2022年勾股定理全章知识点总结大全.docx

《2022年勾股定理全章知识点总结大全.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年勾股定理全章知识点总结大全.docx（51页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点勾股定理全章学问点总结大全一基础学问点：1：勾股定理直角三角形两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方；（即：a 2+b 2c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,要应用：是直角三角形的重要性质之一,其主b（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC 中,C90,就ca2b2,2 c2 a ,ac2b2）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理假如三角形的三边长：a、b、c,就有关系a2+b 2c 2,那么这个三角形是直角

2、三角形；要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“ 数转化为形” 来确定三角形的可能外形,在运用这肯定理时应留意：（1）第一确定最大边,不妨设最长边长为：c；（2）验证 c 2与 a 2+b 2是否具有相等关系,如 c 2a 2+b 2,就 ABC是以C 为直角的直角三角形（如 c 2a 2+b 2,就 ABC是以C 为钝角的钝角三角形；如c2a 2+b 2,就 ABC为锐角三角形）；（定理中 a , b , c 及a2c2b22 c 只是一种表现形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长 a , b , c 满意a22 b ,那么以 a , b , c

3、为三边的三角形是直角三角形,但是 b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关；4：互逆命题的概念 假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做 互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题；5：勾股定理的证明 勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

4、图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变 依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下：方法一： 4 SS 正方形EFGHS 正方形 ABCD,41abba2 2 c ,化简可证2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41abc2c2abc2aDbcccab2大正方形面积为Sab 2a22 abb2所以a2b22方法三：S 梯形1 2ab ab ,S 梯形2SADESABE21ab1c2,化bcba22a简得证CH名师归纳总结 6：勾股数ABEFaGDB第 2 页,共 30 页能够

5、构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即bacAa2b22 c 中, a , b , c 为正整数时,称a , b , c 为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13；ccb7,24,25 等EabC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 用含字母的代数式表示名师总结n2优秀学问点1（n2,n 为正整数）；n 组勾股数：1,2 , n n22n1,2n22 ,2n22n1（ n 为正整数）m2n2,22 mn m2 n （mn m , n 为正整数）二、 规律方法指导 1勾股定理的证明实际采纳的是

6、图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的；2勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边 边关系的题目；3勾股定理在应用时肯定要留意弄清谁是斜边谁直角边,这是这个学问在应用过程中 易犯的主要错误；4. 勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b,c 有以下关系： a2+b 2c2,.那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方 法5. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运 算,通过学习加深对“ 数形结合” 的懂得我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题；假如把其中一个叫做原命题,那 么另一

7、个叫做它的逆命题；（例：勾股定理与勾股定理逆定理）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点勾股定理典型例题及专项训练专题一：直接考查勾股定理及逆定理例 . 在ABC 中,C90,AC15,求 BC 的长分析：已知AC6,BC8求 AB 的长已知AB17练习： 1、如下列图,在四边形ABCD中,BAD=90 ,DBC=90 ,AD=3,AB=4,BC=12,求 CD；2已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页精选学习

8、资料 - - - - - - - - - 3、已知：如图,名师总结优秀学问点ABCD的面积；B=D=90 , A=60 , AB=4,CD=2；求：四边形AD例 2：已知直角三角形的两边长分别为5 和 12,求第三边；BC练习：在ABC中, AB=13,AC=15,高 AD=12,就 BC的长为多少？例 3：（1）. 已知ABC的三边 a 、b 、c 满意ab2bc20,就ABC为三角形（2）. 在ABC中,如2 a =（ b+ c ）（ b - c ）,就ABC是三角形,且90练习： 1、 已知x12xy25与z210z25互为相反数,试判定以x 、 y 、 z为三边的三角形的外形；名师归纳

9、总结 - - - - - - -第 5 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、. 如名师总结2优秀学问点233810a24b26c,试判定ABC的三边a、 b 、c满意条件ab2cABC的外形；3. 已知a62b8 c10 2,0就以 a 、 b 、 c 为边的三角形是ACDB例 4：已知如图,在ABC中, C=60 , AB= 43,AC=4,AD是 BC边上的高,求BC的长；如图,在 Rt ABC中, ACB=90 , CDAB于 D,设 AB=c,AC=b,BC=a,CD=h；求证：（ 1）111h为三边的三角形是直角三角形ACBa2b2h2（2）abch

10、D（3）以ab,h,c经典图形突破：BACBACB图3AC图1图2名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点AAB图4CBD图5C练习 1. 如图, ABC中,AB=AC,A=45o, AC的垂直平分线分别交AB、AC于 D、E,如CD=1,就 BD等于 A1 B C D2. 已知始终角三角形的斜边长是 2,周长是 2+ 6 ,求这个三角形的面积3. ABC中, D是 AB的中点,如 AC=12, BC=5,CD=65求证：ABC是直角三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 30

11、页精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 如图,在正方形名师总结优秀学问点EC=1 4BC,ABCD中, F 为 DC的中点, E为 BC上一点,且猜想 AF.与 EF 的位置关系,并说明理由5. 如图 Rt ABC ,C90AC3,BC4, 分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积CA B6. 如图 2-10 , ABC中, AB=AC=20, BC=32,D 是 BC上一点,且 ADAC,求 BD的长7. 如图 2-9 , ABC中,ACB=90 ,AC=BC,P是 ABC内一点, 满意 PA=3,PB=1,.PC=2,求 BPC的度数8. 已知 ABC中, ACB=90 ,

12、 AC=3,BC=4,（1）AD平分 BAC,交 BC于 D 点；求 CD长名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - B名师总结优秀学问点B（ 2）BE平分 ABC,交 AC于 E,求 CE长DACAAEC9. 如图,在四边形ABCD中, A600, B D90 0,BC2,CD3,求 AB的长DB C10. 如图, P为 ABC边 BC上一点, PC2PB,已知 ABC450, APC600,求 ACBA的度数；BPC名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - -

13、 - - 11、已知名师总结优秀学问点3,求 AB、AC的长；ABC中, BAC75 0, C600,BC312、如图,ABC中, AD是高, CE是中线, DCBE,DGCE于 G；（1）求证： G是 CE的中点；A（2） B2 BCE；（3）如 AC=6,AB=8,求 DG的长；EG名师归纳总结 BDC第 10 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 专题二勾股定理的证明名师总结优秀学问点1、利用四个全等的直角三角形可以拼成如下列图的图形,这个图形被称为弦图从图中可以看到：大正方形面积小正方形面积四个直角三角形面积因而c2cb化简后即为c

14、 2a2、如图,是2002 年 8 月北京第 24 届国际数学家大会会标,由4 个全等的直角三角形拼合而成,如图中大小正方形的面积分别为 分别为3、2002 年 8 月 2028 日在北京召开了第52 和 4,就直角三角形的两条直角边的长24 届国际数学家大会大会会标如下列图,名师归纳总结 它是由四个相同的直角三角形拼成的（直角边长分别为2 和 3）,就大正方形的面积b c l 是的面积分别为5a 4、如图,直线 l 上有三个正方形a, ,c,如 a,c和 11,就 b 的面积为（）（） 4 （） 6 （） 16 （） 55 第 11 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 -

15、 - - - - - - - - 5、一个直立的火柴盒在桌面上倒下,名师总结优秀学问点. 如启发人们发觉了勾股定理的一种新的证明方法图,火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到 AB C D 的位置,连结 CC ,设a2b22 c . D c C ABa BCb ACc ,请利用四边形BCC D 的面积证明勾股定理：CBb A DA a B A 第 4 题图6、如图是 2002 年 8 月在北京召开的第24 届国际数学家大会会标中的图案,其中四边A E H D B 形 ABCD和 EF 都是正方形 . 证： ABF DAE 7、（ 2022 年辽宁省丹东市）图是一个边长为mn 的正方形,小颖将第 7

16、题图mnm图中的阴影部分拼成图的外形,由图和图能验证的式子是（）mnnAmn2mn24mnBmn2m2n22mn图图Cmn 22mnm2n2Dmn mn2 mn2专题三网格中的勾股定理1、如图 1,在单位正方形组成的网格图中标有 一个直角三角形三边的线段是（）AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成（A）CD、 EF、GH （B）AB、EF、GH （C）AB、CD、 GH （D）AB、 CD、EF A C 名师归纳总结 B 第 12 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点2、如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1

17、,就网格上的三角形 ABC中,边长为无理数的边数是（）ABA 0 B 1 C 2 D 31,A、B、C是小正方形C3、（ 2022 年四川省眉山市）如图,每个小正方形的边长为的顶点,就 ABC的度数为（）AA90B60C45D30ABC,就边 ACCB4、如图,小正方形边长为1,连接小正方形的三个得到,可得上的高为（）35C. 35D. 45A. 32B. 210555、如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点称为格点,请以图中的格点为顶点画一个边长为3、的三角形 所画的三角形是直角三角形吗 .说明理由6、如图,每个小正方形的边长是1,在图中画出面积为2 的三个外形不同的三

18、角形（要求顶点在交点处,其中至少有一个钝角三角形）名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 专题四实际应用建模测长名师总结优秀学问点1、如图（ 8）,水池中离岸边D 点 1.5 米的 C 处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是 0.5 米,把芦苇拉到岸 边,它的顶端 B恰好落到 D 点,并求水 池的深度 AC. 2、有一个传感器掌握的灯,安装在门上方,离地高4.5 米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高1.5 米的同学,要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾难,它以台风中心为圆心在四周

19、数十千米范畴内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市 A的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心,其中心最大风力为 12 级,每远离台风中心 20 千米, 风力就会减弱一级,该台风中心现正以15 千米 / 时的速度沿北偏东30o 方憧憬 C移动,且台风中心风力不变,如城市所受风力达到名师归纳总结 或走过四级,就称为受台风影响. 第 14 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由 . （2）如会受到台风影响,那么台风影响该城市连续时间有多少？（3）该城

20、市受到台风影响的最大风力为几级？专题五 梯子问题1、假如梯子的底端离建筑物9 米,那么 15 米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？2、一架方梯长25 米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7 米,（ 1）这个梯子的B顶端距地面有多高？（2）假如梯子的顶端下滑了4 米,那么梯子的底端在水平方向滑A 动了几米？AOB 第 20 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点3、如图,梯子 AB 斜靠在墙面上, ACBC,AC=BC,当梯子的顶端 A 沿 AC 方向下滑 x米时,梯足B 沿 CB 方向滑

21、动 y 米,就 x 与 y 的大小关系是（）AA. xyB. xyC. xyD. 不能确定BC专题六 最短路线1、如图,学校教学楼旁有一块矩形花铺,有极少数同学为了躲开拐角走“ 捷径” ,在花铺内走出了一条“ 路” 他们仅仅少走了（）步路（假设2 步为 1 米）,却踩伤了花草A、6 B、5 C、4 D、3 2、如图,一圆柱体的底面周长为20 ,高 AB为 10 ,BC是上底面的直径； 一蚂蚁从点A动身,CD沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程；BA名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、如图, 有一个圆柱

22、体,底面周长为名师总结优秀学问点A点处有一只蚂蚁,20 ,高 AB为 10 ,在圆柱的下底面它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端4、如图,假如这是一个圆柱体的玻璃杯,C点处,那么它所行走的路程是多少？C A AD 是杯底直径, C 是杯口一点,其他已知条件不变,蚂蚁从外部点A处爬到杯子的内壁到达高CD的中点 E处,最短该走多远呢？ 杯子的BC厚度不计）EA D5、为筹备迎新生晚会,同学们设计了一个圆筒形灯罩,底色漆成白色,然后缠绕红色油纸,如图,已知圆筒高108cm,其圆筒底面周长为36cm,假如在表面缠绕油纸4圈,应裁剪多长油纸？名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 30

23、页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、如图,一只蚂蚁从一个棱长为名师总结优秀学问点A向顶点 B 爬行,问这B 1 米,且封闭的正方体盒子外部的顶点只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？A 7、（2004.淄博）如图是一块长,宽,高分别是6cm,4cm和 3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处,沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是（）A、（ 3+2） cm B、cm C、cm D、cm 8、如图,长方体的长为 15cm,宽为 10cm,高 为 20cm,点 B 到点 C 的距离为 5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A

24、点爬到 B点,需要爬行的最短距离是多少？名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9、如图为一棱长为名师总结优秀学问点9 个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂3cm的正方体,把全部面都分为蚁每秒爬行2cm,就它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟？10、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m,A 和 B是台阶上两个相对的顶点,A点有一只蚂蚁,想到B 点去吃可口的食物,问蚂蚁沿着台阶爬行到 B点的最短路程是多少？. 11、2022 福建泉州市惠安县0.2 03 2

25、 BA 如图,长方体的底面边长分别为1cm 和 3cm,高为 6cm假如用一根细线从点A开头经过 4 个侧面缠绕一圈到达点B,B 那么所用细线最短需要_cm；6cm 3cm 1cm 假如从点A 开头经过 4 个侧面缠绕3 圈到达点 B,A 那么所用细线最短需要_cm第 17 题图名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 专题七折叠三角形名师总结优秀学问点1、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边 AC=6, BC=8；现将直角边 AC沿直线AD折叠,使它落在斜边 AB上,且与 AE重合,求 CD的长AECDB2、如图,小颍

26、同学折叠一个直角三角形的纸片,使A 与 B重合,折痕为DE,如已知 AC=10cm,BC=6cm,你能求出 CE的长吗？AD3、三角形 ABC是等腰三角形CEBAB=AC=13,BC=10,将 AB向 AC方向对折,再将CD折叠到CA边上,折痕CE,求三角形ACE的面积AAADE名师归纳总结 BDCDCDC第 20 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点AC4、如图 , ABC的三边 BC=3,AC=4、AB=5,把 ABC沿最长边 AB翻折后得到 ABC ,就 CC 的长等于（）13 D. 524CBA.6 B. 512

27、 C. 55专题八折叠四边形1、折叠矩形ABCD的一边 AD,点 D落在 BC边上的点 F 处 , 已知 AB=8CM,BC=10CM, 求（ 1）DCF的长（2）EC的长 . AE名师归纳总结 BFC第 21 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、在矩形纸片名师总结优秀学问点B与点 D 重合,ABCD中, AD=4cm,AB=10cm,按图所示方式折叠,使点折痕为AEFBEF,求（ 1）DE的长；（ 2）EF的长；DCC3.2022 福建泉州市惠安县 矩形纸片 ABCD的边长 AB=4,AD=2将矩形纸片沿EF 折叠,使点 A与点 C

28、 重合,折叠后在其一面着色（如图）,就着色部分的面积为_. G D F C A E 第 16 题B 4、如图 2-3 ,把矩形 ABCD沿直线 BD向上折叠,使点 BC=7,重合部分EBD的面积为 _C 落在 C 的位置上, 已知 AB=.3,5、如图 5,将正方形 ABCD折叠,使顶点 A与 CD边上的点 M重合,折痕交 AD于 E,交 BC于 F,边 AB折叠后与 BC边交于点 G；假如 M为 CD边的中点,且 DE=6,求正方形 ABCD的面积名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - DMC名师总结优秀学问点EFG

29、EF,绽开后再沿BG折叠,使 A落AB6、矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,先把它对折,折痕为在 EF上的 A1,求其次次折痕BG的长；落在边CAGBEF7、如图,把矩形纸片沿折叠,使点D处,点A上的点落在点处；名师归纳总结 （ 1）求证：；,试猜想之间的一种关系,并赐予证明第 23 页,共 30 页（2）设- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点8、如图, B=90 , AB=BC=4,AD=2,CD=6 D（1） ACD 是什么三角形？为什么？CA（2）把 ACD沿直线 AC 向下翻折, CD 交 AB 于点 E,如重叠部分面积为

30、4,求 DE 的长；E9、边长为 8 和 4 的矩形 OABC的两边分别在直角坐标系的BACx 轴和 y 轴上,如沿对角线C折叠后,点 B落在第四象限B1 处,设 B1C交 x 轴于点 D,求（ 1）三角形 ADC的面积,（2）点 B1 的坐标,（ 3）AB1 所在的直线解析式 . yCOBxAB名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点10、（2022 年广东省广州市）如下列图,四边形 OABC是矩形,点 A、C 的坐标分别为（3,0）,（ 0,1）,点 D 是线段 BC 上的动点（与端点B、C 不

31、重合）,过点D作直线 y 1 2x b 交折线 OAB 于点 E（1）记 ODE 的面积为 S,求 S与 b 的函数关系式；（2）当点 E 在线段 OA 上时,如矩形OABC关于直线 DE 的对称图形为四边形OA1B1C1,摸索究 OA1B1C1 与矩形 OABC的重叠部分的面积是否发生变化,如不变,求出该重叠部分的面积；如转变,请说明理由 . y名师归纳总结 C D E B x第 25 页,共 30 页O A - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 专题九旋转问题：名师总结优秀学问点1、如图,ABC是直角三角形, BC是斜边,将ABP绕点 A逆时针旋转后,

32、能与ACP 重合,如 AP=3,求 PP 的长；2、如图, P是等边三角形ABC内一点, PA=2,PB=2 3 ,PC=4, 求 ABC的边长 . 名师归纳总结 3、如图,ABC为等腰直角三角形,BAC=90 , E、F是BC上的点,且 EAF=45 ,第 26 页,共 30 页摸索究BE2、CF2、EF2间的关系,并说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点CBE的位置,4、如下列图, P为正方形 ABCD内一点, 将ABP 绕 B 顺时针旋转 90 到如 BP=a ,求：以 PE 为边长的正方形的面积5、如下列图,ABC是等

33、腰直角三角形,AB=AC,D是斜边 BC的中点, E、F分别是 AB、AC边上的点,且 DEDF,如 BE=12, CF=5求线段 EF的长；名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6、如下列图,已知在名师总结优秀学问点ABC 中, AB=AC,BAC=90 ,D是 BC上任一点,求证：BD 2CD22 AD2；7、如图,有一块塑料矩形模板ABCD,长为 8cm,宽为 4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P 落在 AD边上（不与A、D 重合）,在 AD上适当移动三角板顶点 P：能否使你的三角板两直角边

34、分别通过点 的值（ 2）请你求出这时 AP 的长；B与点 C？如能, 1 求 BP+CP名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点8、已知 AOB=90 ,在 AOB 的平分线 OM 上有一点 C,将一个三角板的直角顶点与点 C 重合,它的两条直角边分别与 OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点 D、E；当三角板绕点 C 旋转到 CD与 OA 垂直时,如图,易证：OD OE 2 OC；当三角板绕点 C 旋转到 CD 与 OA 不垂直时, 如图、这两种情形下, 上述结论仍是否成立？如成立,请给与证明；

35、如不成立,线段 你的猜想,不需证明；OE、 OC、OD 之间有怎样的等量关系？请写出名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9、（2022 年宁德市）（此题满分名师总结优秀学问点ABCD是正方形,ABE是等边13 分）如图,四边形三角形, M为对角线 BD（不含 B 点）上任意一点, 将 BM绕点 B逆时针旋转 60 得到BN,连接 EN、 AM、CM. 求证：AMB ENB； 当 M点在何处时, AMCM的值最小；当 M点在何处时, AMBM CM的值最小,并说明理由； 当 AMBMCM的最小值为31时,求正方形的边长. A D N 名师归纳总结 E B M C 第 30 页,共 30 页- - - - - - -