2022年-学年高中数学北师大必修教学案：复习课解析几何初步Word版含解析 .pdf

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1、复习课 (一)立体几何初步空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图的考查主要有两个方面：一是由几何体考查三视图、二是由三视图还原几何体后求表面积与体积，题型多为选择题、填空题，主要考查空间想象能力，难度低档考点精要 1三视图的画法规则(1)主、俯视图都反映了物体的长度 “长对正”；(2)主、左视图都反映了物体的高度 “高平齐”；(3)左、俯视图都反映了物体的宽度 “宽相等”2表面积(1)多面体的表面积：多面体的各个面都是平面，表面积是各面面积之和(2)旋转体的表面积：S圆柱2 rl2 r2；S圆锥 rl r2；S圆台( Rr)l r2 R2. 3体积(1)柱体： V柱体Sh(S为底面

2、面积， h 为高 )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - (2)锥体： V锥体13Sh(S为底面面积， h 为高 )(3)台体： V台体13(S上S上S下S下)h.其中 S上，S下分别表示台体的上、下底面面积典例 (1)将正方体 (如图所示 )截去两个三棱锥，得到图所示的几何体，则该几何体的左视图为() (2)(重庆高考 )某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为() A.132B.136C.73D.52(3)某空

3、间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是() A124 2 B1882 C28 D2082 解析 (1)图所示的几何体的左视图由点A，D，B1，D1确定外形为正方形，判断的关键是两条对角线AD1和 B1C 是一实一虚，其中要把AD1和 B1C 区别开来，故选B. (2)由三视图可知，原几何体左侧是半圆锥，右侧是圆柱，VV半圆锥V圆柱1213121 122136.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - - - - - - - (3)由三视

4、图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图则该几何体的表面积为S212224222242082，故选 D. 答案 (1)B(2)B(3)D 类题通法 1简单几何体的三视图的问题应从以下几个方面加以把握：(1)搞清主视、左视、俯视的方向，同一物体由于放置的位置不同，所画的三视图可能不同(2)看清简单组合体是由哪几个基本元素组成(3)画三视图时要遵循“ 长对正，高平齐，宽相等” 的原则，还要注意几何体中与投影垂直或平行的线段及面的位置2求不规则几何体的表面积、体积时， 通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积、体积，再通过求和或作差求得几何体的表面积、体积题

5、组训练 1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为 () 解析： 选 D由题目所给的几何体的正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥的组合体，如图所示，可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 2一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是() A4 5，8 B4 5，83C4( 51)，83D8,8 解析： 选 B由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为 2，侧面上的斜高名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -

6、- - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - - 为22125，所以 S侧41225 45，V1322283. 3 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1， E，F 分别为线段AA1，B1C 上的点，则三棱锥D1-EDF 的体积为 _解析 ：VD1-EDF VF-DD1E13SD1DE AB131211116. 答案 ：16与球有关的问题与球有关的组合体是命题的热点，多为选择、填空题，有时也与三视图相结合，主要考查球的表面积与体积的求法，难度低档考点精要 球的表面积与体积(1)球的表面积公式S球4 R2. (2)球的体积公式V球43 R3. 典

7、例 (1)如图所示，平面四边形ABCD 中， ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角线BD 折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD.若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上，则该球的体积为() A.32 B3C.23 D2(2)若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_解析 (1)如图，取BD 的中点 E，BC 的中点 O，连接 AE，OD，EO，AO.由题意，知ABAD，所以 AEBD. 由于平面ABD平面 BCD，所以 AE平面 BCD . 因为 ABADCD1，BD2，所以 AE22，EO12，所以 OA32. 在 RtBDC 中，OB

8、OCOD12BC32，所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 半径为32. 所以该球的体积V4332332.(2)由主视图知，三棱柱的底面边长为2，高为 1，外接球的球心在上下两个三角形中心连线的中点上， 连接球心和任意一个顶点的线段长为球的半径，则 R21222 3321912(其中 R 为球的半径 )，则球的表面积S4 R24 1912193.答案 (1)A(2)193类题通

9、法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的题组训练 1.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1 的半球面上， ABAC， 侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面 ABB1A1的面积为 () A2 B1 C.2 D.22解析： 选 C连接 BC1，B1C 交于点 O，则 O 为平面BCC1B1的中心由题意知，球心为侧面BCC1B1的中心 O，BC 为截面圆的直径，所以 BAC90，则 ABC 的外接

10、圆圆心N 位于 BC 的中点，同理，A1B1C1的外接圆圆心M 位于 B1C1的中点，设正方形BCC1B1的边长为x，在 RtOMC1中，OM x2，MC1x2，OC1R1(R 为球的半径 )，所以x22x221，即 x2，即 ABAC1，所以侧面ABB1A1的面积为212，选C. 2设 A，B，C，D 是球面上的四点，AB，AC，AD 两两互相垂直，且AB3，AC4，AD11，则球的表面积为() A36 B64C100 D144解析： 选 A三棱锥 A-BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它和三棱锥 A-BCD 的外接球是同一个，且体对角线的长为球的直径，若设球的半径为R，

11、则 2R名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - 32421126，故 R3，外接球的表面积S4 R236 ，故选 A. 平行关系、垂直关系的证明空间线、面平行与垂直关系的判断与证明是常考热点，多以空间几何体为载体进行考查常以选择、解答题形式出现，难度中档考点精要 1判定线线平行的方法(1)利用定义：证明线线共面且无公共点(2)利用平行公理：证明两条直线同时平行于第三条直线(3)利用线面平行的性质定理：a ，a ， b?

12、 ab. (4)利用面面平行的性质定理： ， a， b? ab. (5)利用线面垂直的性质定理：a ，b ? ab. 2判定线面平行的方法(1)利用定义：证明直线a 与平面 没有公共点，往往借助反证法(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ，b ， ab? a . (3)利用面面平行的性质的推广： ，a ? a . 3判定面面平行的方法(1)利用面面平行的定义：两个平面没有公共点(2)利用面面平行的判定定理：a ，b ，abA，a ，b ? . (3)垂直于同一条直线的两个平面平行，即a ，a ? . (4)平行于同一平面的两个平面平行，即 ， ? . 4证明直线与平面垂直的方法(1)利用线面

13、垂直的定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面符号表示： ? a ，la? l .(其中 “? ”表示 “任意的 ”) (2)利用线面垂直的判定定理：若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号表示： lm，ln，m ，n ， mnP? l . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - (3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面符号表示：

14、ab，a ? b . (4)利用面面垂直的性质定理：若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面符号表示： ， l，m ，ml? m . 5证明平面与平面垂直的方法利用平面与平面垂直的判定定理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直符号表示： l ， l ? . 典例 如图所示， 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1A1C1，D，E 分别是棱BC，CC1上的点 (点 D 不同于点C)，且 ADDE ，F 为 B1C1的中点求证： (1)平面 ADE平面 BCC1B1；(2)直线 A1F平面 ADE . 证明 (1)因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

15、所以CC1平面ABC. 又 AD平面 ABC，所以 CC1AD. 又因为 ADDE ，CC1DEE，所以 AD平面 BCC1B1. 又 AD平面 ADE ，所以平面ADE平面 BCC1B1. (2)因为 A1B1A1C1，F 为 B1C1的中点，所以 A1FB1C1. 因为 CC1平面 A1B1C1，且 A1F平面 A1B1C1，所以 CC1A1F. 又因为 CC1平面 BCC1B1，B1C1平面 BCC1B1，CC1B1C1C1，所以 A1F平面 BCC1B1. 由(1)知 AD平面 BCC1B1，所以 A1FAD. 又 AD平面 ADE ，A1F平面 ADE，所以 A1F平面 ADE. 类

16、题通法 1平行、垂直关系的相互转化名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2证明空间线面平行或垂直需注意三点(1)由已知想性质，由求证想判定(2)适当添加辅助线(或面 )是解题的常用方法之一(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论题组训练 1已知 m，n 是两条不同直线， ， ，是三个不同平面，下列命题中正确的是() A若 m ，n ，则 mnB若 ， ，则 C若 m ，m ，则 D若 m ，n ，则 mn解析

17、： 选 D平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定，所以A 错；垂直于同一平面的两个平面可以平行也可以相交，所以B 错；平行于同一直线的两平面可以平行也可以相交，所以C 错；垂直于同一平面的两条直线一定平行，所以答案选D. 2如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G 分别是棱B1B，D1D，DA 的中点求证： (1)平面 AD1E平面 BGF ；(2)D1EAC. 证明： (1)E，F 分别是 B1B 和 D1D 的中点，D1FBE 且 D1FBE. 四边形BED1F 是平行四边形，D1EBF. 又 D1E平面 BGF ，BF平面 BGF ，D1E平面 BGF.

18、FG 是DAD1的中位线， FGAD1. 又 AD1平面 BGF，FG平面 BGF ，AD1平面 BGF. 又 AD1D1ED1，平面AD1E平面 BGF. (2)连接 BD，B1D1，底面是正方形，ACBD. D1DAC，D1DBDD， AC平面 BDD1B1. D1E平面 BDD1B1，D1EAC. 折叠问题折叠问题是高考中的常考题型，一般难度相对较大，常与证明问题和探索性问题结合名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - -

19、 - 考查难度中档考点精要 解决折叠问题的基本思路是利用不变求变，一般步骤如下：(1)平面空间：根据平面图形折出满足条件的空间图形想象出空间图形，完成平面图形与空间图形在认识上的转化(2)空间平面：为解决空间图形问题，要回到平面上来，重点分析元素的变与不变(3)平面空间：弄清楚变与不变的元素以后，再立足于不变的元素的位置关系、数量关系去探求变化后元素在空间中的位置关系与数量关系典例 如图，在矩形ABCD 中，AB2AD，E 是 AB 的中点，沿 DE 将ADE 折起(1)如果平面ADE平面 DEC，求证： ABAC；(2)如果 ABAC，求证：平面ADE平面 BCDE . 证明 (1)过点 A

20、 作 AM DE 于点 M，则 AM平面 BCDE ，AM BC.又 ADAE，M 是 DE 的中点取BC 中点 N，连接 MN ，AN，则 MNBC. 又 AMBC，AMMNM，BC平面 AMN ， ANBC. 又 N 是 BC 中点， ABAC. (2)取 BC 的中点 N，连接 AN. ABAC， ANBC. 取 DE 的中点 M，连接 MN ，AM， MNBC. 又 ANMN N，BC平面 AMN ， AMBC. 又 M 是 DE 的中点， ADAE，AM DE . 又 DE 与 BC 是平面 BCDE 内的相交直线，AM 平面 BCDE . AM平面 ADE，平面ADE平面 BCDE

21、 . 折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量题组训练 1如图所示，在正方形ABCD 中， E，F 分别是 BC 和 CD 的中点， G 是 EF 的中点，现在沿着AE 和 AF 及 EF 把正方形折成一个四面体，使B，C，D 三点重合，重合后的点名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 记为 H，那么，在四面体A -EFH 中必有 () AAH E

22、FH 所在平面BAG EFH 所在平面CHF AEF 所在平面DHG AEF 所在平面解析： 选 AADDF ，ABBE，又 B，C，D 重合记为H， AH HF ，AH HE .AH 平面 EFH . 2如图所示，在直角梯形ABEF 中，将 DCEF 沿 CD 折起使 FDA 60，得到一个空间几何体(1)求证： BE平面 ADF ；(2)求三棱锥 E-BCD 的体积解： (1)证明：由已知条件，可知BC AD，CEDF ，折叠之后平行关系不变，又因为 BC平面 ADF ，AD平面 ADF ，所以 BC平面 ADF .同理 CE平面 ADF . 又因为 BC CEC，BC平面 EBC，CE平

23、面 EBC，所以平面BCE平面 ADF . 又因为 BE平面 BCE，所以 BE平面 ADF . (2)因为 DCEC，DCBC，EC平面 EBC ，BC平面 EBC，ECBCC，所以DC平面 EBC.又因为 DF EC，ADBC， FDA 60，所以 ECB60. 又因为 EC1，BC1，所以 SECB12113234. 所以 VE-BCDVD-EBC13DCSECB13134312. 1一块石材表示的几何体的三视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于() 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

24、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - A1B2 C3 D4 解析：选 B由三视图可得原石材为如图所示的直三棱柱A1B1C1-ABC，且 AB 8，BC6，BB1 12.若要得到半径最大的球，则此球与平面A1B1BA，平面BCC1B1，平面ACC1A1相切，故此时球的半径与ABC 内切圆的半径相等，故半径r2.故选 B. 2过平面外两点与这个平面平行的平面() A只有一个B至少有一个C可能没有D有无数个解析： 选 C过这两点的直线若与已知平面平行，则有且只有一个，若与已知平面相交，则不存在故选C. 3已知平面 平面 ， l

25、，则下列命题错误的是() A如果直线a ，那么直线a 必垂直于平面内的无数条直线B如果直线a ，那么直线a 不可能与平面平行C如果直线a ，al，那么直线a平面 D平面 内一定存在无数条直线垂直于平面内的所有直线解析： 选 BA 选项中直线a 必定与平面内无数条平行直线垂直，故正确； B 选项中如果 a ，al，a ，则 a ，故错误；由面面垂直的性质定理可知C 选项正确；在平面 内，垂直于交线l 的直线都垂直于平面 ，也就垂直于平面内的所有直线， 故 D 选项正确4设 ，是两个不同的平面，l 是一条直线，给出下列说法：若 l ， ；则 l ，若 l ， ，则 l ；若 l ， ，则 l ；若

26、 l ， ，则 l . 其中说法正确的个数为() A1 B2 C3 D0 解析： 选 A对于，若 l ， ，则 l或 l ，故错误；对于，若l ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - ，则 l或 l ，故错误；对于，若l ， ，则 l ，故正确；对于，若 l ， ，则 l或 l或 l 或 l 与 斜交，故错误5四面体ABCD 为空间四边形，ABCD，ADBC，ABAD，M ，N 分别是对角线AC 与 BD 的中点，

27、则MN 与() AAC，BD 之一垂直BAC，BD 都垂直CAC，BD 都不垂直DAC，BD 不一定垂直解析： 选 BADBC，ABCD，BDBD， ABD CDB.ANCN.在等腰ANC 中，由 M 为 AC 的中点知 MN AC.同理可得MN BD. 6若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足 l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是() Al1l4Bl1l4Cl1与 l4既不垂直也不平行Dl1与 l4的位置关系不确定解析： 选 D由 l1l2，l2l3，l3l4可知 l1与 l4可能垂直，可能平行，也可能既不垂直又不平行故选D. 7现有橡皮泥制作的底面半径为5，

28、高为 4 的圆锥和底面半径为2，高为8 的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为_解析： 设新的底面半径为r，由题意得13 524 22813 r24 r28，r27， r7. 答案：7 8正三棱柱ABC -A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为4，E，F 分别是 AB，A1C1的中点，则 EF 的长等于 _解析： 如图，取 A1B1的中点 H，连接 EH，FH ，则 EH 4，FH 1. 由正三棱柱的性质知EFH 为直角三角形 所以 EF FH2EH217. 答案：17 9.如图所示，一个正方体的棱长为2，以相对两个面的中心连

29、线为轴，钻一个直径为1的圆柱形孔，所得几何体的表面积为_解析： 几何体的表面积为S622 0.5222 0.52240.5 2 241.5 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - - 答案： 241.5 10一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中 M，N 分别是 AF ，BC 中点 )(1)求证： MN 平面 CDEF ；(2)求多面体A-CDEF 的体积解： (1)证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三

30、棱柱，且ABBCBF 2，DECF 2 2， CBF 90. 取 BF 中点 G，连接 MG ，NG，由 M，N 分别是 AF，BC 中点，可知NGCF ，MGEF . 又 MGNGG，CFEFF，平面 MNG 平面 CDEF . 又 MN平面 MNG ，MN 平面 CDEF . (2)作 AH DE 于 H，由于三棱柱ADE-BCF 为直三棱柱，AH平面 CDEF ，且 AH2. VA-CDEF13S四边形CDEF AH 1322 2283. 11如图所示，在几何体ABCDFE 中， ABC，DFE 都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED 是边长为2 的正方形，且所在平面垂直于平面A

31、BC. (1)求几何体 ABCDFE 的体积；(2)证明：平面ADE平面 BCF . 解： (1)取 BC 的中点为 O，ED 的中点为 G，连接 AO，OF ，FG，AG. AO BC，AO平面 ABC，平面 BCED 平面 ABC，AO平面 BCED .同理 FG 平面 BCED .AOFG3，VABCDFE13432833. (2)证明：由 (1)知 AOFG ，AOFG，四边形AOFG 为平行四边形，AGOF. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 1

32、5 页 - - - - - - - - - 又 DE BC，DE AGG，DE平面 ADE ，AG平面 ADE，FOBCO，FO平面 BCF ，BC平面 BCF，平面 ADE 平面 BCF . 12如图，已知直角梯形ABCD 中， E 为 CD 边中点，且AECD，又 G，F 分别为DA，EC 的中点，将 ADE 沿 AE 折叠，使得DEEC. (1)求证： AE平面 CDE ；(2)求证： FG 平面 BCD；(3)在线段 AE 上找一点 R，使得平面BDR平面 DCB，并说明理由解： (1)证明：由已知得DEAE，AEEC. DE ECE，DE平面 CDE ，EC平面 CDE，AE平面 C

33、DE. (2)证明：取 AB 中点 H，连接 GH ，FH ，GHBD，FH BC，GH平面 BCD，BD平面 BCD，GH平面 BCD . 同理： FH 平面 BCD，又 GH FH H，平面 FHG 平面 BCD，GF平面 FHG ，GF平面 BCD. (3)取线段 AE 的中点 R，则平面 BDR平面 DCB. 取线段 DC 的中点 M，取线段 DB 中点 S，连接 MS，RS，BR，DR，EM . 则 MS 綊12BC，又 RE 綊12BC，MS 綊 RE ，四边形MERS 是平行四边形，RSME . 在 DEC 中， EDEC，M 是 CD 的中点，EM DC. 名师资料总结 - -

34、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 由(1)知 AE平面 CDE，AEBC，BC平面 CDE. EM平面 CDE， EM BC. BCCDC， EM 平面 BCD. EM RS， RS平面 BCD. RS平面 BDR，平面 BDR平面 DCB . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -