2022年中考数学压轴题5.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载中考数学压轴题1在 ABC 中,分别以AB、AC 为直径在ABC 外作半圆 O1和半圆 O2,其中 O1和 O2分别为两个半圆的圆心 F 是边 BC 的中点,点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点（1）如图 1,连接 O1F,O1D,DF ,O2F,O2E,EF,证明：DO 1F FO 2E；（2）如图 2,过点 A 分别作半圆O1 和半圆 O2 的切线,交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点 Q,连接 PQ,如 ACB90,DB 5,CE3,求线段 PQ 的长；（3）如图 3,过

2、点 A 作半圆 O2 的切线,交CE 的延长线于点Q,过点 Q 作直线 FA 的垂线,交BD 的延长线于点 P,连接 PA求证： PA 是半圆 O1 的切线D A D P A Q P A Q D B O1 O2 C E B O1 O2 E B O1 F O2 E F F C C 图 1 图 2 图 3 （1）证明： O1,O2, F 分别是 AB,AC,BC 边的中点O1F AC 且 O1FAO2,O2F AB 且 O2FAO1D O1 A E BO1FBAC, CO2FBACO2 BO1FCO2F点 D 和点 E 分别为两个半圆圆弧的中点O1F AO2 O2E, O2FAO1O1D, BO1

3、D90, CO 2E90B F C BO1D CO2E, DO 1FFO 2E DO 1F FO2E（2）解：延长CA 至 G,使 AGAQ,连接 BG、AED P O1 G E Q 点 E 是半圆 O2 圆弧的中点,AECE3 AC 为半圆 O2 的直径, AEC 90 ACECAE45,AC32 A AQ 是半圆 O2 的切线, CAAQ, CAQ90 AQEACE 45, GAQ 90, AQACAG3 2 同理： BAP=90 ,AB=AP5 2 O2 CG62, GAB QAP AQP AGB, PQBG ACB90, BCAB2AC2 4 2 B F C BGBC2GC2 2 26

4、, PQ2 26 （3）设直线 FA 与 PQ 的垂足为 M,过 C 作 CGMF 于 G,过 B 作 BHMF 于 H,连接 DH 、AD、DM F 是 BC 边的中点, S ABF S ACF , BHCG 由（ 2）知, CAQ90,AC AQ, 2390FM PQ, 2190, 1 3 同理： 2 4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 39 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载P 1Q AMQ CGA, AMCG

5、, AM BH 同（ 2）可证 AD BD, ADB ADP90 ADBAHB90, ADP AMP 90M A、D、B、H 四点在以 AB 为直径的圆上A、D、P、M 四点在以 AP 为直径的圆上D 79862且 DBH DAH 18053E A 58, 67 O1 O2 DAM DAH 180, DBH DAM DBH DAM , 59 G 4A、B 重合）,OD HDM 90, 5790B F C 6890, PAB90, PA ABH 又 AB 是半圆 O1 的直径, PA 是半圆 O1 的切线2如图,在半径为2 的扇形 AOB 中, AOB90,点 C 是 AB上的一个动点（不与点B

6、C,OE AC,垂足分别为D、E（1）当 BC1 时,求线段OD 的长；（2）在 DOE 中是否存在长度保持不变的边？假如存在,请指出并求其长度；假如不存在,请说明理由；（3）设 BDx, DOE 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域B D C E O B A D F C A 第 2 页,共 39 页 解：（1） OD BC, BD1 2 BC1 2在 Rt BOD 中, OD OB2BD2152（2）存在,长度保持不变的边为DE；连接 ABOAOB2, AOB90, ABOA2OB2 2 2 OD BC,OEAC, D 是 BC 中点, E 是 AC 中点O DE1

7、 2 AB2 E （3）连接 OC,过 D 作 DFOE 于 FOD 2,BDx,OD 4x2OAOBOC,ODBC,OEAC, 12, 3 4B AOB90, DOE 45在 Rt DOF 中, DF OF4x2O D C A 2在 Rt DFE 中, EFDE2DF224x 222 2 x E y1 2 OE DF1 24x22 2 x4x222即 y4x2x4x2（ 0x 2）4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优

8、秀教案 欢迎下载3如图,已知在ABC 中, AB15,AC20,cotA2,P 是边 AB 上的一个动点,P 的半径为定长当点 P 与点 B 重合时, P 恰好与边 AC 相切；当点 P 与点 B 不重合,且 P 与边 AC 相交于点 M 和点 N 时,设 APx,MN y（1）求 P 的半径；A M N B C （2）求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域；（3）当 AP65时,试比较 CPN 与 A 的大小,并说明理由P 解：（ 1）过 B 作 BDAC 于 D P 与边 AC 相切, BD 是 P 的半径,cotA2, sinA5 C 5 D N H 又 sinABD AB,A

9、B 15, BD 3 5 M （2）过 P 作 PHMN 于 HA B 就 PH5 x,PM BD3 5 5 P MH PM 2PH 2451 5 x 2y2MH 2 451 5 x 2,即 y 2 5 11255x 2（3 5x 15）（3）当 AP6 5时, CPNA理由如下：当 AP6 5 时, PH6,MH 3, AH12,AM9 AC20,MN6,CN5 AM MP3 953 5, PN CN35,5AM MPPNCN又 PMPN, PMN PNM AMPPNC , AMP PNC CPNA4如图,在直角梯形 ABCD 中, AD BC, ADC90, B60,AB10, AD4,

10、M 与 BAD 的两边相切,点 N 在射线 AB 上, N 与 M 是等圆,且两圆外切（1）设 ANx, M 的半径为 y,求 y 关于 x 的函数关系式；（2）当 x 为何值时, M 与 CD 相切？（3）直线 CD 被 M 所截得的弦与直线 的 x 的值；假如不能,请说明理由BC 被 N 所截得的弦的长是否可能相等？假如能,求出符合要求A D MN B C 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 39 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

11、优秀教案 欢迎下载解：（1）连接 AM、MN,设 M 与 AB 相切于点 E,连接 ME N 与 M 是等圆,且两圆外切在 Rt MNE 中, MN 2ME, ANM 30N A MMD AD BC, B60, BAD120E M 与 BAD 的两边相切C NAM60, AMN 90在 Rt AMN 中 AM 1 2 AN1 2 xB ME AMsin60 3 4 x 即y3 4 x（x 0）N A F D （2）设 M 分别与 AD 、CD 相切于点 F、G,连接 MA 、MF 、MG就 MF FDMG yG 且 AFMF cot60 3 3y34 x 1 4 x3AD4,AFFD AD,1

12、 4 x3 4 x4 C B x831（3）作 NHBC 于点 H如直线 CD 被 M 所截得的弦与直线BC 被 N 所截得的弦的长相等,就弦心距MGNHA MF D 当点 N 在线段 AB 上时AB10, BN10xFD MGNH BNsin60 3 2 10xN G AF1 4 x,AFFD AD,1 4 x3 2 10x 4 B C x10412 113A F D H 当点 N 在 AB 延长线上时就 FDMGNH BNsin60 2 x10 3 M G H C 14 x2 x 10 4 3N B x10412 311当 x10412 11 3或 x1041211 3时,直线 CD 被

13、M 所截得的弦与直线 BC 被 N 所截得的弦的长相等；5已知：半圆 O 的半径 OA 4,P 是 OA 延长线上一点,过线段 OP 的中点 B 作 OP 的垂线交半圆 O 于点C,射线 PC 交半圆 O 于点 D,连接 OD（1）当 AC CD 时,求弦 CD 的长；（2）设 PAx,CDy,求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范畴；（3）设 CD 的中点为 E,射线 BE 与射线 OD 交于点 F,当 DF 1 时,求 tanP 的值D C P A B O 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 39 页 - -

14、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A O 优秀教案欢迎下载A O 备用图P A C E D 备用图解：（1）连接 OC ,当 AC CD时, POC DOCBC 垂直平分 OP,PCOC4 P POCDOC DOC DPO ,DO DP CDB O 即4 4CDCD,解得 CD 252 4（2）作 OECD 于 E,就 CE DE1 2y当点 C 在 AD 上时 PBCPEO 90, PP PBC PEO,PB PEPC,即x44 x4, y1 4 x22x4 2PO4y 2明显, B 不与 A 重合, x 4 当

15、 D 与 C 重合时, PC 是半圆 O 的切线PCOC, PCO90 , 此时 PCO 是等腰直角三角形OP2OC,即 x44 2,x4 24 P E C O D 不与 C 重合,x 4 24 4 24x4 y1 4 x当点 C 在 AD 外时,22x4（424x4）同理,PBC PEO,PB PE PCx4即2x4, y 1 4 x22x4（ 0x4 24）B D 4y 2A （3）当点 C 在 AD上时,过 D 作 DG OP 交 BF 于 G就 DEG PEB, DEF OBFDE PE DG PB DG OB DF OF1 41P A F D O 第 5 页,共 39 页 G E C

16、 yDE PE 1 5,即21 5,解得 y 21 4y 2B 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载15 5CE1,PE5,OE4 21 215 ,tanPOE PE当点 C 在 AD 外时,过 D 作 DG OP 交 BE 于 G就 DEG PEB, DFG BFODE PEDG PBDG OBDF OF1E C 41D F G yDE PE1 3,即21 3,解得y 21 P A B O 4y 2CE1

17、,PE3,OE421215, tanPOE PE151, B 交边 BC 于点 P,点 O 是边 AB36在 Rt ABC 中, C 90,AC6,sinB3 5, B 的半径长为上的动点（1）如图 1,将 B 绕点 P 旋转 180得到 M,请判定 M 与直线 AB 的位置关系；（2）在（ 1）的条件下,当OMP 是等腰三角形时,求OA 的长；（3）如图 2,点 N 是边 BC 上的动点, 假如以 NB 为半径的 N 和以 OA 为半径的 O 外切, 设 NB y,OAx,求 y 关于 x 的函数关系式及定义域C A C C 图 2 N B P O A B 图 1 解：（1）在 Rt ABC

18、 中, C90,AC6,sinB3 5AB10,BCAB2AC2 10262 8 过点 M 作 MD AB 于 D在 Rt MDB 中, MDB 90, sinBMD MB 3A C M P B D MB 2, MD 3 5 26 51 , M 与直线 AB 相离（2） MD 6 5 1MP, OM MP如 OPMP ,易得 MOB90cosBOB BM BC AB 8 10,OB8 5A C M P 第 6 页,共 39 页 O B OA108 542 5如 OM OP,过 O 作 OEBC 于 EA M E P cosBEB OBBC AB8 10, OB158O B 细心整理归纳 精选学

19、习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -OA1015 865 8优秀教案欢迎下载当OMP 是等腰三角形时,OA 的长为42 5或 65（3）连接 ON,过 N 作 NFAB 于 F在 Rt NFB 中, NFB90,sinB3 5, NByA C N B NF3 5y,BF 4 5y, OF10x 4 5y N 和 O 外切, ONxy在 Rt NFB 中, ON2OF2NF2O F xy2 10x 4 5y2 3 5y2y25050x x40（

20、0 x5）7如图, O 的半径为 6,线段 AB 与 O 相交于点 C、D,AC4, BODA,OB 与 O 相交于点 E,设 OAx,CD y（1）求 BD 的长；（2）求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域；（3）当 CEOD 时,求 AO 的长O E A C D B 解：（1） OCOD, OCD ODC , OCA ODB BODA, OBD AOC,BD OCOD ACA C O D E B OCOD6,AC4,BD 66 4, BD 9 （2） OBD AOC, AOCB又 A A,ACO AOB,AB AOAOACABAC CDBDy13,y13 xx4y1 4 x213

21、0y8, 01 4 x21312,解得 213x 10 定义域为213x 10 （3） OCOE,CEOD CODBOD A AOD180oAODC 180oCOD OCDADOADAO, y4x,1 4 x 2134xx2 2 10（舍去负值）AO2 2 10 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 39 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载9如图,扇形 OMN 的半径为 1,圆心角 90,点 B 是MN 上一动点, BA

22、OM 于点 A, BCON 于点 C,点 D、E、 F、G 分别是线段 OA、AB、BC、CO 的中点, GF 与 CE 相交于点 P,DE 与 AG 相交于点 Q（1）求证：四边形 EPGQ 是平行四边形；（2）探究 OA 的长为何值时,四边形 EPGQ 是矩形；（3）试说明 3PQ 2OA 2 是定值N N C F B P G Q E O D A M O M 备用图（1）证明： AOC90,BAOM, BCON四边形 OABC 是矩形, AB OC, ABOCE、G 分别是 AB、CO 的中点 N AE GC,AEGC四边形 AECG 为平行四边形,CE AGF Q B M 连接 OBC

23、P E 点 D、E、F、 G 分别是线段OA、AB、BC、CO 的中点G GF OB,DE OB, PG EQ四边形 EPGQ 是平行四边形O D B A （2）当 CED 90时, EPGQ 是矩形,此时AED CEB90又 DAEEBC 90, AEDBCE AED BCE,AD BE AEN C F 设 OAx,ABy,就xy22x2G P E M 22 x,得 yQ y2A D 又 OA2AB2OB2,即 x2y2 12, x22x21,解得 x3O 3当 OA 的长为3 3时,四边形EPGQ 是矩形N （3）连接 GE 交 PQ 于点 O,就 OPOQ,OGOE过 P 作 OC 的平

24、行线分别交BC、GE 于点 B、 A2OA 362C BF Q B M 第 8 页,共 39 页 由 PCF PEG 得,PG PF PE PC GE FC2 P AOE G PA2 3 AB1 3 AB,GA1 3 GE1 3 OAO D A AO1 2 GEGA1 6 OA在 Rt PAO 中, PO 2 PA2AO2,即 PQ 42AB9又 AB2OA212, 3PQ2AB2 1 3, 3PQ2OA2AB2 1 3OA2 1 1 34 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料

25、- - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载10如图, AE 切 O 于点 E,AT 交 O 于点 M 、N,线段 OE 交 AT 于点 C,OBAT 于点 B,已知 EAT30,AE3 3,MN 2 22（1）求 COB 的度数；（2）求 O 的半径 R；（3）点 F 在 O 上（ FME是劣弧）,且 EF5,将 OBC 经过平移、旋转和相像变换后,使它的两个顶点O 上分别与点 E、F 重合在EF 的同一侧,这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在的三角形吗？请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与A E M OBC 的周长之比F C B N T

26、 O 解：（1） AE 切 O 于点 E, OEAEOBAT 于点 B, AECOBC90又 ACEOCB, ACE OCB , COB EAT30（2）在 Rt AEC 中, CEAE tan30 3 A E BN OCB ACE60设 BCx,就 OB 3x,OC2xM CF C B 连接 ON,得 3x222 2 2x32解得 x 1 或 x 13（舍去）, x1 O R2x35 （3）这样的三角形有3 个,画直径FG,连接 GEG OT EFOEOF5, EFG 60 BCO GEF 即为所要画出的三角形三种图形变换都不转变图形的外形,即变换前后的两个三角形相像变换前后两个三角形的周长

27、之比等于它们的相像比又两个直角三角形斜边长 FG 2R 10,OC 2 , GEF 与 OBC 的周长之比为 5 : 1 11定义： P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点,线段 PQ 长度的最小值叫做线段a与线段b的距离已知 O（0, 0）,A（4,0）,B（ m, n）,C（m4,n）是平面直角坐标系中四点（1）依据上述定义,当 m2,n2 时,如图 1,线段 BC 与线段 OA 的距离是 _；当 m 5,n2 时,如图 2,线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段AB 长）为 _（2）如图 3,如点 B 落在圆心为A,半径为 2 的圆上,线段BC 与线段 OA 的距离记为d,求

28、d 关于 m 的函数解析式（3）当 m 的值变化时,动线段BC 与线段 OA 的距离始终为2,线段 BC 的中点为 M求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长；点 D 的坐标为（ 0,2）,m 0, n0作 MHx 轴,垂足为 H,是否存在 m 的值使以 A,M,H为顶点的三角形与AOD 相像,如存在,求出 m 的值,如不存在,请说明理由y y y B C B C B C O A x O A x O A x （图 1）（图 2）（图 3）细心整理归纳 精选学习资料 第 9 页,共 39 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

29、- 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -y M C 优秀教案欢迎下载y O A x O A x （备用图 1）（备用图 2）解：（1）2 （2）当 4m6 时,明显线段BC 与线段 OA 的距离等于 A 半径,即 d2 M 随线段 BC 运动所围成d当 2m4 时,作 BNx 轴于点 N,线段 BC 与线段 OA 的距离等于 2 2 4m 2 m 28m12 y BN 长B C O N A x B C d 关于 m 的函数解析式为：dm28m12 （2m 4）2（4m6）（3）由题意可知,由线段PE,EFG,线段 GK ,KNP 所围成的封闭图

30、形就是点的y P B M C E N O A F x K G 点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为：2 22 2 4164M 0E 和 EFM2 E M3 x m 0, n0,点 M 随线段 BC 运动所形成图形的是线段易知AOD 是两直角边为1 : 2 的直角三角形M0 M1 C 如 AMH 与 AOD 相像,就MH HA1 2或MH HA2 y B DO 当 2 m24 时,明显 M 1H 1H1A,M 1H 1 H1A2 H1 A H2 R x H3 F M 1H12, H 1A1, OH 13 m1321 当 4 m26 即 M 2 在线段 CE 上时,同理可求 m252

31、3 当 6 m28 即 M 3 在线段 EF上时, AH32 M 3H3,M3H3 H3A1 2设 M 3H3x,就 AH3 2x, AH 32x2 又 RH32, 2x22x222, x1 8 5,x20（不合题意,舍去） 第 10 页,共 39 页 - - - - - - - - - OH 342x36 5, m3 36 5226 5细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载综上可知,存在 m 的值使以 A,M, H 为顶点的三角形与AOD 相

32、像,相应 m 的值为 1,3,26 512已知矩形 ABCD 中, AB 2,AD5,点 E 是 AD 边上一动点,连接 BE、CE,以 BE 为直径作 O,交BC 于点 F,过点 F 作 FHCE 于 H,直线 FH 交 O 于点 G（1）当直线 FH 与 O 相切时,求 AE 的长；（2）当 FH BE 时,求 FG 的长；（3）在点 E 运动过程中,OFG 能否成为等腰直角三角形？假如能,求出此时AE 的长；假如不能,说明理由A O E H D B F C 解：（1）连接 OF、EF, BE 是 O 的直径, BFE90又 A ABF90,四边形 ABFE 为矩形AEBF, DECFFH

33、 与 O 相切, OFFH A O E H D FH CE, OF CE BOOE, BFCFB F C AEDE1 2 AD5 2（2）作 OM FG 于 M,连接 OFFH BE, BEC FHC90易证ABE DEC,AE DC AB,即AE 22 5AE,解得 AE1 或 4 D 当 AE1 时, BF1,DE CF4 A E H BE5,CE25, OF52O G 由 CFH CBE,得 CH 8 5 5OF2OMM C B F OM EHCECH25 5, FM 2 3 10,5FG2FM 355当 AE4 时, BF4,DE CF1 BE25,CE5, OG5 OG2OM2 35

34、5A G O M E D 由 CFH CBE,得 CH 5 5OM EHCECH45 5, FM B F H C FG2FM 6 5 5（3）连接 EF,设 AEx,就 EF AB2,BFAEx,CF DE5x如 OFG 是等腰直角三角形,就FOG 90 第 11 页,共 39 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀教案 欢迎下载当点 G 在点 F 上方时连接 BG、 EG,设 BG、EF 交于点 K,作 GM EF 于 M就 FBGFEG45A E H D BFK 和 EGK 都是等腰直角三角形M O C G KF BF x,EK2x,GMKM 1 2 EK 1 1 2 xK B F FM x11 2 x1 1 2 x GFM ECF90FEC ,Rt GMF Rt EFC,GM FM EF11 2 x5x,