2022年微积分-经管类-第四版-吴赣昌-习题全解-第六章定积分的应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第六章定积分的应用内容概要名 主要内容称定定积分的元素法是一种简洁记忆定积分Afbfx dx三步骤的方法：yg 1d积a分1、将A ifix i记为dAfx dxbY-型的元 2 、将lim 0n写为b素i 1a法直角坐标系X- 型平面D A:f1axD A:g1c图xyf2x yxg2y 形的Abf2x 1x dxAdg2yydy面ac积名师归纳总结 极坐标系A1r2 d第 1 页,共 45 页D A:0rr2体旋转体体积已知平行截面面积的立体体积积D A:0ayxfb绕 x 轴旋转：x dx已知垂直于 x 轴已知垂直于y 轴的的平面截 立体

2、 所 得截面面积为 A x ,平面截立体所得截面 面 积 为 A y ,Vbf2x a立 体 又 被 夹 于立 体 又 被 夹 于绕 y 轴旋转：x a 和 x平面间,就：b两yc和ydVb2xfx dx两平面间,就：aVbA x dxVdA y dyD A:0cxygd绕 y 轴旋转：y dyacVdg2极坐标yc平直角坐标参数方程面L ：yfx,xa,bL ：x2 t2tL ：rr,；曲y t线dsb1y2dx；dsdsr2r2d；的t tdtsr2r2d弧s1y2dx长as2 t2t dt物理应用： 1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力- - - - - - -精选学习资料 - -

3、- - - - - - - 课后习题全解习题 6-2 1求由曲线yx与直线yx所围图形的面积；学问点 ：平面图形的面积思路 ：由于所围图形无论表达为 解 ： 见图 6-2-1 X-型仍是 Y- 型,解法都较简洁,所以选其一做即可y0 D1 yxxxy图 6-2-1 所围区域 D 表达为 X- 型：0x1,或 D 表达为 Y- 型：0y1xyxy2xySD1xx dx2x31x211203206SD1yy2dy1 60 2求在区间 0 ,/2 上,曲线ysinx与直线x0、y1所围图形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：由于所围图形无论表达为 解 ：见图 6-2-2 X-型仍是 Y- 型,解法都

4、较简洁,所以选其一做即可yDysinx1 0 /2x图 6-2-2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所围区域 D 表达为 X- 型：0xxy2,或 D 表达为 Y- 型：00y1ysinxarcsin1SD2 1sinx dxxcosx 2 0210SD1 0arcsinydy21 3求由曲线y2x与y2x4所围图形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：由于所围图形表达为Y-型时解法较简洁,所以用Y- 型做解 ：见图 6-2-3 yy2x4y2x2 D x 0 4 2图 6-2-3 两条曲线的交点：y2y2x4yx

5、22,x,所围区域 D 表达为 Y- 型：y22xy24y2SD24y2y2dy4y2y322162233由于图形关于X 轴对称,所以也可以解为：02162SD2024y2y2dy2 4y2y333 4求由曲线yx2、4yx2、及直线y1所围图形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：所围图形关于Y轴对称,而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简洁解 ：见图 6-2-4 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - yyx2 4y2 x1 D 1xD0 1 2 图 6-2-4 第一象限所围区域D 表达为 Y- 型：0y1y,

6、yx2SD2S D 1212yydy22y314Da：x2 0x12,20303假设用 X- 型做,就第一象限内所围区域D1DaDb,其中yx4D：1 2 xxy2；S D2 S D 121 0x2x2dx21x2dx4114434 5求由曲线y1与直线yx及x2所围图形的面积x学问点 ：平面图形面积思路 ：由于所围图形表达为X-型 , 解法较简洁,所以用X- 型做解 ：见图 6-2-5 yDyxx1 y1 /x0 1 2 图 6-2-5 名师归纳总结 两条曲线y1和yx的交点为 1,1、 -1 , -1 ,又这两条线和x2分别交于第 4 页,共 45 页x- - - - - - -精选学习资

7、料 - - - - - - - - - 2,1、2 ,22所围区域 D 表达为 X- 型：1 1yx2 x,yxS D2x1dx1x2lnx23ln 21x212 6抛物线y22x分圆x228的面积为两部分,求这两部分的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：所围图形关于X轴对称,而且在第一象限内的图形表达为Y-型时,解法较简洁解 ：见图 6-2-6 ,设阴影部分的面积为S D 1,剩余面积为S D 2yy22x0 0 2 D1x图 6-2-6 两条曲线y22x、x2y28的交于 2,2 舍去x4的解,t242x 轴对称,所围区域D 表达为 Y- 型：y22y82y2；又图形关于x2SD 1228y

8、2y2dy228y2y322240206033其中28y2dyy22sint422cost22costdt841cos2dt0002SD 282464331所围图形的面积 7求由曲线yex、yex与直线x学问点 ：平面图形面积名师归纳总结 思路 ：由于所围图形表达为X-型时,解法较简洁,所以用X-型做第 5 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ：见图 6-2-7 yexyye xD1 x0 1 图 6-2-7 两条曲线ye x和yex的交点为 0, 1,又这两条线和x1分别交于01 ,e 和 ,1e1所围区域 D 表达为 X- 型：e

9、0x1x,xyeS D1x eexdxx eex1ee1200 8求由曲线ylnx与直线ylna及ylnb所围图形的面积ba学问点 ：平面图形面积思路 ：由于所围图形表达为Y-型时,解法较简洁,所以用Y-型做解 ：见图 6-2-8 ylnby0 1 lnalnylnxylnabx图 6-2-8 名师归纳总结 在lnx的定义域范畴内所围区域D ：lnaylnb,1它的对称轴平行于y 轴,且第 6 页,共 45 页0xy eS Dlnbeydyeylnbbalnalna 9求通过 0,0, 1, 2的抛物线,要求它具有以下性质：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

10、 - 向下弯； 2它与 x 轴所围图形面积最小学问点 ：平面图形面积和求最值思路 ：第一依据给出的条件建立含参变量的抛物线方程,再求最值时的参变量解 ：由于抛物线的对称轴平行于 y 轴,又过 0,0,所以可设抛物线方程为 y ax 2 bx,由于下弯,所以 a 0,将 1,2代入 y ax 2 bx,得到 a b 2,因此 y ax 2 2 a x该抛物线和 X 轴的交点为 x 0 和 x a 2,a所围区域 D ：0 x aa 220 y ax 2 a xa 2S D0 aa 2 ax 2 2 a x dx a3 x 3 22 ax 20 a a6 a 22 31 2 2 3 3 1 3 2

11、SD a a 3 a 2 a 2 2 a a a 2 a 4 6 6得到唯独极值点：a 4,所求抛物线为：y 4 x 2 6 xx 10求位于曲线 y e 下方,该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积学问点 ：切线方程和平面图形面积思路 ：先求切线方程,再作出所求区域图形,然后依据图形特点,挑选积分区域表达类型解 ：yx eyex,在任一点x0x处的切线方程为ye x 0ex 0xx0而过 0,0的切线方程就为：yee x1 ,即yex所求图形区域为DD 1D 2, 见图 6-2-10 yyexD 1D2yex0 x图 6-2-10 名师归纳总结 X-型下的D ：0yxe0,

12、D2：0x1x第 7 页,共 45 页xexye- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S D0x edx1x eex dxx e1ex21eee02022 11求由曲线r2acos所围图形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：作图可知该曲线是半径为a、圆心a,0的圆在极坐标系下的表达式,可直接求得面积为a2,也可挑选极坐标求面积的方法做；解 ：作图 6-1-11 0 a2ar图 6-1-11 知所求图形区域 D ：2 r2a2 cos1sin222a20SD212 acos2 a212d22sin22a 12求三叶玫瑰线r3的面积 S学问点 ：平面图形面积思

13、路 ： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成图 6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶,10 图 6-2-12 6rasin3而一叶图形又关于6对称,D 1因此挑选其中一叶的一半区域D 求其面积/6a2r解 ：D ：00a6 cos3r11sin6SD6S D 1661acos32d3a2022604 13求由曲线r2a2cos所围图形的面积学问点 ：平面图形面积名师归纳总结 思路 ：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称,因此挑选其中一半区域D 求其面积第 8 页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 ar2a2cos3 a0 6 ar图 6-2

14、-13 解 ：D ：0r02 a 2cosS D2S D 12012 2cos3 2d4a244sin311sin6 018a223212 14求对数螺线ae及射线所围图形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：作图可知该曲线围成的图形是由ae ,从到一段曲线及射线所围,由此可确定、的范畴ae/2aeaeDraera0 图 6-2-14 解 ：所围区域 D ：02dae1e2a2e2e2SD1aea22224 15求由曲线r3cos及r1cos所围图形的面积学问点 ：平面图形面积名师归纳总结 思路 ：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成,其中一部分为两图形重叠部分D ,而 D 又关于极第 9

15、页,共 45 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 轴对称,设在 0,2内的曲线和极轴围成的半个D 为D 区域r1cos0 D/3r3cosr13/2 图 6-2-15 解 ：两条曲线r3cos、r1cos交于3处,因此分割区域D1DaDb,其中Da：0013 cos,Db：03r32 cosr231S D2S D 11 cos 2d213cos 2d0232252331sin 2 39 1 2 261sin 22sin240434 16求由曲线r2sin及r2cos2所围图形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分名师归

16、纳总结 组成,其中一部分为两图形重叠部分D ,D10 图 6-2-16 r2sin/4/6cos2r第 10 页,共 45 页而 D 又关于射线2对称,设两条曲线在 0,2围成的半个 D 为D 区域r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ：两条曲线r2sin、r2cos2交于6及56因此分割区域D11DaDb,其中2Da：0d26 sin,Db：06 r2 cos20rS D2 S D 1262sin2d21cos202621sin232 161sin622404662和书后答案不同 17求由摆线xatsint,ya 1cost0t2及 x 轴所围图

17、形的面积学问点 ：平面图形面积思路 ：在直角坐标系下作图可知所围图形的yDdtD3a22xatsintxx 、 y 变化范畴,先求出直角坐标系下积分表达式,再将积分变量代换成tya1cost解 ：所围区域 D ：0x2a,0yy x axxyyx为摆线0 S D2ay x dx,图 6-2-17 023a2作代换xatsint,就SD2a1costdatsint2a21cost2002习题 6-3 1 求以下平面图形分别绕x 轴、 y 轴旋转产生的立体体积：1 曲线yx与直线x1、x4、y0所围成的图形；y学问点 ：旋转体体积x、y范畴,y思路 ：作出平面图形 或求出该平面区域的代入相应的公式

18、；解 ：平面图形D：1x4,见图 6-3-1-1 0yx0 14 图 6-3-1-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 绕 x 轴旋转产生的立体体积：V4x2dx15；12绕 y 轴旋转产生的立体体积：V42xxdx124 和书上答案不同 D215 2 在区间0 ,2上,曲线ysinx与直线x2、y0所围成的图形；解 ：平面图形 D：00x2 sinx,见图 6-3-1-2 ,yD2ysinxy绕 x 轴旋转产生的立体体积：1 DV2sinx2dx12；0 /2x04绕 y 轴旋转产生的立体体积：图 6-3-1-

19、2 方法一 ：V22xsinx dx22xdcosx2xcosx2 0sinx2 0200方法二 ： V 可看作由D矩形0x2,0y1绕 y 轴旋转而成的体积V,减去由0y1,0xarcsiny绕 y 轴旋转而成的立体体积V 所得；V221arcsiny2dy203 曲线yx3与直线x2、y0所围成的图形；解 ：平面图形D：0x2,绕 x 轴旋转产生的立体体积：V2x32dx1280yx307绕 y 轴旋转产生的立体体积：V22xx3dx6405绕 y 轴旋转产生的立体体积犹如2也有两种运算法 2求由曲线yx2、xy2所围成的图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体体积；学问点 ：旋转体体积名师归纳

20、总结 思路 ：该平面图形绕y 轴旋转而成体积 V 可看作D ：0y1绕 y 轴旋转而成的体积V ,减去第 12 页,共 45 页0xyD2：0y1绕 y 轴旋转而成的立体体积V所得,见图6-3-2 0xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yx2y1 D 1y2xD 20 1 x图 6-3-2 解 ：VV 1V2x1y2dy1y22dy3y 轴旋转一周所产生的旋转体体积；0010 3求由曲线ysin0x与 x 轴围成的平面图形绕学问点 ：旋转体体积思路 ：作出平面图形或求出该平面区域的x 、 y 范畴,代入相应的公式解 ：平面图形D：00yxsinx,

21、绕 y 轴旋转产生的立体体积：0V02xsinx dx22绕 y 轴旋转产生的立体体积犹如1 2也有两种运算法所围成的图形绕x 轴旋转而成的立 4求由曲线yachx,x0,xa,y0aa体体积；学问点 ：旋转体体积思路 ：作出平面图形 或求出该平面区域的x、y范y围,代入相应的公式解 ：平面图形D：00yxax,见图 6-3-4 ,yachxDachaaa0 ax图 6-3-4 绕 x 轴旋转产生的立体体积：名师归纳总结 Vaa chx2dxa2tach2x 11ta2ash2xaaa32ysh2 轴旋转而第 13 页,共 45 页a0dx00a24a24 5求摆线xatsin,yacos的一

22、拱与y0所围图形绕直线2a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 成的旋转体体积；学问点 ：旋转体体积思路 ： 假 设 设 所 围 区 域 为 D , 就 该 平 面图形 绕 y 2 a 旋转 而 成 体 积 V 可 看 作 矩形 区 域 D：0 x 2绕 y 2 a 旋转而成的体积 V ,减去区域 D ：2 0 x 2绕 y 2 a 旋转而成的0 y 2 a y x y 2 a立体体积 V所得,其中,y x表示摆线的函数式,见图 6-3-5 y x a t sin t y a 1 cos t 2 aDD 20 2 a x图 6-3-5 解 ：VV 1V22

23、2 a 22a2a2 ay2dx,作代换xatsint,就0V8 a322 aacos 2ad tsin 8 a2223 a2 sint1 cos t dt008a223 a1cos2 t2dt2sin2tdsin 72a300 6求x2y2a2绕xbba0旋转而成的旋转体体积；学问点 ：旋转体体积思路 ：由图形的对称性可知所求体积V2V 1,其中V 是由2 xy2a2y0部分,绕xbb旋转而成的旋转体体积,又依据元素法,V 是由图形中的线段y 0y2 ax2绕x旋转一周所得的圆柱面叠加而成,见图6-3-6 xr线段 yb0 dxxxaa图 6-3-6 名师归纳总结 - - - - - - -

24、第 14 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解 ：V2V 12a2xb a2x2dx4baa2x2dx22a2baa 7由心形线4 1cos和射线0及2所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积；学问点 ：旋转体体积思路 ：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕 x 轴旋转解 ： 平 面 区 域 D ： 0 41 cos y02,见图 6-3-7 0 4 1cosr8 图 6-3-7 心形线 4 1 cos 的直角坐标表示：x 4 1 cos cos0 x 8,依据直角坐标下的体积运算及 x 2y 2 2,得：y 4 1 cos sin8282 28

25、2 8 3V 0 y dx 0 x dx 0 dx3x 41 cos cos 0161 cos 2d 41 cos cos 8 32 330 2 2 864 1 cos d 1 cos d 1 cos 2 30 31 4 1 3 864 1 cos 1 cos 1602 3 32 8运算底面是半径为 R 的圆,而垂直于底面上的一条固定直径的全部截面都是等边三角形的立体体积；学问点 ：已知平行截面面积的立体体积思路 ：第一以固定直径为x 轴确立圆方程：x2y2R2,再求垂直于x 轴的截面面积,然后代入公式；见图 6-3-8 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 45 页精选学

26、习资料 - - - - - - - - - zyxx图 6-3-8 yx2y20R2,ox 轴、 oy 轴旋转解 ：以固定直径为x 轴圆心为坐标原点,就圆方程为：在圆内,垂直于x 轴的截面面积A x 1232y3R2x2,22VR3R2x2dx433R32a及y所围成的图形分别绕R 9求曲线xyaa0 与直线xa,x一周所产生的旋转体体积；学问点 ：旋转体体积思路 ：作出平面图形或求出该平面区域的x、y范畴,代入相应的公式解 ：平面图形D：ax2 aa,绕 x 轴旋转产生的立体体积：V2aa2dx1a；0yax2x绕 y 轴旋转产生的立体体积：V2a2xadx2a2axA ,试求 a 、b ,

27、绕 y 轴旋转产生的立体体积犹如1 2也有两种运算法 10设直线yaxb与直线x0,x1,及y0所围成的梯形面积等于使这个梯形绕x 轴旋转所得旋转体体积最小a0,b0；学问点 ：旋转体体积,以及最值问题思路 ：作出平面图形或求出该平面区域的x、y范畴,进而求出以a,b为变量的旋转体体积,再求最小值；axb,yaxb解 ：梯形区域 D ：0x1,0y0 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 45 页精选学习资料 - - - - - - - - - V1axb2dxa2abb203名师归纳总结 由条件1bab A,Vb 4A22Ab1b2t1814tdt第 17 页,共 45 页2333Vb2bA 0,得bA,a03习题 6-4 1用定积分表示双曲线xy1上从点 1, 1到点 2, 1/2 之间的一段弧长；思路 ：曲线表达为y1或x1代入相应公式运算弧长xy解 ：y1,sb1y2dx