2022年上海市高中数学知识点总结.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载高中数学学问点总结 1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互 异性、无序性” ；如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y ylgx,A、B、C中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 的特别情形；留意借助于数轴和文氏图解集合问题；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集； 3. 如：集合A2 x x2x30,Bx ax12n；如BA,就实数 的值构成的集合为（答：1, ,01）3留意以下性质：（ ）集合a 1,a

2、2, ,an的全部子集的个数是（ ）如ABABA,ABB；（3）德摩根定律： 4. C UABCUAC UB,C UABC UACUB,求实数a你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）如：已知关于x的不等式ax50 的解集为M,如3M且5M2 xa的取值范畴；（3M,a350a1,59,25） 第 1 页,共 45 页 2 3a5M,a55032 5a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载,“ 且” 和5

3、. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或”“ 非” .如 p q 为真,当且仅当 p、 均为真如 p q 为真,当且仅当 p、 至少有一个为真如 p 为真,当且仅当 p 为假 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假； 7. 对映射的概念明白吗？映射f ：AB,是否留意到A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B 中有元素无原象；） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

4、Fxf x fx的定例：函数yx4x2的定义域是 10. lgx3（答：0,22,33,4）如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数义域是 _；（答：a,a） 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 12. 学习必备欢迎下载如：fx1exx,求f x .令tx1,就t0 xt21 f t et21t

5、21f x ex21x21x0反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域） 13. 如：求函数f x 1xxx0的反函数2x0（答：f1 x1xxx10）反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性； 14. 设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf u ,u ,就yff 为增函数,否就f 为减函数；） 第 3 页,共 45 页 （外层）（内层）

6、 当内、外层函数单调性相同时细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如：求ylog 1x22x学习必备欢迎下载的单调区间2（设uux22x,由u20 就0x2且log 1,x1u1,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x 1,2时,u,又log1u,y2 ） 15. 如何利用导数判定函数的单调性？ 第 4 页,共 45 页 - - - - - - - - - 在区间a,b内,如总有fx0就f x

7、 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如fx0 呢？如：已知a0,函数f x x3ax 在1,上是单调增函数,就a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f 3x2a3xaxa033就xa或xa33由已知f x 在1,上为增函数,就a1,即a33a 的最大值为3） 16. 函数 fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（fx 定义域关于原点对称）如fx

8、f x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：（1）在公共定义域内： 两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；42x1,如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a2x11 时,f x （f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）021又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0,x求f x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xx4x2xx1,

9、0又f 0,f x 44x11x01）xx0,f x ,就f x 为周期2x 17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xT函数, T 是一个周期；）如：如f xaf x ,就 第 5 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（答：f x 是周期函数,T2学习必备欢迎下载a 为f x 的一个周期）又如：如 f x 图象有两条对称轴 x a,x b即 f a x f a x ,f

10、 b x f b x 就 f x 是周期函数,2 a b 为一个周期如： 18. 你把握常用的图象变换了吗？f x 与fx的图象关于y轴 对称a a f x 与f x 的图象关于x轴 对称f x 与fx的图象关于 原点 对称f x 与f1 的图象关于 直线yx对称f x 与f2ax的图象关于直线xa对称f x 与f 2 ax的图象关于 点 a,0 对称将yf x 图象左移a a0 个单位yf x右移yf xa a0 个单位上移b b0 个单位yf xa b下移b b0 个单位yf xa b留意如下“ 翻折” 变换：f x f x 第 6 页,共 45 页 f x f| |细心整理归纳 精选学习

11、资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如： f x log 2x1ylog2x学习必备欢迎下载作出ylog2x1及1的图象y y=log 2x O 1 x 19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：ykxkb k00ybxkak0是中心O a,b （ ）反比例函数：yk推广为x的双曲线；（ ）二次函数y2 axbxc a0a xb24acb2图象为抛物线2 a4 a顶点坐标为b,4 acab

12、2,对称轴xb2 a42 a开口方向：a0,向上,函数ymin4acb2b24 aa0,向下,ymax4 aca4应用：“ 三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载关系二次方程ax2bxc0,0时,两根x1、x2为二次函数yax2bxc 的图象与x轴的两个交点,也是二次不等式ax2bxc00解集的端点值；求闭区间 m,n上的最值；求区间

13、定（动）,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；0如：二次方程ax2bxc0的两根都大于kbk2af k 0y a0 O k x1x 2x 一根大于k,一根小于kf k 0（ ）指数函数：yaxa0,a1（ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！0a1 （ ）“ 对勾函数”yxk x k0 第 8 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载利用它的单调性求最值与利用均值

14、不等式求最值的区分是什么？y k 20. O kx 你在基本运算上常显现错误吗？ 21. 指数运算：a01a0 ,ap1a0 0,Nb0p aamnama0 ,amn1 a0 nnNMm a对数运算：logaMNlogaMlogalogaMlogaMlogaN,loganM1logaMNn对数恒等式：alogaxxmbnnloga对数换底公式：logablogcblogaclogam如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（1）xR,f x 满意f xyf x f y ,证明f x 为奇函数； 第 9 页,共 45 页 （先令xy0f 0再令yx, ）（ ）xR,f x 满意f xyf

15、x f y ,证明f x 是偶函数；（先令xytfttf tt ftftf t f t 1x2 ftf t ）（ ）证明单调性：f x2fx2x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法）,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值： 23. （ ）y2x3134x ,半径为R的弧长公（ ）y2x4x3（

16、）x3,y2x2x3（ ）yx49x2设x3cos,0,（ ）y4 x9,x 0,1 x你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为式和扇形面积公式吗？（lR,S 扇1lR1R2）22R 1 弧度O R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP,cosOM,tanAT 第 10 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载y B S T P 如：如80,就sin,cos,M A x

17、O tan的大小次序是又如：求函数y12cos2x的定义域和值域；（12cos2x）12sinx0sin x2,如图：4kZ,0y1222 k5x2 k4 25. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗？细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -sinx1,cosxy1tgx学习必备欢迎下载y x 2O 20,kZ对称点为k2,ysin 的增区间为2k2,2k

18、2kZAcosx 第 12 页,共 45 页 减区间为2k2,2k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为xk2kZycos 的增区间为2k,2kkZ减区间为2k,2k2kZ图象的对称点为k2,0,对称轴为xkkZytan 的增区间为k2,k2kZ26. 正弦型函数y = Asinx +的图象和性质要熟记；或y（ ）振幅|A|,周期T2,求出 与 ,依点| |如f x0A,就xx0为对称轴；如f x00,就x0,0为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令x依次为0,2, ,3,22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

19、 - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（x,y）作图象；（ ）依据图象求解析式；（求A、值）x 10 27. 如图列出x22解条件组求、值正切型函数yAtanx,T| |在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴； 28. 如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x13）263412在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？ 29. 如：函数ysinxsin| |的值域是0,y2,2）（x0 时,y2sinx2,2,x0时,y娴熟把握三角函数图

20、象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ ）点 （ , ）2学习必备欢迎下载hyk0ah,kP （x,y）,就xx平移至yyk（ ）曲线f x,y 0 沿向量ah,k平移后的方程为f xh,如：函数y2sinx41的图象经过怎样的变换才能得到ysinx的图象？（y 2 sin 2 x 1 横坐标伸长到原先的 2 倍 y 2 sin 2 1 x 14 2

21、4左平移 个单位2 sin x 1 4 y 2 sin x 1 上平移 1 个单位y 2 sin x4纵坐标缩短到原先的 1 倍2 y sin x） 30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1 sin 2cos 2sec 2tan 2tancot cossec tan4sin cos 0 称为 的代换；2“k” 化为 的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,2“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶数；如： cos 9 tan 7 sin 214 6又如：函数 y sin tan,就 的值为cos cot A. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值（ycos sinc

22、os sincos sincos 22 cossin 11 0,0）sin 31. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？懂得公式之间的联系：sinsincoscossin令sin22sincos 第 14 页,共 45 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -coscoscossinsin学习必备欢迎下载2cos2sin2令costantantan,tan2cos21112sin21tantantan22t

23、an2 coscos221tan2sin21cos2asinbcosa2b2sin2basincos2sin4sin3cos2sin3应用以上公式对三角函数式化简；（化简要求：项数最少、函数 种类最少,分母中不含三角函数,能求值,尽可能求值；）详细方法：（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；如：已知sincos1,tan2,求tan2的值； 第 15 页,共 45 页 - - - - - - - - - 1cos 23（由已知得：sincoscos1,tan12sin22sin2又 tan2 3tan

24、2tan1tantan12111）3 22tantan832 32. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcos Ab2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：aAbBcC2Ra2RsinA 第 16 页,共 45 页 - - - - - - - - - b2RsinBsinsinsinc2RsinCS

25、1absinC2ABC,ABCsinABsinC,sinA2BcosC2如ABC中,22 sinA2Bcos 2 C1（ ）求角C；（ ）如a2b2c2,求cos2Acos2B的值；2（1）由已知式得：1cosAB22 cosC11又ABC,22 cosCcosC10cos C1或cos C1（舍）2又0C,C3（ ）由正弦定理及2 a2b21c2得：22sin2A22 sinB3sinCsin2341cos 2 A1cos 2B334cos 2 Acos 2 B）4 33. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsin x2,2,x1,1细心整理归纳 精选学习资料 - - - -

26、 - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 34. 学习必备欢迎下载a 或xa反余弦：arccosx0,x1,1反正切：arctanx2,2,xR不等式的性质有哪些？（ ）ab,c0acbcc0acbc（ ）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（ ）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,| |ax如：如110,就以下结论不正确选项（）abA a2b2B abb2C a . | | | | |ab |D a bb2a答案： C 35. 利用均值不等式

27、：abab2求最值时,你是否注a2b22 ab a,bR；ab2ab；2意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab或和ab其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：a2b2aa2bab2 aba,bR 第 17 页,共 45 页 2ab当且仅当b 时等号成立；a2b2Rc2abbcca a,b细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当且仅当abc 时取等号；学习必备欢迎下载 36. ab0,m0,n0,就2

28、43）bbm1anaaambnb如：如x0,23 x4的最大值为x（设 y23 x422 1224 3x当且仅当3 x4,又x0,x2 3时,y maxx3又如：x2y1,就2x4y的最小值为）（2x22y2 2x2y1 2 2,最小值为2 2不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；37如：证明111121,穿轴法解得结2 22 32 n（111 11112213 n11n2232n211111 n111223n212）n.解分式不等式f x a a0的一般步骤是什么？g x （移项通分, 分子分母因式分解,x 的系数变为果；） 38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切” ,从最大根的右上方开头细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 45 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -如： x1x12x230学习必备欢迎下载 39. 解含有参数的不等式要留意对字母参数的争论如：对数或指数