2022年MATLAB多元函数导数求极值或最优值.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载试验六 多元函数的极值【试验目的】1 多元函数偏导数的求法；2 多元函数自由极值的求法3 多元函数条件极值的求法 . 4 学习把握 MATLAB 软件有关的命令；【试验内容】求函数zx48xy2y23的极值点和极值【试验预备】1运算多元函数的自由极值对于多元函数的自由极值问题,依据多元函数极值的必要和充分条件,可分为以下几个步骤: 步骤 1.定义多元函数 z f x , y 步骤 2.求解正规方程 f x x , y ,0 f y x , y 0 ,得到驻点2 2 2步骤 3.对于每一个驻点

2、 x 0y 0 ,求出二阶偏导数 A z2 , B z , C z2 ,x x y y步骤 4. 对于每一个驻点 x 0y 0 ,运算判别式 AC B 2,假如 AC B 20 ,就该驻点是极值点 ,当 A 0 为微小值 , A 0 为极大值 ;,假如 AC B 2 0 ,判别法失效 ,需进一步判定 ; 假如 AC B 2 0 ,就该驻点不是极值点 . 2运算二元函数在区域 D 内的最大值和最小值设函数 z f x , y 在有界区域 D 上连续,就 f x , y 在 D 上必定有最大值和最小值；求 f x , y 在 D 上的最大值和最小值的一般步骤为：步骤 1. 运算 f x , y 在

3、 D 内全部驻点处的函数值；步骤 2. 运算 f x , y 在 D 的各个边界线上的最大值和最小值；步骤 3. 将上述各函数值进行比较,最终确定出在3函数求偏导数的MATLAB命令D 内的最大值和最小值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -MATLAB精品资料欢迎下载中主要用 diff 求函数的偏导数,用 jacobian 求 Jacobian 矩阵；difff,x,n 求函数 f 关于自变量 x

4、 的 n 阶导数；jacobianf,x 求向量函数 f 关于自变量 xx 也为向量 的 jacobian 矩阵；可以用 help diff, help jacobian 查阅有关这些命令的具体信息【试验方法与步骤】练习 1求函数zx48xy2y23的极值点和极值.第一用 diff 命令求 z 关于 x,y的偏导数clear; syms x y; z=x4-8*x*y+2*y2-3; diffz,x diffz,y 结果为ans =4*x3-8*y ans =-8*x+4*y 即 z 4 x 3 8 y , z 8 x 4 y . 再求解正规方程,求得各驻点的坐标；一般方程组的符x y号解用

5、solve 命令,当方程组不存在符号解时,solve 将给出数值解； 求解正规方程的 MATLAB代码为：clear; x,y=solve 4*x3-8*y=0 , -8*x+4*y=0 , x , y 结果有三个驻点,分别是 P-2,-4,Q0,0,R2,4. 下面再求判别式中的二阶偏导数：clear; syms x y; z=x4-8*x*y+2*y2-3; A=diffz,x,2 B=diffdiffz,x,y C=diffz,y,2 结果为A=2*x2 B =-8 C =4 由判别法可知P4,2和Q4,2都是函数的微小值点,而点Q0,0不是极值点,实际上,P ,42和Q42,是函数的最

6、小值点；当然,我们可以通过画函数图形来观测极值点与鞍点；clear; x=-5:0.2:5; y=-5:0.2:5; X,Y=meshgridx,y; 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载Z=X.4-8*X.*Y+2*Y.2-3; meshX,Y,Z xlabelx,ylabely,zlabelz 结果如图 6.1 图 6.1 函数曲面图可在图 6.1 种不简单观测极值点与鞍点 ,

7、这是由于 z 的取值范畴为 -500,100, 是一幅远景图 ,局部信息丢失较多 ,观测不到图像细节 .可以通过画等值线来观测极值 . contourX,Y,Z, 600 xlabelx,ylabely 结果如图 6.2 图 6.2 等值线图由图 6.2可见 ,随着图形灰度的逐步变浅,函数值逐步减小,图形中有两个明显的微小值点 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - P ,42和Q42,.依据提梯度与等高线之间的关系,梯度的方向是等高线的法方向,且指向函数增加的方向.由此可知 ,极值点应当有等高线围绕,而点Q0 ,0四周没有等高线围绕,不细心整理归纳 精选学习资料 - -

8、- - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载是极值点 ,是鞍点 . 练习求函数zxy在条件xy1下的极值 .构造 Lagrange 函数Lx ,yxyxy1求 Lagrange 函数的自由极值.先求 L 关于x , y,的一阶偏导数clear; syms x y k l=x*y+k*x+y-1; diffl,x diffl,y diffl,k 得Ly,Lx,Lxy,1再解正规方程xyclear; syms x y k 得xx,y,k=solvez1y+k=0, x+k=0, x+y-1

9、=0, x, y, k 1 y 21,进过判定 ,此点为函数的极大值点,此时函数达到最大值. 22练习 3 抛物面x2y2被平面xyz1截成一个椭圆 ,求这个椭圆到原点的最长与最短距离 . 这个问题实际上就是求函数2 2 2f x , y , z x y z2 2在条件 z x y 及 x y z 1 下的最大值和最小值问题 .构造 Lagrange 函数2 2 2 2 2L x , y , z x y z x y z x y z 1 求 Lagrange 函数的自由极值 .先求 L 关于 x , y , z , , 的一阶偏导数clear; syms x y z u v l=x2+y2+z2

10、+u*x2+y2-z+v*x+y+z-1; diffl,x diffl,y diffl,z diffl,u diffl,v 得细心整理归纳 精选学习资料 L2x2x,L2y2y,L2z 第 4 页,共 7 页 xyz - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -Lx2y2z ,Lxy精品资料1欢迎下载z再解正规方程 clear; x,y,z,u,v=solve2*x+2*x*u+v=0, 2*y+2*y*u+v=0, 2*z-u+v=0, x2+y2-z=0

11、, x+y+z-1=0, x, y, z, u, v 得353 ,7113,xy123,z23.33上面就是 Lagrange 函数的稳固点,求所求的条件极值点必在其中取到；由于所求问题存在最大值与最小值（由于函数f 在有界闭集x,y ,z :x25y2z,xyz1,上连续,953；从而存在最大值与最小值）,故由,23 .953f123,12393,最短距离为求得的两个函数值,可得椭圆到原点的最长距离为练习 4 求函数zx2y24x2y7在上半圆x2y216,y0上的最大值和最小值；第一画出等高线进行观测,相应的MATLAB程序代码为：clear; x=-4:0.1:4; y=-4:0.1:4

12、; X,Y=meshgridx,y; Z=X.2+Y.2-4*X-2*Y+7; contourX,Y,Z,100 xlabelx,ylabely 结果如图 6.3 42y 0-2细心整理归纳 精选学习资料 -4-4-2024 第 5 页,共 7 页 图 6.3 等值线 x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -观测图 6.3 可看出,在区域精品资料欢迎下载21,在该点处汉书趣的最D 内部有唯独的驻点,大约位于小值；在圆弧与直线的交点处取得最大值,大约位

13、于4 ,2；下面通过运算加以验证；求函数在区域D 内的驻点,运算相应的函数值；求z 关于 x,y 的偏导数clear; syms x y; z=x2+y2-4*x-2*y+7; diffz,x diffz,y 结果得z2x4,z2y,2 ,解正规方程 0代入原函数,就二xyclear; x,y=solve2*x-4=0, 2*y-2=0, x, y得驻点为 2,1,相应的函数值为2；y求函数在直线边界y04x4上的最大值和最小值；将元函数变为一元函数第一观测此函数图形,相应的zx24x7,4x4 .MATLAB 程序代码为：x=-4:0.01:4; y=x.2-4*x+7; plotx,y;

14、xlabelx,ylabelz 结果如图 6.4所示 40 35 30 25 z 20 15 10 50-4-3-2-101234x 图 6.4 函数图由图 6.4 可看出,当x4时函数取得最大值,x2时函数取得最小值；下面用运算验证；对函数求导 clear; syms x ; z=x2-4*x+7; diffz,x 得dz2x4,可知驻点为x2,而边界点为x4,运算着三个点上的函数值可得当 第 6 页,共 7 页 dxx4时函数取得最大值39,x2时函数取得最小值3；细心整理归纳 精选学习资料 求函数在圆弧边界线上x2y216 ,y0的最大值和最小值；此边界线可用参数方程x4cost,y4s

15、int,0t - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载表示； 就二元函数变为一元函数第一观测此函数图形,相应的z16cos t8sint23MATLAB 程序代码为：t=0:0.01*pi:pi; z=-16*cost-8*sint+23; plott,z; xlabelt,ylabelz 结果如图 6.5所示 40353025z 201510500.511.522.533.5t图 6.5 函数图由图 6.5 可看出, 当t0 5.时函

16、数取得最小值,x时函数取得最大值；下面用运算验证；对函数求导clear; syms t ; z=-16*cost-8*sint+23; diffz,t 得dz18sint8cost, 解正规方程dtclear; t=solve16*sint-8*cost=0, t t.0 4636时numerict %求出 t 的数值,运算着三个点上的函数值可得当得tarctan10 ,4636,边界点为t0 ,2函数取得最小值0.5111,t,x4 ,y0时函数取得最小值39；39 ；综上所述,在点2,1处函数取得最小值2,在点 -4,0处函数取得最大值【练习与摸索】1.求zx4y4z4xy1的极值,并对图形进行观测；y21的交线上2.求函数fx ,yx22y2在圆周x2y21的最大值和最小值；3.在球面x2y2z21求出与点 3,1,-1 距离最近和最远点；4.求函数fx ,y,x2y3z在平面xyz1与柱面x2的最大值；5.求函数zx2y2在三条直线x,1y,1xy1所围区域上的最大值和最小值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -