2022年正弦函数余弦函数的图像和性质 .pdf

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1、第二课时正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）（一）复习与引入上节课， 我们学习了两种作正余弦函数的图象的方法，其中我们经常要用到的是五点法作图。 （一图了事）教师在黑板上用五点法画出函数y=sinx ，y=cosx 的图象（列表、描点、连线），同时说明五个关键点的坐标。强调作正余弦函数要抓住五个关键点。（二）新课一、正余弦函数作图例1 画出下列函数的简图（1）y=1+sinx,x0,2 ; (2)y=-cosx,x0,2 . 说明：1、第（ 1）题由教师演示（列表，描点，作图），第（2）题由学生自行完成，教师校对；2、作正弦、余弦函数的图象必须抓住五个关键点；3、第（ 1）题中的函数与函数y=

2、sinx,x0,2 的图象之间有何关系？（由函数y=sinx,x0,2 上的每一点向上平移一个单位长度或图象向上平移一个单位长度）第 （2）题中的函数与函数y=cosx,x 0,2 的图象之间有何关系？（关于x 轴对称）4、口答：请根据函数y=sinx ，y=cosx 的图象，画出函数y=sinx-1 ，y=1-cosx的图象。5、推广并归纳：y=sinx+m ，y=cosx+n 可由 y=sinx ，y=cosx 经过怎样的变换而得到？（在y 轴上 平行移动）若在自变量x 上加上某个实数则在x 轴上 作平行移动，如)1cos(),23cos(),2sin(xxyxy；y=-sinx+m ，y

3、=-cosx+n 呢？6、学生练习：P56 练习 3，学生板演，教师讲评。二、正余弦函数的周期性函数 y=sinx ，y=cosx 的周期（最小正周期）均为2，换句话说，自变量x 只要并且至少要 增加到 x+2，正余弦函数的值才能重复取得。1、周期性是三角函数的一个特殊性质，正是由于这个特殊性质的存在，使得正弦、余弦函数的图象、 性质呈现出一种不断重复的特性。正是由于周期性，对三角函数的某些性质的解释也就顺理成章了。 （极值、单调性的反复出现）2、正余弦函数的周期性（突破重点与难点）正余弦函数的这种特性可由诱导公式sin(x+2k)=sinx,cos(x+2k)=cosx(k Z) 来解释，

4、正弦函数值、 余弦函数值是按照一定规律不断重复取得的，我们作图也是按此性质画出的。像正弦、余弦这种函数我们称为周期函数。若记f （x）=sinx ，上式如何表达？（f （x+2k）=f （x） ，其中 2k就是周期）同学们能不能用一条数学式子将周期函数表达出来？教师引导：对于任一个函数f （x） ，若它是周期函数，周期为T。则它在定义域内的任一点 x 上的函数值与它在此基础上过了一个周期的函数值是相等的，即 f(x)=f(x+T)。下面请同学们给出周期函数的定义：一般地，对于函数f （x） ，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x+T) = f(x)，那么函数f(

5、x) 就叫做 周期函数 。非零常数T 就叫做这个函数的周期 。例如， 2，4， -2 ，-4 等都是正弦函数和余弦函数的周期，事实上，任何一个常数 2k(k Z 且 k0) 都是这两个函数的周期。对于一个周期函数，如果在它所有的周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f （x）的最小正周期。例如正余弦函数的最小正周期就是2。今后如不加特别说明，周期即指最小正周期。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 周期函数

6、的定义与奇函数、偶函数的定义有类似的地方：函数)( xf对于定义域内的每一个值，都有：f （-x ）=-f （ x） ，则为奇函数；f （-x ）=f （x） ，则为偶函数；f （x+T）=f （x） ，则为周期函数。例 3 判断下列语句的正误，并说明理由：（1）4sin)24sin(，函数y=sinx 的周期为2； （错，对定义域内的每一个值 x 都要满足f(x+T) =f(x) ，只个别满足不能说T 是它的周期，如43sin)243sin(）（2）任何周期函数均有最小正周期；（错，反例：常数函数f(x)=c）（3）若 T（T0）是函数f(x) 的周期，则nT（nZ 且 n0）也是它的周期。

7、 （对，简证：f(x+T) =f(x)，f(x+2T) =f(x+T)+T= f(x+T) =f(x)，同样 f(x+3T)= f(x+2T)+T= f(x+2T)= f(x)，以此类推f(x+nT)= f(x)，所以 nT 也是它的周期）例 4 求下列函数的周期：（1）y=3cosx ，xR；（2）y=sin2x ，xR；（3）Rxxy),621sin(2处理： 1、利用换元思想，令整个式子为z，当 z 只要并且至少要增加到z+2时，自变量x只要并且至少要增加到多少；2、最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小的正数，这个最小的正数是相对x 来讲的；3、由此可知，这些函数

8、的周期只与自变量x 的系数有关，一般地，对于函数RxxAy),sin(与RxxAy),sin(令 z=x，当z 只要并且至少要增加到z+2 ，而此时z+2=（x）+2=)2( x，即自变量x 只要并且至少要增加到2x，函数值才能重复取得，即2T是能使等式)sin()2(sinxAxA及)cos()2(cosxAxA成立的最小正数。从而函数RxxAy),sin(及RxxAy),sin(的周期2T。根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期。如，例3 中（ 1）（2） （3）的周期分别为4212,22,2。学生练习： P56 练习 5 说明： 1、学生练习后校对，进一步说明三角函数

9、的周期只与自变量x 的系数有关；2 、 补 充 题 ： 已 知 函 数)( xf是 周 期 为2的 周 期 函 数 ， 且2)5(f， 求名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - )3()1(ff)12(nf的值。 （2n）（三）作业1 复习课本2 P57-58 习题 4.8 第 1、3 题3 每课一练（一）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -