2022年-高中数学必备知识点高中数学集合教案2.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022-2022 年高中数学必备学问点高中数学集合教案1、 集合的概念和性质 . 2、 集合的元素特点 . 3、 有关数的集合 . 教学难、重点1、 集合 . 的概念 . 2、 集合 . 元素的三个特点 . 教学过程复习回忆回忆中学代数中涉及“ 集合” 的提法 . 一般地说,一个含有未知数的不等式的全部的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集 . 不等式的解集中涉及到“ 集合” .新课讲授实例数组 1 , 3,5,7. 到两定点距离的和等于两定点间距离的点 . 满意的全体实数 3x-2 x+3.

2、 全部直角三角形 . 高一（ 3）班全体男同学 . 全部肯定值等于 6 的数的集合 . 全部肯定值小于 3 的整数的集合 . 中国足球男队的队员 . 参与 xx 年奥运会的中国代表团成员 . 参与中国加入 WTO谈判的中方成员 . 通过以上实例 . 老师指出：1、定义一般地,某些指定对象集在一起就成为一个集合（集）. 集合中每个对象叫做这个集合的元素 . 上述集合的元素是什么？例的元素为 1,3,5,7. 例的元素为到两定点距离的和等于两定点间距离的点 . 例的元素为满意不等式 3x-2 x+3 的实数 x. 例的元素为全部直角三角形 . 例的元素为高一（3）班全体男同学 . 例的元素为 -6

3、 ,6. 例的元素为 -2 ,-1 ,0,1,2. 例的元素为中国足球男队的队员. 第 1 页,共 23 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例的元素为参与xx 年奥运会的中国代表团成员. 例的元素为参与 WTO谈判的中方成员 . 请同学们举出三个例子,并指出其元素 . 一般地来讲,用大括号表示集合 . 例1 , 3,5,7. 例 到两定点距离的和等于两定点间距离的点 . 例3x -2 x+3 的实解 . 例 直角三角

4、形 . 例 高一（ 3）班全体男同学 . 例 -6 ,6. 例 -2 ,-1 ,0,1,2. 例 中国足球男队的队员 . 例 参与 xx 年奥运会的中国代表团成员 . 例 参与中国加入 WTO谈判的中方成员 . 2、集合元素的三个特点问题及说明A=1, 3 问 3,5 哪个是 A 的元素？A=全部素养好的人 能否表示为集合？A=2, 2,4 表示是否精确？A=太平洋,大西洋 ,B=大西洋,太平洋 是否表示为同一集合？老师指导例3 是集合 A 的元素, 5 不是集合 A 的元素 . 例由于素养好的人标准不行量化,故 A 不能表示为集合 . 例的表示不精确,应表示为 相同 . 由此可知,集合元素具

5、有以下三个特点：确定性A=2,4. 例的 A与 B 表示同一集合,因其元素集合中的元素必需是确定的,也就是说,对于一个给定的集合,其元素的意义是明确的 . 互异性 集合中的元素必需是互异的,也就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同 的. 无序性 集合中的元素是无先后次序,也就是说,对于一个给定集合,它的任何两个元素都是可以交 换的 . 如上例 元素与集合的关系有“ 属于” 及“ 不属于” （也可表示为）两种 . 如 A=2, 4,8,16 4A 8A 32A.A=2,4 ,B=1 , 2 ,2 ,3 ,2 ,4 ,3 ,5. 请同学们考虑：A 与 B 的关系如何？虽然 A本身是一

6、个集合 . 但相对 B 来讲, A 是 B 的一个元素 . 故 AB.3、常见数集的专用符号 N：非负整数集（或自然数集）（全体非负整数的集合）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -N*或 N+：正整数集（非负整数集 N内排除 0 的集合）Z：整数集（全体整数的集合）Q：有理数集（全体有理数的集合）R：实数集（全体实数的集合）请同学们熟记上述符号及其意义. . 课堂练习：课本P5 1、（口答）说出下

7、面集合中的元素 大于 3 小于 11 的偶数 其元素为 4,6,8,10 平方等于 1 的数 其元素为 -1 , 1 15 的正约数 其元素为 1,3,5,15 2、用符号或填空1N0N - 3N0.5 N2N1Z0Z - 3Z0.5 Z2Z1Q0Q - 3Q0.5 Q2Q1R0R - 3R0.5 R2R课时小结：1、 集合的概念中,“ 某些指定的对象” ,可以是任意的具体确定的事物,例如数、式、点、形、物等 . 2、 集合元素的三个特点：确定性、互异性、无序性,要娴熟运用之 . 高中数学集合部分学问点一集合学问1. 基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用. 2. 集合的

8、表示法：列举法、描述法、图形表示法. 3. 集合元素的特点：确定性、互异性、无序性. 4. 集合运算：交、并、补. 5. 主要性质和运算律（1）包含关系：（2）等价关系：（3）集合的运算律：交换律：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -结合律 : 安排律 :. 0-1 律：求补律： ACUA= ACUA=U CUU= CU =U CUUCUA=A 反演律： CUAB= CUA CUB 6. 有限集的

9、元素个数CUAB= CUA CUB定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card A规定 card =0. 基本公式：3 cardCUA= cardU- cardA （4）设有限集合 A, cardA=n, 就A 的子集个数为；A 的真子集个数为；A 的非空子集个数为；A 的非空真子集个数为 . （5）设有限集合 A、B、C, cardA=n,cardB=m,m00” , 就找“ 线” 在x 轴上方的区间；如不等式是“ b 解的争论；一元二次不等式 ax2+box0a0 解的争论 . 2. 分式不等式的解法（1）标准化：移项通分化为 0 或 0 在上单调递减,在上单调递增,就应当立刻

10、知道函数对称轴是或者,我说在上,也应当立刻可以想到m,n 实际上就是方程的 2 个根细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -5、熟识命题的几种形式、可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“或” ,“且”和“非”.如pq为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p为真,当且仅当p 为假命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同

11、假；6、熟识充要条件的性质（高考常常考）满意条件,满意条件,如；就是的充分非必要条件；A中元素的任意性和B 中与之对如；就是的必要非充分条件；如；就是的充要条件；如；就是的既非充分又非必要条件； 7. 对映射的概念明白吗？映射f ：A B,是否留意到应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？（一对一,多对一,答应B中有元素无原象；）B中有 n 个元素,就从A到 B的映留意映射个数的求法；如集合A 中有 m个元素,集合射个数有 nm个；个；到的函数有个,如：如,；问：到的映射有个,到的映射有如,就到的一一映射有个；函数的图象与直线交点的个数为个； 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？

12、（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同；定义域一样 两点必需同时具备 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数yx4x2的定义域是lgx3（答：0,22,33,4）函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零；细心整理归纳 精选学习资料 正切函数xR,且xk2,k 第 7 页,共 23 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -余切函

13、数反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1 ,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1 ,值域是 0, ,函数 yarctgx 的定义域是 R ,值域是 . ,函数 y arcctgx的定义域是 R ,值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域；10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx的定义域是 _；复合函数定义域的求法：已知的定义域为,求的定义域,可由解出 x 的范畴,即为的定义域；例如函数的定义域为,就的定义域

14、为；分析： 由函数的定义域为可知：；所以中有；解： 依题意知：解之,得的定义域为11、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到；例 求函数 y=的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一；例、求函数 y=-2x+5 , x-1 ,2 的值域；3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 23 页 - - - - -

15、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a yb2型：直接用不等式性质k+xb. ybxn型, 先化简,再用均值不等式x2mx例： yxx111+x2x+12c yx2xmxn n型 通常用判别式x2mxd. yx2mxn型n法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉例： yx2xx2 1 （x+1） （x+1）+1 （x+1）x1112111x14、反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域；例 求函数 y=值域；5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的

16、值域；我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性；例 求函数 y=,的值域；yx e1x e1y01yx e11yy2sin1|sin| |1y| 1,1sin2yy2sin12sin1y 1cos 1cos2sinycos1y4y2sinx 1y ,即sinx 42 y又由sinx 1 知1y142 y解不等式,求出y,就是要求的答案6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容例求函数 y=（2x10）的值域 7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

17、 - - 第 9 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -函数公式模型；换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用；例 求函数 y=x+的值域；8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,一目了然,赏心悦目；例：已知点 P（x.y ）在圆 x 2+y2=1 上,的直线 .R 1xy2的取值范畴 2y-2x 的取值范畴解:1 令xy2k ,就yk x2,是一条过 -2,0 dR d 为圆心到

18、直线的距离 ,R为半径 2令y-2xb ,即y2xb0, 也是直线 d d例求函数 y=+的值域；解：原函数可化简得：y= x-2 + x+8 上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（ 2）, B（-8 ）间的距离之和；由上图可知：当点 P在线段 AB上时,y= x-2 + x+8 = AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时,y= x-2 + x+8 AB =10 故所求函数的值域为：10 ,+）例求函数 y=+ 的值域解：原函数可变形为：y=+ 上式可看成 x 轴上的点 P（x,0）到两定点 A（3,2）, B（-2 ,-1 ）的距离之和,由图可知当点P为线段与x 轴的

19、交点时,y= AB = = ,故所求函数的值域为 ,+）；例求函数 y= - 的值域细心整理归纳 精选学习资料 解：将函数变形为：y= - 第 10 页,共 23 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上式可看成定点A（3,2）到点 P（ x,0 ）的距离与定点B（-2 ,1）到点 P（x,0）的距离之差；即：y= AP - BPAB与 x 轴的交点时,如点P1,就构成ABP由图可知：（ 1）当点 P在 x 轴上且不是直线1,依据三角形两边之差小于

20、第三边,有 AP1 - BP1 AB = = 即： - y（2）当点 P 恰好为直线 AB与 x 轴的交点时,有 综上所述,可知函数的值域为：（- ,- ）； AP - BP = AB = ；注：求两距离之和时,要将函数式变形,使 A,B 两点在 x 轴的两侧,而求两距离之差时,就要使两点 A,B在 x 轴的同侧；9 、不等式法利用基本不等式 a+b 2, a+b+c3（a,b,c）,求函数的最值,其题型特点解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧；例：x22 xx0x11 3x+3-2x x 33 abc 3 时,留意使 13 者的乘积

21、变成常数） =x 2 x 3-2x0x1.5 3 3 xx x =x应用公式 x 3-2xa+b+c x3 应用公式abcabc3 时,应留意使3者之和变成常数）3倒数法有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况例求函数 y=的值域21220y1yx2x3x20 时,1x21xyx2x2x20 时, =00y12多种方法综合运用细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -总之,在具

22、体求某个函数的值域时,第一要认真、认真观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法；12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂f x 如：fx211ex0x,求f x .ex2 1xx 13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、y；注明定义域）如：求函数f x 1xx0x0的反函数2x0（答：f1 x1xx1）x在更多时候,反函

23、数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应 了大便利；请看这个例题：xx. 全国理 函数的反函数是（ B ）By=x22x+2 x1 A y=x 2 2x+2 x1 Cy=x 2 2x x=1. 排除选项 C,D. 现在看值域；原函数至于为 y=1, 就反函数定义域为 x=1, 答案为 B. 我题目已经做完了,似乎没有动笔（除非你拿来写 * 书）；思路能不能明白呢？14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的 y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原

24、函数关于直线 =x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y,x）关于直线y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如（04. 上海春季高考）已知函数,就方程的解_.

25、1 对于这一类题目,其实方法特殊简洁,呵呵；已知反函数的 y, 不就是原函数的 x 吗？那代进去阿,答案是不是已经出来了呢？（也可能是告知你反函数的 x 值,那方法也一样,呵呵；自己想想,不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判定函数单调性的方法有三种：1 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx 2 之间的大小关系可以变形为求的正负号或者与 1 的关系2 参照图象：如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx 在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx

26、在关于点 a ,0 的对称区间里具有相反的单调性；（特例：偶函数）3 利用单调函数的性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的c0 时,它们是反向函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的；当变化的；假如函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1x f2x 和它们同向变化；（函数相加）假如正值函数 f1x ,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们同向变化；假如负值函数 f12 与 f2x 同向变化,就函数 f1xf2x 和它们反向变化；（函数相乘）函数 fx 与在 fx 的同号区间里反向变化；如函数 u x ,x , 与函数y Fu ,u , 或u ,

27、同向变化,就在 , 上复合函数 yF x 是递增的；如函数 u x,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数yF x 是递减的；（同增异减）如函数 yfx是严格单调的,就其反函数xf1y 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同；fg ylog 1gx 2 xfgx fx+gx数fx*gx 都 是 正增增 增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减如：求x2的单调区间2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

28、- - - - - - - - - - - -（设ux22x,由u0 就0x2且log 1u,ux121,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x 1,2时,u,又log1u,y2 ）16. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f x 0 就 f x 为增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f x 0 呢？如：已知 a 0,函数 f x x 3 ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大值是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f 3 x 2 a 3 x ax a03 3由已知 f x 在 1,

29、上为增函数,就 a1,即 a 33a 的最大值为 3）17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）如fxf x 总成立f x 为奇函数函数图象关于原点对称如函数图象关于y轴对称fxf x 总成立f x 为偶函数留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 23 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；求如：如f x a2xa2为奇函数,就实数a,1 时,f x 42x1,2x1（f x 为奇函数,xR,又0R,f 0即a20a20,a1）021又如：f x 为定义在1,1 上的奇函数,当x0xf x 在1,1上的解析式；（令x1,0,就x0,1,fx42x1x又f x 为奇函数,f x 42x112xxx42xx1,0又f 0,f x 44x11x0,1）2xx0x判定