是在ABC 中确定三角函数tgAtgB的值；因此,联想到三角函数正切的两角和公式tgABtgB tgB可得tgA1tgA下面解法；名师归纳总结 A解CCC为钝B角,tgC0.在ABC中第 6 页,共 38 页BA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 且A、B 均为锐角,tgCtgABtgAtgAB tgAtgB.01tgAtgBtgA,0tgB0 ,1tgB.0 即tgAtgB1 .故应挑选（ B）例3如zx24 xyyz 0 ,证明：2yxz .思路分析此题一般是通过因式分解来证； 但是,假如留意观察已知条件的特点,不难发觉它与一元二次方程的判别式相

8、像；于是,我们联想到借助一元二次方程的学问来证题；证明当xy0时,等式zx 24 xy yz 00 1 ,可看作是关于 t 的一元二次方程xy t2zx tyz 有等根的条件, 在进一步观看这个方程, 它的两个相等实根是依据韦达定理就有：名师归纳总结 yz1即2yxzyz,明显也第 7 页,共 38 页xy如xy0,由已知条件易得zx0 ,即xb2有2yxz. c2,又 n例4已知a、b、c均为正实数 ,满意关系式a2为不小于 3的自然数,求证 :anbncn.a、b、c可构思路分析由条件a2b2c2联想到勾股定理 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

9、成直角三角形的三边,进一步联想到三角函数的定义可得如下证法；证明设a、b、c所对的角分别为 A 、 B 、C 就 C 是直角, A为锐角,于是名师归纳总结 sinAa,cosAb,且0sinA1 ,0AcosA,1第 8 页,共 38 页cc当n3时,有sinnAsin2A ,n cosA2 cos于是有sinnAn cosAsin2Acos2A1即anbn,1cc从而就有anbncn.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第三讲 问题转化的训练 数学家 G . 波利亚在怎样解题 中说过：数学解题是命题的 连续变换； 可见,解题过程是通过问题的转化才能完成

10、的；转化 是解数学题的一种非常重要的思维方法；那么怎样转化呢？概括 地讲,就是把复杂问题转化成简洁问题,把抽象问题转化成详细 问题,把未知问题转化成已知问题；在解题时,观看详细特点,联想有关问题之后,就要寻求转化关系；例如,已知111a1c,abc0 ,abc0, abcb求证 a 、 b 、 c 三数中必有两个互为相反数；恰当的转化使问题变得熟识、 简洁；要证的结论,可以转化为：abbcca 0思维变通性的对立面是思维的保守性,即思维定势； 思维定势是指一个人用同一种思维方法解决如干问题以后,往往会用同样 的思维方法解决以后的问题；它表现就是记类型、记方法、套公 式,使思维受到限制,它是提高

11、思维变通性的极大的障碍,必需 加以克服；综上所述,善于观看、善于联想、善于进行问题转化,是数学 思维变通性的详细表达；要想提高思维变通性,必需作相应的思 维训练；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 转化成简洁解决的明显题目例 11 已知abc111,1求证 a 、 b 、 c 中至少有abc一个等于 1；思路分析 结论没有用数学式子表示, 很难直接证明； 第一将结论用数学式子表示,转化成我们熟识的形式；a 、 b 、 c 中至少有一个为 1,也就是说a1、b1、c1中至少有一个为零,这样,问题就简洁解决了；a证明

12、1 11 11,1bcacababc.abc于cabc是1 babacbc1 abc 0.a1、b1、c1中至少有一个为零,即a 、b 、 c 中至少有一个为 1；思维障碍许多同学只在已知条件上下功夫,左变右变, 仍是不知如何证明三者中至少有一个为1,其缘由是不能把要证的结论“ 翻译” 成数学式子,把生疏问题变为熟识问题；因此,多练习这种名师归纳总结 “ 翻译”,是提高转化才能的一种有效手段；第 10 页,共 38 页例12直线 L 的方程为xp,其中p0；椭圆 E 的中心为2O2p,0,焦点在 X 轴上,长半轴为 2,短半轴为 1,它的一个2- - - - - - -精选学习资料 - - -

13、 - - - - - - 顶点为A p2,0,问 p 在什么范畴内取值时,椭圆上有四个不同的点,它们中的每一点到点 A的距离等于该点到直线 L 的距离；思路分析 从题目的要求及解析几何的学问可知,四个不同的点应在抛物线y22px（1）是,又从已知条件可得椭圆E 的方程为p2y21x224（2）因此,问题转化为当方程组 （1）、（2）有四个不同的实数解时,求 p 的取值范畴；将（ 2）代入（ 1）得：x27p4 xp22p0.4（3）确定 p 的范畴,实际上就是求（解不等式组：3）有两个不等正根的充要条件,名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 38 页精选学习资料 - - -

14、 - - - - - - 7p4 204 2 p2p 04p22p4在p0的条件下,得7p400p13.此题在解题过程中,不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第四讲 问题转化的训练 2 2 逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行摸索,而是从其反方向进行摸索的一种思维方式；当问题的正面考虑有阻碍时,应考虑问题的反面,从反面入手,使问题得到解决；2例 13 已知函数 f x 2 x mx n,求证 f 1、f 2 、f 3 中至少有一个不小于 1. 思路分析

15、反证法被誉为“ 数学家最精良的武器之一” ,它也是中学数学常用的解题方法；当要证结论中有“ 至少” 等字样,或以否定形式给出时,一般可考虑采纳反证法；证明（反证法）假设原命题不成立,即f1 、f2、f 3 都小于 1；就f1 112mn13mn1f 2 1182 mn192 mn7f 3 11183 mn1193 mn17得112mfn、9,、f 3 中至少有一与冲突,所以假设不成立,即1 f2 个不小于 1；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 一题多解训练由于每个同学在观看时抓住问题的特点不同、运用的学问不

16、同,因而,同一问题可能得到几种不同的解法,这就是“ 一题多解” ；通过一题多解训练,可使同学认真观看、多方联想、恰当转化,提高数学思维的变通性；例 14 已知复数 z的模为 2,求zi的最大值；y 解法一 （代数法）设zxyix、yR,就x2y24.zix2y1 252y.y,2当y2时,zimax3 .解法二 （三角法）设z2 cosisin,就zi4cos 2 （2sin1 254sin.当sin1 时,zimax.3解法三 （几何法）名师归纳总结 z2,点z 是圆x2y24上的点,zimax.3O i x zi表示z 与i所对应的点之间的距离；Z 如图 123 所示,可知当z2 时,-2

17、i 图 123 解法四 （运用模的性质）zizi213第 14 页,共 38 页而当z2 时,zi3 .zimax3 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法五 （运用模的性质）名师归纳总结 又zIi2z,izIiz zzzi1第 15 页,共 38 页z 25z2z ,Iz 表z 的虚部）2i9 ,zimax3.max- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第五讲 开拓性思维训练实例（ 1）例 1已知a22 b,1x2y21 .求证：axby1.分析 1用比较法；此题只要证1axby0 .为了同时利用两个已知条件,

18、只需要观看到两式相加等于2 便不难解决；证法 1所以分析 2 1axby 111axby21a2b2x2y2axby21a22axx2b22byy221ax2by20,2axby1.运用分析法, 从所需证明的不等式动身, 运用已知的条件、定理和性质等,得出正确的结论；从而证明原结论正确；分析法其本质就是查找命题成立的充分条件；因此,证明过程必须步步可逆,并留意书写规范；1 .0,y2.1证ly Mx 证法 2要证axby只需证1axby 即22axby,0由于a2b2,1x2O d 所以只需图 421 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 38 页精选学习资料 - - -

19、- - - - - - a22 bx2y22 axby 0 ,即ax 2 by20 .由于最终的不等式成立,且步步可逆；所以原不等式成立；分析 3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公 式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算,从而达到证 明需求证的不等式成立的方法）证法y23 axa22x2,byb22y2.axbya22x2b221.即axby1 .1 的形分析 4三角换元法： 由于已知条件为两数平方和等于式,符合三角函数同角关系中的平方关系条件,具有进行三角代 换的可能,从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函 数运算关系,给证明带来便利；名师归纳总结 证法 4a2b

20、2,1x2y2y,1可设,1第 17 页,共 38 页asin,bcos.xsin,cosaxbysinsincoscoscos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析 5 数形结合法：由于条件x2y21可看作是以原点为圆心,半径为 1 的单位圆,而axbyaxby.联系到点到直线a2b2距离公式,可得下面证法；证法 5 （如图 4-2-1 ）由于直线 l : ax by 0 经过圆 x 2 y 2 1 的圆心 O,所以圆上任意一点 M x , y 到直线 ax by 0 的距离都小于或等于圆半径 1,| ax by |即 d 2 2 | ax by |

21、 1 ax by 1 .a b简评 五种证法都是具有代表性的基本方法,也都是应当把握的重要方法； 除了证法 4、证法 5 的方法有适应条件的限制这种局限外,前三种证法都是好方法；可在详细应用过程中,依据题目的变化的需要适当进行挑选；名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第六讲 开拓性思维训练实例（ 2）例 2假如zx 24 xy yz ,0求证：x、y、z成等差数列；分析 1要证x、y、z,必需有xyyz成立才行；此条件应从已知条件中得出；故此得到直接的想法是绽开已知条件去寻找转换；证法 1zx24 xyyz 0 ,

22、z22xzx24xy4xz4y24yz,0xz222yxz2y20 ,故xz2y20,xz2y0,x、y、z成等差数列；xyyz,即分析 2由于已知条件具有xy,yz ,zx轮换对称特点,此特点的充分利用就是以换元去削减原式中的字母,从而给转换运算带来便利；证法 2设xya,yzb,就xzab .于是,已知条件可化为：名师归纳总结 ab 2y4 ab0 ab 20abxby4yz .第 19 页,共 38 页所以x、z成等差数列；2ac的结构特分析 3已知条件出现二次方程判别式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点引人注目,供应了构造一个适合上述条件的二

23、次方程的求解的摸索的机会；证法 3 当 x y 0 时,由已知条件知 z x ,0 x y z , 即x、y、z 成等差数列；当 x y 0 时 , 关 于 t 的 一 元 二 次 方 程 ：2 x y t z x t y z 0 ,2其判别式 z x 4 x y y z ,0 故方程有等根,明显 t 1为方程的一个根,从而方程的两根均为 1,由韦达定理知 t 1 t 2 y z1 x y y z . 即 x、y、zx y成等差数列；简评： 证法 1 是常用方法,略嫌呆板,但稳妥牢靠；证法 2 简单明白,是最好的解法,其换元的技巧有较大的参考价值；证法 3引入帮助方程的方法,技巧性强,给人以新

24、奇的感受和启示；例3 已知xy1,求x2y2的最小值；分析 1 虽然所求函数的结构式具有两个字母 x、y,但已知条件恰有 x、 的关系式,可用代入法消掉一个字母,从而转换为普通的二次函数求最值问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 1xy,1y1x .x2设zx2y2,就zx2 1x 22x22x.1二次项系数为20 ,故 z 有最小值；当x221时,z 最小值421（2）21.22422x 2y2的最小值为1.2分析 2已知的一次式xy1两边平方后与所求的二次式y2有亲密关联,于是所求的最小值可由等式转换

25、成不等式而求得；解法 2xy,1xy 2,1即x2y212 xy .y22xyx2y2,x2y212 xy2.即x2y21,当且仅当xy1时取等号；x222的最小值为1.2分析 3配方法是解决求最值问题的一种常用手段,利用已知条件结合所求式子,配方后得两个实数平方和的形式,从而达到求最值的目的；名师归纳总结 解法 3y设zx2y2.y2xy1x12y1211.第 21 页,共 38 页x,1zx22222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当xy1时,z 最小1.即x2y2的最小值为1.222分析 4 由于已知条件和所求函数式都具有解析几何常见方程的特点

26、,故可得到用解析法求解的启示；解法 4 如图 422,xy1表示直线,lx2y2x 表示原点到直线 l 上的点Px ,y的距离的平方；y 明显其中以原点到直线l 的距离最短；l1 此时,d|001|2,即x2y2最小2.O Px ,y2221 所以x2y2的最小值为1.图 422 2注假如设x2y2z ,就问题仍可转化为直线xy1与圆x2y2z有交点时,半径z 的最小值；简评几种解法都有特点和代表性；解法1 是基本方法,解法2、3、4 都紧紧地抓住题设条件的特点,与相关学问联系起来,所以具有敏捷简捷的优点,特殊是解法4,形象直观,值得效仿；名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,

27、共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第七讲 开拓性思维训练实例（ 3）例3 由圆x2y29外一点P 5, 12 引圆的割线交圆于A、B两点,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；分析 1（直接法）依据题设条件列出几何等式,运用解析几何基本公式转化为代数等式,从而求出曲线方程；这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质,圆心和弦中点的连线垂直于弦,可得下面解法；解法 1 如图 423,设弦 AB 的中点 M 的坐标为Mx,y,O y M A P 连接OP、OM,就OMAB,在OMP 中,由两点间的距离公式和勾股定理B x 有x2y2x5 2y12 2169 .整理,得2 xy25

28、 x12y.0其中3x3.图 42分析 2（定义法）依据题设条件,判定并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法 2由于 M 是 AB 的中点,所以OMAB,所以点 M 的轨迹是以 | OP 为直径的圆,圆心为 56, , 2半径为 | OP | 13, 该圆的方程为：2 25 2 2 13 2 x y 6 2 22 2化简,得 x y 5 x 12 y 0 . 其中 3 x 3 .分析 3（交轨法）将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；由于动点 M 可看作直线 OM

29、与割线 PM 的交点,而由于它们的垂直关系,从而获得解法；y解法 3设过 P 点的割线的斜率为k 就过 P 点的割线方程为：12kx5. OMAB且过原点,OM 的方程为y1 x k.这两条直线的交点就是M 点的轨迹；两方程相乘消去k 化简,得：x2y25 x12y.0其中3x3.分析 4（参数法）将动点坐标表示成某一中间变量（参数）的函数,再设法消去参数；由于动点M 随直线的斜率变化而发生变化,所以动点 M 的坐标是直线斜率的函数, 从而可得如下解法；名师归纳总结 解法 4 设过 P 点的割线方程为：y12kx5第 24 页,共 38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - -

30、 - - - - - 它与圆x2y29的两个交点为A、B, AB 的中点为 M . 解方程组yk x5122 xy2,9利用韦达定理和中点坐标公式,可求得M 点的轨迹方程为：x 2y 25 x 12 y 0 . 其中 3 x 3 .分析 5（代点法） 依据曲线和方程的对应关系： 点在曲线上就点的坐标满意方程；设而不求,代点运算；从整体的角度看待问题；这里由于中点 M 的坐标 x , y 与两交点 A x 1 , y 1 、B x 2 , y 2 通过中点公式联系起来, 又点 P、M、A、B 构成 4 点共线的和谐关系,依据它们的斜率相等,可求得轨迹方程；名师归纳总结 解法5设Mx ,y ,A x 1,y 1,Bx 2,y 2,.0就第 25 页,共 38 页x 1x 22x ,y 1y22y .2 x 12 y 19 ,2 x 2y29 .y 1y 1y 22两式相减,整理,得x2x 1x 2x 1y2所以y 2y 1x 1x2x,x 2x 1y 1y2yy x,12yx y,即为 AB 的斜率,而 AB 对斜率又可表示为12 55x化简并整理,得x2y25x12y0 .其中3x3.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 简评上述五