2022年Bfyhvm高一数学典型例题分析：三角函数的图象和性质.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载生活需要嬉戏, 但不能嬉戏人生； 生活需要歌舞, 但不需醉 生梦死；生活需要艺术,但不能投机取巧；生活需要士气,但不 能鲁莽蛮干；生活需要重复,但不能重蹈覆辙；- 无名三角函数的图象和性质 典型例题解：在单位圆中,作出锐角 在正弦线 MP,如图 2-9 所示在 MPO中,MP+OMOP=1即 MP+OM1 sin +cos 1 于 P1,P2两点,过 P1,P2分别作 P1M1x 轴, P2M 2x 轴,垂足分细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

2、 - 第 1 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载kZ 【说明】学会利用单位圆求解三角函数的一些问题,借助单位圆求解不等式的一般方法是：用边界值定出角的终边位置； 依据不等式定出角的范畴；在 0 ,2 中找出角的代表；求交集,找单位圆中重叠的部分；写出角的范畴的表达式,留意加周期【例 3】求以下函数的定义域：2sin2x+cosx-1 0 解： 1 为使函数有意义,需满意细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共

3、20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载由单位圆,如图 2-12 所示kZ 【说明】求函数的定义域通常是解不等式组,利用“ 数形结合” ,借助于数轴画线求交集的方法进行 在求解三角函数, 特殊是综合性较强的三角函数的定义域,我们同样可以利用“ 数形结合” ,在单位圆中画三角函数线,求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成4 为使函数有意义,需满意：取 k=0 和-1 时,得交集为 -4 x- 或 0x函数的定义域为 -4 ,- 0 , 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - -

4、 - - - - - - - - - - 第 3 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【说明】求三角函数的定义域要留意三角函数本身的特点和性质,如在转化为不等式或不等式组后要留意三角函数的符号及单调性,在进行三角函数的变形时,要留意三角函数的每一步变形都保持恒等,的取值范畴【例 4】求以下函数的值域：此函数的值域为 y|0 y1 1+sinx+cosx 0 t -1 即不能转变原函数的自变量细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

5、- 第 4 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【说明】求三角函数的值域,除正确运用必要的变换外,仍要留意函数的概念的指导作用,留意利用正、余弦函数的有界性【例 5】判定以下函数的奇偶性：【分析】先确定函数的定义域,然后依据奇函数成偶函数的定义判定函数的奇偶性f1-x=-sin-2x=sin2x=-fx 2 函数的定义域为 R,且f-x=sincos-x=sincosx=fx 函数 fx=sincosx 是偶函数3 因 1+sinx 0, sinx -1 ,函数的定义域为

6、x|x R且 x 2k 既不是奇函数,也不是偶函数【例 6】求以下函数的最小正周期：【分析】欲求三角函数的周期,一般是把三角函数 fx 化成易求周期的函数 y=Asin x+ +b 或 y=Acos x+ +b 的等形式函数 y=Asin 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载“ 多个化一个,高次化一次” ,将所给函数化成单角单函数2y=cos4x+sin4x=cos2x+sin2

7、x2-2sin2xcos2x =|cosx|+|sinx|=fx 正周期细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载x+T|+|cosx+T|=|sinx|+|cosx| |sinT|+|cosT|=sinT 都成立特殊当 x=0 时,有【例 8】求以下各函数的最大值、最小值,并且求使函数取得最大值、最小值的 x 的集合使 y 取得最大值的 x 的集合为 x|x=2k +1 ,kZ 使

8、y 取得最小值的 x 的集合为 x|x=2k ,kZ 当 cosx=1,即 x=2k k Z时, y 取得最大值 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【说明】求三角函数的最值的类型与方法：1形如 y=asinx+b 或 y=acosx+b,可依据 sinx ,cosx 的有界性来求最值；2形如 y=asin 2x+bsinx+c 或 y=acos 2x+bcosx+c 看成是关

9、于 sinx 或 cosx 的二次函数,变为 y=asinx+m 2+k 或 y=acosx+m 2+k,但要留意它与二次函数求最值的区分,此时 |sinx|1,|cosx| 1 【例 9】求以下函数的单调区间：【分析】复杂三角函数的单调区间是运用基本函数的单调性及单调区间得出的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2 函数 y=sin 2x-2sinx+2 ,是由 y=u 2-2

10、u+2 及 u=sinx 及复合而成, |u| 1 【例 10】当 a0,求函数 fx=sinx+acosx+a的最大值、最小值,及相应的 x 的取值【分析】此题对 fx 解析式的变换关键在于熟悉解析式中两项间的内在联系,从而肯定 fx 解析式中的平方关系,另外此题含字母系数,要分清常数和变量,仍要有对字母a 作分类争论的预备2 第 9 页,共 20 页 解： fx=sinx+acosx+a=sinxcosx+asinx+cosx+a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

11、 - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载由于 a 是常数,故这里只要求 y=sinx+cosx+a 2 的最大值、最小值合物线的图象如图 2-14 所示两种可能细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载【说明】象本例这种解析式中含字母系数的函数争论其性质,经常要运用分类争论的思想,其中为什么要分类,怎么分类和争论是两个基本问题【例 11】函数 fx=Asin

12、 x+ 的图象如图 2-15 ,试依图指出1fx 的最小正周期；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 使 fx=0学习必备欢迎下载的 x 的取值集合；3 使 fx 0 的 x 的取值集合；4fx 的单调递增区间和递减区间；5 求使 fx 取最小值的 x 的集合；6 图象的对称轴方程；7 图象的对称中心【分析】这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的表达, 它依据 fx=

13、Asin 得出 x+ 的图象与函数 y=sinx 的图象的关系注：得出函数 fx 的最小正周期之后,争论 fx 的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个周期中争论,再延长到整个定义域中注：实际上 fx 图象的对称轴方程为x=x0,而其中 x0使 fx0=1 或 fx0=-1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载注： fx 的图象的对称中心为 x0,0 ,其中 x0使 fx 0=0

14、 【说明】这种依图读性的问题是提高数形结合才能的重要训练题,其中 有两点要留意反思： 周期性在争论中的化简作用, 三角函数的 “ 多对一”性【例 12】求如图 2-16 所示的函数解析式 0, 0 ,2 【分析】由图象确定函数的解析式,就要观看图象的特性,外形位置和所给的条件通过判定、分析和运算确定A, 、 得到函数的解析式细心整理归纳 精选学习资料 【例 13】设 y=Asin x+ A 0, 0,| 最高点 D的 第 13 页,共 20 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -

15、 - - - - - - - -学习必备 欢迎下载标为 6 ,0 ,1 求 A、 、 的值； 2 求出该函数的频率,初相和单调区间y 单调递增故递增区间为 16k-6 ,16k+2 ,kZ y 单调递减故递减区间为 16k+2 ,16k+10 ,kZ Asin cos ctg Bcos sin ctg Csin ctg cos细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载Dcos ctg

16、 sin 解一 直接法 ：应选 A解二 图解法 ：作出三角函数线,如图 2-17 MP=sin ,OM=cos ,BS=ctg通过观看和度量得 MPOMBS 从而有 sin cos ctg 应选 A cos sin 从而可剔除 B、D再由 sin ctg ,故可剔除 C 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载应选 A 解四 特殊值法 ：B、C、D,应选 A【说明】此例题用多种方法

17、求解选项,指出3 种挑选题的技巧应选 D x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与 x 轴交点中最的图象选 D 【说明】 y=Asin x+ A 0, 0x R的图象可由 y=sinx 的图象经以下各种次序变换得到的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载1 先平移,后伸缩：把 y=sinx 的图象向左 0 或向右 0 沿 x 轴方向平移 | 个单位； 相位变换 周期

18、变换 把全部各点纵坐标伸长 A1 或缩短 0 A1 到原先的 A 倍,横坐标不变 振幅变换 2 先伸缩,后平移把 y=sinx 图象上各点的横坐标缩短 相位变换 1 或伸长 0 1 到原把全部各点纵坐标伸长 A1 或缩短 0 A1 到原先的 A 倍横坐标不变 振幅变换 再把横坐标缩小到原先的一半, 纵坐标扩大到原先的解析式是 4 倍,就所得的图象的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢

19、迎下载选 A【例 17】方程 sin2x=sinx在区间 0 ,2 内解的个数是 A1 B2 C3 D4 【分析】此题有两类解法1 求出方程在 0 ,2 内的全部解,再数其解的个数而打算选项,对于 挑选题,此法一般不用2 在同一坐标系中作出函数y=sin2x 和 y=sinx 的图象,如图 2-18 所示它们在 0 ,2 内交点个数,即为所求方程解的个数,从而应选 C它表达了数、形的结合细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - -

20、 - - - - - - -【例 18】就 f5=_ 学习必备欢迎下载设函数 fx 是定义在 R上的周期为 3 的奇函数,且 f1=2 ,解： fx 是奇函数,且 f1=2 ,f-1=-2 又 fx 是周期为 3 的函数f3+x=fx f-1+3=f-1=-2 即 f2=-2 f2+3=f2=-2 即 f5=-2 【例 19】有一块扇形铁板,半径为 R,圆心角为 60 ,从这个扇形中切割下一个内接矩形, 即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上,求这个内接矩形的最大面积【分析】此题入手要解决好两个问题1 内接矩形的放置有两种情形,如图2-19 所示,应当分别予以处理2 求最大值问题这里应构造函数,

21、怎么挑选便于以此表达矩形面积的自变 量解：如图 2-191 设 FOA= ,就 FGRsin 又设矩形 EFGH的面积为 S,那么细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页,共 20 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载又 0 60 ,故当 cos2 60 1,即 =30 时,如图 2-19 2 ,设FOA ,就 EF2Rsin30 - ,在 OFG中,OGF150设矩形的面积为 S那么 SEFFG4R 2sin sin30 - 2R 2cos2 -30 cos30 又 0 30 ,故当 cos2 -30 1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页,共 20 页 - - - - - - - - -