2022年一元二次不等式与线性规划.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载第三节二元一次不等式组与简洁的线性规划问题 教 材 面 面 观基础学问常梳理自主探究强记忆1二元一次不等式表示_直线定边界、选点定区域一般地, 如 AxByC 0,就当 B0时,表示直线AxByC0 的_；当 B0 时,表示直线 AxByC 0 的_如 AxByC0,与上述情形 相反答案平面区域上方下方2线性规划 1约束条件、线性约束条件：变量 x、y 满意的一组条件叫做对变量 x、y 的约束条 件,假如约束条件都是 _,就约束条 件又称为线性约束条件；2目标函数、线性目标函数：欲达到 _,

2、叫做目标函数假如这个解析 式是 _,就目标函数又 称为线性目标函数；3 线 性 规 划 ： 求 线 性 目 标 函 数 在 _的问题,统称为线性规划问题；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载4可行域：_叫做 可行解, _叫做可行域；5 最 优 解 ： 分 别 使 目 标 函 数 取 得_的解,叫做这个问题的最优解2答案1关于 x、y 的一次不等式最大值或最小值所涉及的变量x、y

3、的解析式关于 x、y 的一次解析式3线性约束条件下的最大值或最小值4满意线性约束条件的解 x,y 由全部可行解组成的集合 5最大值和最小值3求解线性规划问题的基本程序是作_,画 _,解 _,求_可行域平行线方程组最答案值考 点 串 串 讲考点归纳与解析思维拓展与迁移1二元一次不等式表示平面区域 1一般地,二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧全部点组成的平面区域我 们把直线画成虚线, 表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式Ax By 第 2 页,共 37 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

4、- - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载C0 所表示的平面区域时,此区域应包括 边界直线,就把边界直线画成实线2用二元一次不等式表示平面区域,有肯定的规律性, 大致可分为以下四种情形常如下列图 3关于二元一次不等式表示平面区域 的几点说明：用集合的观点和语言分析直线和二 元一次不等式所表示的平面区域,能使问题 更加清晰、精确、便于懂得Ax ByC0 表示的是直线 AxByC0 的某一侧的平面区域,肯定要注 意不包括边界； AxByC0 表示的是直 线 AxByC 0 及直线某一侧的平面区 域,肯

5、定要留意包括边界画二元一次不等式表示的平面区域常 采 用 “ 直线定界,特殊点定域”的 方法特殊地,当 特殊点C 0 时,常把原点作为此画二元一次不等式组所表示的平面 区域要留意查找各个不等式所表示的平面细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载点集的交集,即它们的平面区域的公共部分在直线 l：AxByC0 外任取两点 Px1,y1,Qx2,y2如 P、Q 在直线 l 的 同一侧,就

6、Ax1By1C 与 Ax2By2C 同 号；如 P、Q 在直线 l 异侧,就 Ax1By1C 与 Ax2By2C 异号这个规律可概括为“ 同侧同号,异侧异号” 2线性规划 1线性规划的有关概念 约束条件： 由 x、y 的不等式 或方程 组成的不等式或等式混合组,是 x,y 的约 束条件线性约束条件：关于x、y 的一次不等式 或方程 组成的不等式或等式混合组,是 x, y 的线性约束条件目标函数： 欲达到最大值或最小值所 涉及的变量 x、y 的解析式线性目标函数：目标函数为 x、y 的 一次解析式线性规划问题： 求线性目标函数在线 性约束条件下的最大值或最小值问题可行解：满意线性约束条件的解 x

7、,y细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载可行域：全部可行解组成的集合最优解： 使目标函数取得最大值或最 小值的可行解2求线性目标函数在约束条件下的最 值问题的求解步骤：作图： 画出约束条件所确定的平面区 域和目标函数所表示的平行直线系中的任 意一条直线 l. 平移：将直线l 平行移动,以确定最优解所对应的点的位置求值：解有关的方程组求出最优解,再代入目标函数,求出目标函数的最值3

8、关于线性规划的几点说明：最优解有时唯独,有时不唯独,甚至 是无穷多对于二元一次不等式组所表示的区 域,假如存在使线性目标函数达到最大或最 小的点, 那么最值肯定是在该区域的顶点或 边界上达到4求目标函数 zaxby 的最值, 要把z 与直线 ya bx z b的截距联系起来去理 解5线性规划的图解法及其应用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图解法的步骤：求可行解 即可行域将约束

9、条件中的每一个不等式,当作等 式作出相应的直线, 并确定原不等式表示的 半平面,然后求出全部半平面的交集,即为 可行解 可行域 作出目标函数的等值线目标函数zaxbya、bR 且 a、b为常数 ,当 z 是一个指定的常数时,就表示一条直线位于这条直线上的点,具有相同的目标函数值z,因此称之为等值线当z为参数时,就得到一组平行线,这一组平行线完全刻画出目标函数z 的变化状态求出最终结果在可行域内平行移动目标函数等值线,从图中能判定问题是有唯独最优解,或是有 无穷最优解,或是无最优解3线性规划的实际应用 1在线性规划的实际问题中,主要把握 两种类型：在人力、物力、资金等资源一 定的条件下, 如何使

10、用它们来完成最多的任 务给定一项任务, 如何合理支配和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成 该项任务细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2线性规划中的常见问题：物资调运 问题 ；产品支配问题；合理下料问题；配方问题3利用线性规划解决实际问题的一般 步骤为：模型建立；模型求解；模型应用明：4关于线性规划的实际应用的几点说解线性规划问题的关键步骤是在图 上完成的,所以作图应尽

11、可能地精确,图上 操作尽可能规范因作图有误差, 如图上的最优点并不 明显易辨,就求不出可能是最优点的坐标 . 典 例 对 对 碰反思例题有法宝变式迁移有技巧题型一二元一次不等式组表示的平面 区域 例 1 在 ABC 中,A3,1,B1,1,C1,3,写出 ABC 区域所表示的二元一次 不等式组分析 第一写出 ABC 三边所在直线方程,然后再依据区域确定不等式组细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解

12、析学习必备欢迎下载AB、解法一：如图,由两点式得BC、 CA 的直线方程并化简为：AB：x2y10,BC： xy20,AC：2xy50. 原点 0,0不在各直线上,将原点坐标代入到各直线方程左端,得不等式组为x2y10,xy20,2xy50.结合式子的符号可解法二：由 AB 的方程及三角形区域在AB 上方,依据 “ 同号在上 ” 原就,得不等式 x2y10. 细心整理归纳 精选学习资料 由 BC 的方程及三角形区域在BC 下方, 第 8 页,共 37 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

13、- - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载依据 “ 异号在下 ” 原就,得不等式 xy20. 同理得 2xy50,从而得不等式组点评 判定二元一次不等式组表示的平面区域可直接利用上述“ 同号在上, 异号在下 ” 的结论直接判定 . 变式迁移 1 x2y10,画出不等式组x2y10,表1|x 2|3示的平面区域解析 不等式 x2y10 表示直线 x2y10 右下方的点的集合；不等式 x2y10 表示直线 x2y10 上及其右上方的点的集合；不等式 1|x2|3,可化为 1x1 或 3 x5,它表示夹在两平行线 x 1和 x1 之间或在两平行线 间的带状区域,但不包括直线上的点x

14、3 和 x5 之 x1 和 x3所以,原不等式组表示的区域如图所细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载示题型二线性目标函数的最值问题3x8y150,例 2 已知 x,y满意5x3y60,2x5y100,就 zxy 的取值范畴是 _解析先画出约束条件的可行域,如图所示,由3x8y150,得 B3, 3,5x3y60,细心整理归纳 精选学习资料 由3x8y150,得 A5,0 第 10

15、 页,共 37 页 2x5y100, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载当 z 为常数时, z 表示直线 zxy在 y 轴上的截距,当点x,y位于 A 点时,z 取最大值, zmin 50 5；当点 x,y位于 B 点时, z 取最小值；zmax 336. 综上所述,目标函数 z 的取值范畴是 5,6答案 5,6 点评 线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界上取得,详细方法是：将表示目标函数的直线平行移动,最先 或最后通过的

16、区域内的点便是最优解特殊地,当表示线性目标函数的直线与可行域的某边重合时,其最优解可能有很多个 . 变式迁移 2 设 z2y2x4,式中 x、y 满意条件细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载0x1,0y2,2yx1.求 z 的最大值和最小值解 析 作 出 满 足 不 等 式 组0x1,0y2,2yx1.的可行域 如下列图 作直线 l：2y2xt,当 l 经过点 A0,2时,zm

17、ax2 2 2 048；当 l 经过点 B1,1时,zmin2 1 2 144. 题型三平面区域的面积问题例 3 在平面直角坐标系xOy 中,已知平面区域 Ax,y|x y1,且 x0,y0,就平面区域Bxy,xy|x,y A的 第 12 页,共 37 页 面积为 A2B1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载C.1 2 D.1 4解析令uxy,vxy,u1,uv0,通过画图不难得知不等式uv0,组对应的

18、平面区域的面积 应选 B. 答案 B S1 2 2 1 1.点评 求线性平面区域的面积可以先依据不等式组画出相应的平面区域,再求出相应的顶点坐标,依据图形的特点解决问题如图形是不规章的多边形,一般是划分为几个三角形分别求面积再相加在划分时尽量多构造直角三角形,难度 . 这样可以降低运算细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载变式迁移 3 求不等式 |x|y|2 表示的平面区域的面积

19、解析 |x|y| 2 可化为：x0,x0,y0,或 y0,xy2. xy2.x0,x0,或 y0,或 y 0,x y2.xy2.其平面区域如下列图面积 S1 2 4 48. 题型四利用可行域求非线性函数的最值例4已 知x , y满 足 条 件4x2y70,x2y20,试求z3xy40,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载x 2y22x4y的取值范畴解析 如下列图作出约束条件所表

20、示的平面区域 ABC,易求 A2,2、B1,3 2、C3 2,1 2,由于 x 2y 22x4yx1 2 y2 25,又由于方程 Zx1 2y2 2 表示的曲线为以点 D1, 2为圆心,半径为 Z的圆,所以观看图,知当圆过A 点时,Z取得最大值 5. 过 D 作 DE BC 于 E,易知 kDE1 2,从而知直线 DE 的方程为 x2y30,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -由学习必备欢迎下载

21、.x2,x2y30,4x2y70,y1 2,即点 E 的坐标为 2,1 2,明显 E 在线段 BC 的延长线上,从而知当圆过点 C 时,Z取得最小值5 2 2,故 zx 2y 22x4y的取值范畴为 30 2,2 5点评 利用线性规划思想去懂得高中数学中的一些最值问题,实际上是对数形结合思想的提升, 利用线性或非线性函数的几 何意义,通过作图解决最值问题,是从一个新的角度对求最值问题的懂得,对于同学们最优化思想的形成是特别有益的 . 变式迁移 4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 37 页 - - - - - - - -

22、- 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2x y50已知 x,y 满意条件3xy50且 zx2y5 0x12y12在什么时候z 取得最大值、最小值,最大值、最小值各是多少？解析作出可行域如图得 A2,1 解方程组2xy50 3xy503xy50 解方程组 得 B3,4 x2y50z x1 2y 12 的几何意义为可行 域内的点 x,y与点 1,1的距离的平方,明显当圆过A 点时半径最小, 最小值为13,圆过 B 点时半径最大,最大值为 41. 题型五可行域与斜率的最值问题细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

23、- - - - - - - - 第 17 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载xy10,例 5 如实数 x、y 满意 x0,y2,就y x的取值范畴是 A0,2 B0,2 C2, D 2, xy10,解 析不 等 式 组x0,表y2,示的平面区域为如下列图的 ABC 及其内部不包括边AC,y x表示点 x,y与原点O连线的斜率,当点 x,y在 B 处时,y x有最小值 2 12. 第 18 页,共 37 页 - - - - - - - - - 当点 x,y由 B 在区域内向

24、左移动时y x越来越大,故y x的取值范畴是 2, 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案D 学习必备欢迎下载变式迁移 5 已知 x、y 满意x0,就y2 x1yx,4x3y12,的取值范畴是 _答案 2,2 解 析 作 出 可 行 域 如 图 所 示 , 设 点 Mx,y在可行域内,定点 P 的坐标为 1,2,PM 的斜率, 因 就目标函数y2 x1的值为直线为 PO、PA 的斜率分别为 2、2,由图可得 y2 x1的取值范畴是 2,2题型六线性规划的实际

25、应用 例 6 某工厂有甲、乙两种产品,方案每天各生产量不少于15 吨,已知生产甲产品1 第 19 页,共 37 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载吨,需煤 9 吨,电力 4 千瓦,劳力 3 个；生产乙产品 1 吨,需煤 4 吨,电力 5 千瓦,劳力 10 个；甲产品每1 吨利润 7 万元,乙产品每 1 吨利润 12 万元；但每天用煤不超过300 吨,电力不超过 200 千瓦,劳力只有 300个问每天

26、生产甲、乙两种产品各多少,能使利润总额达到最大？分析 将已知数据列成表, 如下表所示 . 甲 乙产品 /消耗量 / 资源产 产资源 限额品 品煤t 9 4 300 电力 kW h 4 5 200 劳力 个 3 10 300 利润 万元 7 12解析 设每天生产甲、 乙两种产品分别为 xt、yt,利润总额为z 万元,那么细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载9x4y 300,4x5

27、y200,3x10y300,x15,y15.作出以上不等式表示的可行域,如图目标函数为z7x12y. 作出在一组平行直线 7x12yt 中t 为参数 经过可行域内的点且和原点距离最远的直线此直线经过直线4x5y200 和直线 3x10y300 的交点 A20,24即生产甲、乙两种产品分别为 20t,24t时,利润总额最大 zmax7 2012 24428万元 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

28、 -学习必备 欢迎下载变式迁移 6 某工厂家具车间生产A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成,已知木工做一张 A、B 型桌子分别需要 1h 和 2h,漆工油一张 A、B 型桌子分别需要 3h 和 1h；又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8h和 9h,而工厂造一张A、B 型桌子分别获得利润 200 元和 300 元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张, 才能获得最大利润？解析 设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型 桌子 y 张,就x2y8,3xy9,x0,y0,目标函数为：z 2x 3y,作出可行域如图中阴影部分所示,把直线 l：2x 3y0 向右上方平移到l的位置时,

29、直线经过可行域上的点M , 第 22 页,共 37 页 - - - - - - - - - 且与原点距离最大,此时z 2x3y 取最大细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载值解方程组x2y8,得 M 的坐标为3xy9,2,3每天应生产A 型桌子 2 张,B 型桌子3 张才能获得最大利润 . 题型七线性规划中的整数解问题例 7 某运输公司有7 辆载重量为 6 吨的A 型卡车与 4 辆载重量为 10 吨的 B 型卡车,有 9 名驾驶员,在建造某高速

30、大路中,该公司承包了每天至少搬运360 吨土方的任务,已知每辆卡车每天来回的次数是：A 型卡车为 8 次而 B 型卡车为 6 次每辆卡车每天往返的成本费用情形是：A 型卡车 160 元, B型卡车 252 元,试问： A 型卡车与 B 型卡车 每天各出动多少辆时公司成本费用最低分析 此题考查同学的数学建模才能及数形结合才能 解题时肯定留意最优解是整数解解析设每天出动的A 型卡车数为 x, 第 23 页,共 37 页 就 0x7,每天出动的B 型卡车数为y,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精

31、品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载就 0 y4,由于每天出车的驾驶员最多 9 名,就 xy9,每 天 要 完 成 搬 运 任 务 , 就 48x 60y360,每天公司所花成本费用为 252y. z 160x本题即求满足不等式组0x7,0y 4,xy 9,48x60y 360.且使 z 160x252y 取得最小值的非负 整数 x 与 y 的值不等式组表示的平面区域,即可行域如细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结

32、精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图所示,其可行域为四边形ABCD 区域 含边界线段 ,它的顶点是 A5 2, 4,B7,2 5,C7,2,D5,4结合图象可知,在四边形区 域上, 横坐标与纵坐标都是非负整数的点只有 P13,4、P24,3、P34,4、P45,2、P55,3、D5,4、P66,2、P76,3、P87,1,C7,2共 10 个点作直线 l：160x252y0. 将 l 向上方作平行移动,可发觉它与上 述的 10 个点中最先接触到的点是 P45,2,所以在点 P45,2处,得到的z 的值最小zmin160 5252 2130

33、4. 答：当公司每天出动A 型卡车 5 辆, B型卡车 2 辆时,工司的成本费用最低 . 变式迁移 7 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 25 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载x2y8已知 x,y 满意 2xy8 目标函x N *, yN*数为 z3xy,求得 x4,y0 时, zmax12.但题中要求 x、yN*,请调整一下最优解与目标函数的最大值解析0.N*,x4,y0 不在可行域内, 不是最优解在可行域内

34、z12 时仅有 x4,y0,z 最大取不到 12,x、yN*,z3x yN*,考虑 z3xy11 时取最大,而此时可行域内有 x3,y 2 使 z11,最优解为 x3,y2,zmax11. 题型八线性规划与其它学问的综合x 0,例 8 设不等式组y0,所ynx3n,表示的平面区域为 Dn,设 Dn 内的整点个数为 annN *整点即横坐标和纵坐标均为整数的点 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 26 页,共 37 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

35、学习必备 欢迎下载1求数列 an的通项公式；2记数列 an的前 n 项和为 Sn,且 Tn32 Sn n1,如对于一切正整数 n,总有 Tnm,求实数 m 的取值范畴解析 1由 x 0, nx 3ny0,得 0x3, x1 或 x2. Dn 内的整点在直线x1 或 x2 上记直线 y nx3n为 l,l 与直线 x1、x2 的交点的纵坐标分别为y1、y2,就 y1 n3n2n,y2 2n3nn,an3nnN *2Sn 31 2 3 n 3n n1 2,n n1 第 27 页,共 37 页 Tnn n1 n 2Tn1Tnn1 n22n12n细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载n1 2n 2 n1,当 n3 时,T