2022年九年级数学创造性学习潜能开发第一讲一元二次方程3.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载九年级（上）数学制造性学习潜能开发班第一讲：一元二次方程（一）【思维体验 】一、一元二次方程的概念【例 1】（1）（D）（2）由题意：a22,a4,a4,当 a=4 时, a-4=0（舍去）,当 a=-4 时,方程8x22x40符合题意,a4二、一元二次方程的解【例 2】已知 m、n 是二次方程x2+2022x+7=0 的两个根；求 m2+2022m+6n2+2022n+8 的值【解答】m 是 x2+2022x+7=0 的根,m22022m70m22022m6m1,同理：n22022n8n1原式 =-m-1n+1= - mn+

2、m+n+1由根与系数的关系得：mn=7,m+n= -2022, 所求代数式 = -7-2022+1=200 1 【例 3】 已知方程 x 2-mx+m+5=0 有两实根 , ；方程 x 2-8m+1x+15m+7=0 有两实根 , 求 2 的值（北京市竞赛题）【解答】方程 x 2-mx+m+5=0 和方程 x 2-8m+1x+15m+7=0 都有根 2 2m m 5 01 8 m 1 15 m 7 021 -2 -m+8m+1 -14m-2=0 7m+1 -2=0 m= 1或 =-2 7当 m= 1时,两方程相同,不合题意舍去；7 =2 代入1,4-2m+m+5=0 m=9 此时,两方程 x

3、2 9 x 14 0,x 273 x 142 0由根与系数关系： =14, =142, 2 = =14 142=1988 三、一元二次方程根的判别式及应用【例 4】【解答】（可以直接想,也可以从反面入手）假设三个方程都没有实根就 1-4m0 且 4-4m-10 且 4+4m-22 且 m , 2 24493217173 令A232,B238517）2403AB2AB23 442 A40385172A40385174488- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【例 8】【一试身手 】【基础训练】1 a 为何值时,关于 x 的方程 x 2-a

4、x3x-a=x+1 是关于 x 的一元二次方程【解答】 易求：a 132 已知 a 是方程 x 2-2022x+1=0 的一个根,求 a 2-2007a+ 20222 的值a 1【解答】a 是方程 x 2-2022x+1=0 的根 , a 2-2022a+1=0 a 2+1=2022a a 2-2007a=a-1 22022 1 a 1 2022 a原式 = a 1 a 1 1 1 20072022 a a a a（其中一种变形,可让同学探多种变形方式）3正比例函数 y=a+1x 的图象经过其次、四象限, 如 a 同时满意方程 x 2+1-2ax+a 2=0,就此方程根的情形是（）A 有两个不

5、相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C没有实数根（ D）不能确定（20XX 年中考试题）【解答】：易选（ A）x14+x 24 的值2424944设 x 1 ,x2 是方程 x2-2x-11=0 的两个根,求【解答】：由根与系数关系：x 1x22,x 1x2112 x 1x2x 1x222x 1x24222673624 x 1x4x2x222x2x226221121212【提高训练】名师归纳总结 1已知 x=3 -1,求322x2x4x的值（期望杯邀请赛试题）x22x2第 3 页,共 30 页x21【解答】：x31x13x22x13322x2x4x3x2x2x2x341x2122121a,b

6、 同号并同时为负数2已知 a ,b ,c 满意 a+b+c=0,abc=8, 且 c0,求证： c23 4【解答】：abc=8 a,b,c 不等于 0 c0,a+b+c=0,abc=8 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a+b=-c ab=8就 a,b为方程z2cz学习必备欢迎下载8 c0两根,ca,b 为实数,c2320c0 c332c3322340且c3设 a, b, c 为互不相等的非零实数,求证：三个方程ax2+2bx+c=0, bx2+2cx+a=0, cx2+2ax+b=0, 不行能都有两个相等的实数根（山东省竞赛题）【 解 答 】： 假

7、设 同 时 都 有 两 个 相 等 的 实 根 ,4 b24ac0且4 c24ab04a24 bc0三个式子相加得：a2b2c2acabbcab2ac2bc20a=b=c 这与 a,b,c 互不相等冲突,三个方程不行能都有两个相等的实数根；4假如方程（ x-1）x 2-2x+m=0 的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么,实数m 的取值范畴是（）（全国中学数学竞赛试题）（ A） 0m1 B m 3C 3 m1 D 3 m 1 4 4 42 2【解答】：x 1 x 2 x m 0 1x 1 或 x 2 x m 0 由题意三根课作为一个三角形三边长,不妨设另两边为 x ,x 3 有根 4 4 m

8、 0 x + x =2 4 4 m 0x 2 x =m0 x 2 x 3 21 3x m 满意条件 m 0 即 3m 144 4 m 1选（ C）5设实数 s、t 分别满意 19s 2+99s+1=0, t 2+99t+19=0 并且 st 1,求 st 4 s 1 的值t友情提示；如先求出 s、t 再代入求值,运算太繁；认真观看两个方程的系数特点,恰当变形,使两个方程具有相同的结构,这是解本例的关键；名师归纳总结 【解答】：t2+99t+19=0 t=0 时,左边 =19右边,t0 s, 1 是 方 程 t第 4 页,共 30 页两 边 同 时 除 以t2,1919911019s 2+99s

9、+1=0 t2t19x2+99x+1=0de 两 根 且st1 , 即s1s+1=99s1=1tt19t19st4s1s14s19945ttt1919；【成就测试 】1D; 2 C3 2 或134如关于 x 的方程 x2-2k x-1=0 有两个不相等的实数根,就k 的取值范畴是【解答】：kk00k044- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载p q；p、q 是方5 已知方程1： x 2 px+2q=0 和方程 2： x 2 qx+2p=0 有公共根,且程 3：4x2+mx+n=0 的两个实数根（ 1）求方程 1 和方程 2 的公共根；（ 2

10、）假如 m、n 都是正整数,求全部满意题意的正整数对 m,n【略解】（1）方程 1 和方程 2 相减,得 p qx+2=0, p q, x= 2；20 分（2）将 x= 2 代入方程 1,得 p+q= 2,又 p、q 是方程 3 的两相异实数根,所以p+q= m/4, 所以 m=8 30 分又方程 3 有两个相异实数根,所以 m 2 16n0,解得 n1, b1 且 a b. 公共根是 a= b 2或 b= a 2. b 1 a 1两个等式去分母后的结果是一样的 . 即 aba=b+2, ab ab+1=3, a1b1=3. a11 a13 a,b 都是正整数,；或 . b 1 3 b 1 1

11、a2 a 4解得；或 . b 4 b 2又解：设公共根为 x 0 那么2 2 2 a 1 x 0 a 2 x a 2 a 0先消去二次项：（b 1 x 0 2 b 22 x b 22 b 0 （ b1） （ a1）得（ a 2+2） b1+b 2+2a1x 0+a 2+2ab1 b 2+2ba1=0. 整理得（ab）ab ab2x 01=0. a bx01；或 ab ab20. 当 x 0 1 时,由方程得 a=1,a1=0,方程不是二次方程 .x 0 不是公共根 . 当abab20 时,得a1b1=3 解法同上 . 5如直角三角形的两条直角边都是整数,且是方程 mx 2-2x-m+1=0 的

12、根（ m 为整数）,这样的三角形是否存在？如存在,求出满意条件的全部三角形的三边长；如不存在；请说明名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载理由；（湖北省黄冈市竞赛题）解：m04mm1144 mm144m24 m当m1,4此时方程x22x0x 12,x20 舍去当m0方程2x10x1 不合题意舍去2当m1 且m0 时假如是完全平方数就mm11k2mm1k1k1m 是整数mm1是连续自然数的积但k1k1不是连续自然数的积不存在【成就测试 】1 解方程x2-3 x +2=0 解：当x0210x23xx 1

13、x2 ,x20当02x23xx 1,2x 212.解：x2ax4 或x2ax4根有三个互不相同的实数其中一方程有两等根名师归纳总结 a4第 11 页,共 30 页3证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根,那么10 和20. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14 b0学习必备欢迎下载即 a 24 c 0a b c 1由得 b 1 ,b+1 5 代入,得4 4ac=b+1 5 ,4c4a5 4： a 2 4a+50,即（ a2）2+10,这是不能成立的 . 既然10 和20 不能成立的,那么必有一个是大于 0. 方程 x 2+x+b=0 与

14、x 2+ax+c=0 中,至少有一个方程有两个不相等的实数根 . 此题也可用直接证法：当120 时,就1和2中至少有一个是正数 . 4.已知实数 a、b 满意 a 2+ab+b 2=1,且 t=ab-a 2-b 2,求 t 的取值范畴（全国数学联赛）解：+ t+1=2ab abtt1ab1t213002ab21ab213ab13 t23解得t133t1 3第三讲：证题方法及应用（一）问题解答【思维体验】例 1 略例 2BDDE于 D,CEDE于 E, BDA=AEC=90 , DAB+ABD=90 ,在 Rt BDA 和 Rt AEC 中, BDA=AEC=90 , AB=AC,AD=CE,R

15、t BDARt AEC, DBA= CAE, DAB+CAE=DAB+DBA =90 , BAC=90 ,ABAC名师归纳总结 例 2BAECEBAC第 12 页,共 30 页DD解答一图- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【解答一】在 DC 上截取 DE=DB,连接 AEADBC,DC =AB+BD,DE =DBEC=AB, ADB=ADE=90 就 AD=AD, ADB=ADE=90, DB=DE ADB ADE AB=AE, ABD =AED 又 AB=ECAE=EC CAE=C, AED=CAE+C=2C又 BAC=120 C=

16、20【解答二】延长 DB 到 E,使得 BE=AB,连接 AE,就 E=EAB, ABD =2EADBC,DC =AB+BD,BE=ABED=DB+EB=DB+AB=DC , ADC=ADE=90 就 AD=AD, ADE=ADC =90 ,DE=DC ADE ADC AE=AC, E=C ABD=2E ABD=2C在 ABC 中, BAC=120 , ABD=2C就 C=20【举一反三】 1【证明一】（依据 BD 平分 ABC 应用角平分线性质构造全等）如图：过点 D 作 DEAB 于点 EDF BC 于点 F,在 BC 上截取 BG=BD,连结 DGAB=AC, BAC=100 ,BD 平

17、分 ABC 交 AC 于点 D,BG=BD ABC=ACB=40 ABD=CBD=20 , BDG=BGD=80 BAEDCDAE=80 G F BGD=DAEBD 平分 ABC 交 AC 于点 D过点 D 作 DEAB 于点 E,DF BC 于点 FDE=DF, AED=GFD =90 在 AED 和 GFD 中,证明一图 BGD=DAE, AED=GFD =90 ,DE =DF AED GFD AD=GD AD在 CGD 中, ACB=40 , BGD=80 就 GDC=40 =ACB,就 DG =GC又 AD=GD 名师归纳总结 AD= GCB证明二图EFC第 13 页,共 30 页又

18、BD=BGBC=BG+CG=BD+AD【证明二】（通过对折变换以及截长补短构造全等）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在 BC 上截取 BF=BD,连结 DF在 BC 上截取 BE=AB,连结 DEAB=AC, BAC=100 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BD=BF ABC=ACB=40 , ABD= CBD=20 BDF =BFD=80 , FDC=BFD ACB=80 40=40 =ACBFD=FC在 BAD 和 EAD 中,AB=EB, ABD =CBD =20 ,BD=BD BAD EAD BED=BAC=100

19、,DA=DE DEF =80 又 BFD=80 DEF =BFD DE=DF又 DA=DE,FD=FCBC=BF+FC=BD+CF=BD+DF =BD+DE=BD+AD【证明三】（“截长补短 ”构造全等）BAFC延长 BD 到 F,使得 BF=BC,连结 CFD在 BC 上截取 BE=BA,连结 DE,AB=AC, BAC=100 EBD 平分 ABC 交 AC 于点 D,BD=BF ABC=ACB=40 , ABD= CBD=20 证明三图 ADB=60 在 BAD 和 EAD 中,AB=EB, ABD =CBD =20BD=BD BAD BED AD=ED, ADB=ADE=60 CDE=

20、CDF =60 CBD=20 , BF=BC BFC=BCF=80 又 ACB=40 DCF=40 =ACB在 FCD 和 ECD 中, CDE=CDF ,CD=CD, ACB=DCF FCD ECD DF=DE又 AD=EDAD=DFBC=BF=BD+DF =BD+DE=BD+AD【证明四】（通过构造含有 30角的直角三角形）延长 BD 到 F,使得 DF =DA连接 AF,过点 B 作 BNAF 于点 N,作 AM BC 于点 M,名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载AB=AC, BAC=100 ,BD 平分 ABC 交 AC 于点 D, ABC=ACB=40 , ABD= CBD=20 ADB=60 DF=DABNAFC DAF =DFA=30 又 BNAFDBN=1BF M2AB=AC, BAC=100 AMBC 于点 M,BNAF 证明四图 BAM=CAM=50 BMA =90 =BNA, MB=MC 又 DAF=30 , BAC=100 BAN=50 =BAM 在 BNA 和 BMA 中, BNA=BMA, BAN=BAM ,AB=AB BNA BMA BN=BMMB=MC ,BN= 1 BF 2BD+AD=BD+DF =BF=