2022年《误差理论与数据处理》费业泰-课后答案全.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载误差理论与数据处理练习题第一章 绪论1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa,该压力用更精确的方法测得为100.5Pa,问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？【解】在实际检定中,常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值；故二等标准活塞压力计测量值的肯定误差测得值实际值100.2100.5 0.3（ Pa）；相对误差 = 0.3 100% 0.3%100.52 21-9 使用凯特摆时,g由公式 g=4（h 1+h2） /T 给定；今测出长度（h 1+h2）为（ 1.04

2、230 0.00005）m,振动时间 T为（ 2.0480 0.0005）s；试求 g及其最大相对误差；2 假如（h 1+h2）测出为（1.04220 0.0005）m,为了使 g的误差能小于 0.001m/s,T的测量必需精确到多少？【解】测得（ h 1+h2）的平均值为 1.04230（m）,T 的平均值为 2.0480（s）；4 2由 g 2 h 1 h 2 ,得：T2g 42 1.04230 9.81053 / m s 22.0480当 h 1 h 2 有微小变化 h 1 h 2 、 T 有 T 变化时,令 h h 1 h 2g 的变化量为：g2gh 2h 1h 22gT42 h 1h

3、 282h 1h 2Th 1TT2T3gg hh2gT4h842 h 1h 22Th 1h 22TT23h T2TTT4T2hh TTg 的最大相对误差为：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 43 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载2 2g 4T 2 h 2 TT h 4T 2 h 2 TT h h 2 T2 2g 4T 2 h 1 h 2 4T 2 h h T0.00005 2 0.0005 100% 0.054

4、%1.04230 2.0480假如 h 1 h 2 测出为（1.04220 0.0005）m,为使 g 的误差能小于 0.001m/s 2,即：g 0.0012也即 g 4T 2 h 1 h 2 2T T h 1 h 2 0.001242 0.0005 2 T 1.04220 0.0012.0480 2.0480 T0.0005 1.01778 T 0.00106求得：T 0.00055 s 1-10. 检定 2.5 级（即引用误差为 2.5%）的全量程为 100V 的电压表,发觉 50V 刻度点的示值误差 2V 为最大误差,问该电压表是否合格？【解】引用误差示值误差测量范畴上限；所以该电压表

5、的引用误差为：U m 2r m 2% 由于： 2%2.5% U m 100所以该电压表合格；113 多级弹导火箭的射程为 10000km 时,其射击偏离预定点不超过 0.lkm ,优秀射手能在距离 50m远处精确地射中直径为 2cm的靶心,试评述哪一个射击精度高 . 解：多级火箭的相对误差为：1.0 0 . 00001 .0 001 %10000射手的相对误差为：1 cm .0 01 m 0 . 0002 0 . 002 %50 m 50 m多级火箭的射击精度高；附加11 测得某三角块的三个角度之和为180o0002” , 试求测量的肯定误差和相对误差解：肯定误差等于：180o000 2180

6、o220 . 0000030864 10 . 000031 % 第 2 页,共 43 页 相对误差等于：21802o 180606 064800 0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -细心整理归纳 精选学习资料 优秀学习资料欢迎下载 第 3 页,共 43 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

7、 - - - -优秀学习资料 欢迎下载其次章 误差的基本性质与处理2-2. 试述单次测量的标准差和算术平均值的标准差x,两者物理意义和实际用途有何不同？【解】单次测量的标准差 表征同一被测量 n次测量的测量值分散性的参数,可作为测量列2 2 2中单次测量不行靠性的评定标准；1 2 nn算术平均值的标准差 是表征同一被测量各个独立列算术平均值分散性的参数,可作x为算术平均值不行靠性的评定标准x n1在n次测量的等精度测量列中,算术平均值的标准差为单次测量标准差的,当测n量次数 n愈大时 , 算术平均值愈接近被测量的真值,测量精度也愈高；2-3. 试分别求出听从正态分布、反正弦分布、匀称分布误差落

8、在2,2中的概率；【解】（1）误差听从正态分布时PP21tt22 2e2222d84%d202e2222引入新变量 t:,2t, 经变换上式成为：2 2tedt 20.41950.84220（2）误差听从反正弦分布时细心整理归纳 精选学习资料 因反正弦分布的标准差为：a2,所以区间2,2a a, 第 4 页,共 43 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -故:P2 1aa1优秀学习资料欢迎下载2d1a2（3） 误差听从匀称分布时因其标准差为：a,所

9、以区间 2 , 2 2 a , 2 a ,故3 3 32P 2 123 3a a2 1a d2 1a 2 23 a 0.82 82%2-4. 测量某物体重量共 8次,测得数据（单位为 g）为236.45,236.37,236.51,236.34,236.39,236.48,236.47,236.40,求其算术平均值及其标准差；【解】选参考值x 0236.00,运算差值x ix i236.00、0x 和残差iv 等列于表中；或依算术平均值运算公式,n=8,直接求得：x1i8x i236.43 81n2v i运算标准差：用贝塞尔公式运算：i 1 0.02510.06 g n 1 8 10.06 0

10、.02x n 826 测量某电路电流共 5 次,测得数据 单位为 mA为 168.41 ,168.54 ,168.59 ,168.40 ,细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 43 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载168.50 ；试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差；解：5IiIi168 . 49 mA 1552i51i1IiI20.08xn0.080.045 15Ii0.080.05R0.6745x0.0

11、2I35135 I i I 4 i 1 40.08 0.06 T 0.7979 0.035 5 1 5 x27 在立式测长仪上测量某校对量具,重复测量 5 次,测得数据 单位为 mm为 200015,20.0016 ,20.0018 ,20.0015 ,20.0011 ；如测量值听从正态分布,试以 99的置信概率确定测量结果；解：求算术平均值xinli20.0015mm1n求测量列单次测量的标准差用贝塞尔公式运算：nv i226 1082.55104mm104mmi1n14用别捷尔斯公式运算：1.253n1.2530.00082.24v ii1n n154求算术平均值的标准差细心整理归纳 精选

12、学习资料 xn2.55 1041.14 104mm 第 6 页,共 43 页 5 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x优秀学习资料欢迎下载2.24 1040.0001n5求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 做法 1 ：因 n5 较小,算术平均值的极限误差应按 t 分布处理；现自由度为： n1 4；查 t 分布表有： t4.60 单次测量的极限误差： 10.99 0.01 ,limxt4.60 2.55 1041.173 1031.17 10

13、3mm算术平均值的极限误差：写出最终测量结果limxtxx4.60 1.14 1045.24 104mmLx20.00155. 24104mmlim做法 2 ：因假设测量值听从正态分布,并且置信概率分表,得置信系数t2.6单次测量的极限误差：P=2 t=99% ,就 t=0.495 ,查正态分布积limxt2.60 2.55 1046.63 1040.00066算术平均值的极限误差：limxtx2.60 1.14 1042.964 1040.0003写出最终测量结果Lxlimx20.0015 0.0003mm210 用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差 0.001mm,如要求测量的答应极限

14、误差为0.0015mm,而置信概率P 为 0.95 时,应测量多少次？解：依据极限误差的意义,有txtn.00015依据题目给定得已知条件,有细心整理归纳 精选学习资料 t0 . 0015.1 5 第 7 页,共 43 页 n.0 001 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -查教材附录表3 有优秀学习资料欢迎下载如 n5, v4, 0.05 ,有 t 2.78 ,t2 . 78.2 78.1 24n52 . 236如 n4, v3, 0.05 ,有

15、t 3.18 ,即要达题意要求,必需至少测量t.3 18.3 181 . 59n425 次；2-11 已知某仪器测量的标准差为0.5 m；如在该仪器上,对某一轴径测量一次,测得值为 26.2025mm,试写出测量结果；如重复测量10次,测得值（单位为mm）为 26.2025 ,26.2028 ,26.2028 ,20.2025 ,26.2026 ,26.2022 ,20.2023 ,26.2025 ,26.2026 ,26.2022 ,试写出测量结果；如手头无该仪器测量的标准差值的资料,试由中 10次重复测量的测量值,写出上述、的测量结果；解：单次测量的极限误差以3 运算 : m 0.0015

16、 limx33 0.51.5所以测量结果可表示为：26.2025 0.0015 mm 10 重复测量 10 次,运算其算术平均值为：xx i26.2025 mm 0.00051.58 10 mm10i1取与相同的置信度,算术平均值的标准差: xnlimx3x3-4 1.58 104.74-4 105-4 10mm就测量结果为：x3x26.2025 0.0005mm 如无该仪器测量的标准差资料,就依10 次重复测量数据运算标准差和表示测量结果；选参考值x 026.202,运算差值x ix i26.202、0x 和残差iv 等列于表中； 第 8 页,共 43 页 细心整理归纳 精选学习资料 - -

17、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -用贝塞尔公式运算：n2 v i优秀学习资料8欢迎下载4mmi142102.2 10n1101算术平均值的标准差：xn2.2 104mm0.0000710取与相同的置信度,就测量结果为：ix3此时的测量结果为26.2025 3 0.00022 26.2025 0.00066 26.2025 0.0007mm；的测量结果为26.2025 3 0.00007 26.2025 0.00021 26.2025 0.0002 mm.

18、 2-13 测量某角度共两次,测得值为 1=24 13 36”, 2=24 13 24”,其标准差分别为 1=3.1”, 2=13.8”,试求加权算术平均值及其标准差；【解】已知各组测量的标准差,可确定各组的权；取：p 1p 1:p 21:11:11 1:9.61 190.4419044:961 第 9 页,共 43 页 222 3.12 13.81219044, p 2961选取024 1336,可由公式直接运算加权算术平均值和标准差：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

19、 - - - - - - - - - - - - -0imp iii优秀学习资料欢迎下载124 1336190440961 12mp19044961i124 1335.4加权算术平均值的标准差的运算,先求两测量结果的残余误差：v 10.6, v 211.4算术平均值的标准差为：ximp v i2 xip i19044 0.6 2961 11.4 26.61mm2119044 9611i 12-15. 试证明 n 个相等精度测得值的平均值的权为n 乘以任一个测量值的权；【证明】由于等精度测量,可设 n 个测得值的标准差均为,且其算术平均值的标准差为：xn又设各测量值的权相等,即：p 1 p 2

20、p i p ； n 个相等精度测得值的平均 值 的 权 为 xp , 就 ： n 个 相 等 精 度 测 得 值 的 平 均 值 的 权 xp 与 各 测 得 值 的 权ip i 1,2. n的比为 p x : p i 12 : 12 n: 1n :1x ip x np2-17 对某量进行 10次测量,测得数据为 14.7 ,15.0 ,15.2 ,14.8 ,15.5 ,14.6 ,14.9 ,14.8 ,15.1 ,15.0 ,试判定该测量列中是否存在系统误差；解：先运算算术平均值：x14.96；各测量数据的残余误差分别为：v 50.54v 10.26v 2v 30.24v 40.160.

21、04v 60.36v 70.06v 80.16v 90.14v 100.04 依据残余误差观看法：运算出的残余误差符号正负个数相同,且无显著变化规律,因此可判定该测量列无变化的系统误差存在；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 43 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载 采纳不同公式运算标准差比较法；按贝塞尔公式：1nv2 i0.6240.263i1n1101nv i1.253290.264用别捷尔斯法运算：21.2

22、53i11n n10令：20.2641.004110.2630.004,故无依据怀疑测量列存在系统误差；由于：2120.667n10 1 马利科夫准就按残余误差校核法：前5 个残余误差和与后5 个残余误差的差值为两部分之差显著不为5100.8v ivj0.4 0.4i1j60,就有理由认为测量列中含有系统误差；阿卑 - 赫梅特准就un10.260.040.040.240.240.160.160.540.140.04v v i10.540.360.360.060.060.160.160.14i1u0.30560.3n122 9 0.2630.21n120.21所以测量列中含有周期性系统误差（为什

23、么会得出互为冲突的结论？问题出在此题给出的数据存在粗大误差-这就提示我们在判定是否有系统误差前,应先剔除粗大误差,然后再进行系统误差判定；）2-18、对某一线圈电感测量 10 次,前 4 次是和一个标准线圈比较得到的,后 4 次是和另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下（单位为 mH）：50.82,50.83,50.87,50.89；50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81 试判定前 4 次和后 6 次测量中是否存在系统误差；【解】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 43 页 - - - - -

24、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载将两组数据混合排列,用秩和检验法有：n 1T4,n 26, T5.5791031.514, T30, TT所以有依据怀疑存在系统误差2-19 等精度测得某一电压 10次,测得结果（单位为 V ）为25.94,25.97,25.98,26.01,26.04,26.02,26.04,25.98,25.96,26.07；测量完毕后,发觉测量装置有接触松动现象,为判明是否因接触不良而引入系统误差,将接触改善后,又重新做了10次等精度测量,测得结果（单位为 V ）为 25.93,

25、25.94,25.98, 26.02,26.01,25.90,25.93,26.04,25.94 ,26.02；试用 t检验法（取 =0.05）判定两组测量值之间是否有系统误差；【解】运算两组测量结果的算术平均值：x1 10x26.001y1y25.9710.00215102 S x1 10xix20.001552 S y1y iy210t26.00125.9711010101021.4810 10100.00155100.00215由 =10+10-2=18 及取 =0.05,查 t 分布表,得 t 2.1因 t 1.48 t 2.1,故无依据怀疑两组数据间存在线性系统误差；2-20. 对某

26、量进行了 12次测量,测得数据为 20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,试用两种方法判定该测量列中是否存在系统误差；12【解】先运算算术平均值：xx i20.125；各测量数据的残余误差分别为：v 10.065v 20.055i1v 3v 40.045v 50.025v 60.0050.065v 70.015v 80.015v 90.055v 100.055v 110.085v 120.065 依据残余误差观看法：运算出的残余误差有规律地递增,在测量开头与终止时误差符号相反,故可判定该测量

27、列存在线性系统误差；马利科夫准就 按残余误差校核法：前6 个残余误差和与后6 个残余误差的差值 为 第 12 页,共 43 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -两部分之差显著不为优秀学习资料欢迎下载612vivi0.260.260.52i=1i=70,就有理由认为测量列中含有线性系统误差； 采纳不同公式运算标准差比较法；n2v i按贝塞尔公式：1 i 1 0.03210.054n 1 12 1nv i用别捷尔斯法运算：

28、2 1.253 i 1 1.253 0.550.06n n 1 12 11u 2 1 0.061 0.111 0.0542 2 0.603 0.11,故无依据怀疑测量列存在系统误差；n 1 12 1阿卑 - 赫梅特准就n11n0.02n122 11 0.0540.01uv v ii112,所以测量列中含有周期性系统误差u由于：（又显现互为冲突的结论,如何说明呢？）221 对某量进行两组测量,测得数据如下：xi 0.62 0.86 1.13 1.13 1.16 1.18 1.20 1.21 1.22 1.26 1.30 1.34 1.39 1.41 1.57 yi 0.99 1.12 1.21

29、1.25 1.31 1.31 1.38 1.41 1.48 1.50 1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 试用秩和检验法判定两组测量值之间是否有系统误差；解：依据秩和检验法要求,将两组数据混合排列成下表：T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第 13 页,共 43 页 xi 0.620.860.991.121.131.131.161.181.201.211.21 1.221.251.261.30 yi T 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 xi 1.34 1.391.411.57细心整理

30、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -yi 1.31 1.31 1.38优秀学习资料欢迎下载1.59 1.60 1.60 1.84 1.95 1.411.48 1.50 T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174 因n 1n 215 10,秩和 T 近似听从正态分布,Nn n 1n 21,n n n 1n 2t1,212由an n1n21232.5；n n n 1n 2124.11

31、 求出：t122tTa2.43选取概率2t0.95,即t0.475,查教材附表1 有t.1 96；由于因此,可以认为两组数据间有系统误差；选取置信概率 99%（显著度 0.01）,即取 0.495,由附录表 1 查得：t 2.60；由于 t 2.43 t 2.60,故无依据怀疑两组数据间有系统误差；2-22 对某量进行 15 次测量,测得数据为 28.53,28.52,28.50,29.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50,如这些测得值已排除系统误差,试用莱以特准就、格罗布斯准就和狄克松准就分别

32、判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值；【解】将有关运算数据：平均值、残差iv 等列于表中： 第 14 页,共 43 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载直接求得 15个数据的算术平均值及其标准差：x115x i28.5715v i0.98030.265i115 i i 1n1151 用莱以特准就判别粗大误差因v 40.9530.795,故第 4 个测量数据含测量误差,应当剔除；应再对剩余的14

33、个测得值重新运算,得：x114x i28.5014v i2 0.01480.0337i114 i i 1n1141330.03370.1011由表知第 14 个测得值的残余误差：v 140.1730.1011,故也含粗大误差,剔除；再重复验算,剩下的13 个测得值已不包含粗大误差；x28.57,0.265； 用格罗布斯准就判别已经运算出 15 个测量数据的统计特点量：将测得的数据按从小到大的次序排列,有：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 43 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

34、- - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载x2.90,其权分别为5:1:1 ,x 128.40,xx128.5728.40.17x 1529.52,x 15x29.5228.570.952-26 对某被测量 x 进行间接测量得： 2x1.44,3 x2.18,4试求 x 的测量结果及其标准差？【解】x 11.440.72,x 22.180.727,x 32.900.725,234选取p 15,p 21,p31可由公式直接运算加权算术平均值和标准差：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 43 页 - -

35、- - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载v x 30.003x0.7250 1 0.007 1 0.0050.7225 1 1加权算术平均值的标准差的运算,先求残余误差：v x 1x 1x0.002,v x 20.005,算术平均值的标准差为：m2p v i xi 2 2 2x i 1m 5 0.002 1 0.005 1 0.0030.002 m 1 p i 3 15 1 1i 1lim x 3 x 3 0.002 0.006x 0.722 0.0062-28 测量圆盘的直径 D 72.003 0.052 mm,按公式运算圆盘面积 S D 2 / 4,由于选取 的有效数字位数不同,将对面积 S运算带来系统误差,为保证 S 的运算精度与直径测量精度相同,试确定 的有效数字位数？【解