2022年xx初中九年级数学下册北师大版教案第二章第七节《面积最大是多少》.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、同学学问状况分析同学的学问技能基础：由简洁的二次函数 yx 2开头,然后是 yax 2,yax 2+c,最终是 y=ax-h 2, yax-h 2+k,yax 2+bx+c,同学已经把握了二次函数的三种表示方式和性质；同学的活动体会基础：通过第七节的学习,同学已经经受了由实际问题转化为数学问题的过程,对解决这类问题有了处理体会；二、教学任务分析本节课将进一步利用二次函数解决问题,是上一节内容的进一步升华和提高,详细的教学目标如下： 一学问与技能 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并

2、能够 运用二次函数的学问解决实际问题中的最大 小值二 过程与方法 1通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,培育 同学的分析判定才能2通过运用二次函数的学问解决实际问题,培育同学的数学应用才能三 情感态度与价值观 1经受探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学 方法解决实际问题的体会,并进一步感受数学模型思想和数学学问的应用价值2能够对解决问题的基本策略进行反思,形成个人解决问题的风格3进一步体会数学与人类社会的亲密联系,明白数学的价值,增进对数学 的懂得和学好数学的信心,具有初步的创新精神和实践才能教学重点细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

3、 - - - - - - - - - 第 1 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1经受探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,进一步获得利用数学 方法解决实际问题的体会,并进一步感受数学模型思想和数学学问的应用价值2能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能 够运用二次函数的学问解决实际问题教学难点 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能运 用二次函数的有关学问解决最大面积的问题三、教学过程分析本节课分为五个环节,分别是：创设问题情境引入新课、归

4、纳升华、课堂 练习活动探究、课时小结、课后作业第一环节 创设问题情境,引入新课上节课我们利用二次函数解决了最大利润问题,知道了求最大利润就是求 二次函数的最大值,实际上就是利用二次函数来解决实际问题解决这类问题 的关键是要审清题意,明确要解决的是什么,分析问题中各个量之间的关系,建立数学模型；在此基础上,利用我们所学过的数学学问,逐步得到问题的解 答过程本节课我们将连续利用二次函数解决最大面积的问题活动内容 ：由四个实际问题构成 ABCD,其中 1问题一：如下图,在一个直角三角形的内部作一个长方形 AB 和 AD 分别在两直角边上细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -

5、- - - - - - 第 2 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1设长方形的一边ABx m,那么 AD 边的长度如何表示？2设长方形的面积为 y m 2,当 x 取何值时, y 的值最大？最大值是多少？问题一的设计目的 ：对于这个问题,老师将其作为例题,不论是对问题本身的分析,仍是详细的解法过程,都将作出细致、规范的讲解和示范；详细的过程如下：分析： 1 要求 AD 边的长度,即求 BC边的长度,而 BC是EBC中的一边,因此可以用三角形相像求出 BC由 EBCEAF,得 EB BC 即

6、 40 x BC所以 ADEA AF 40 30BC3 40 x 42要求面积 y 的最大值,即求函数 yABADx3 40x的最大值,4就转化为数学问题了下面请小组开头争论并写出解题步骤1 BC AD,EBCEAFEBBCEAAF又 ABx,BE40x,细心整理归纳 精选学习资料 40xBC BC3 40x4 第 3 页,共 29 页 4030ADBC3 40x3043 x42yAB ADx303 x43 x 230x4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -

7、- - -3 x 240x400400 43 x 240x400300 43 x20 23004当 x20 时, y 最大300即当 x 取 20m 时, y的值最大,最大值是 300m 22问题二：将问题一变式：“ 设解： DC AB, FDC FAEDCFDAEFAADx,FD30xDC 30 x40 30DC4 30 x3ABDC4 30x3 yAB ADx4 30x 34 x 240x34 x 230x225225 34 x15 23003当 x15 时, y 最大300AD 边的长为 x m,就问题会怎样呢？”即当 AD 的长为 15m 时,长方形的面积最大,最大面积是 300m 2

8、活动目的 ：在活动解决之初（末）,揭示该问题与问题一的关系细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3问题三：对问题一再变式如图 ,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ,其中点A 和点 D 分别在两直角边上 ,BC 在斜边上 . 1.设矩形的一边 BC=xm,那么 AB 边的长度如何表示？2.设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时 ,y 的最大值是多少 . 活动目的：有了前面两题作基础,这个问题

9、可以留给同学自己解决,作为练习4问题四：某建筑物的窗户如下图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长 图中全部黑线的长度和 为 15m当 x 等于多少时,窗户通过的光 线最多 结果精确到 0.01m？此时,窗户的面积是多少？分析： x 为半圆的半径,也是矩形的较长边,因此x 与半圆面积和矩形面积都有关系要求透过窗户的光线最多,也就是求矩形和半圆的面积之和最大,即 2xy2x 2 最大,而由于4y4x 3x x 7x4y x 15,所以y 第 5 页,共 29 页 157xx面积S1 x 2 2xy21 x 2 2x2157xx1 x 2244细心整理归纳 精选学习资料 - -

10、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x157xx 3.5x 27.5x,这时已经转化为数学问题即二次函数了,只要2化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可解： 7x4y x15,y15 7 x x4设窗户的面积是 Sm 2,就S1 x 22xy21 x 22x15 7 x x2 41 x 2x 15 7 x x 2 2 3.5x 27.5x 3.5x 215 x 7 3.5x15 21575 14 392当 x15 1.07 时,14S最大1575 4.02392

11、即当 x1.07m 时, S 最大4.02m 2,此时,窗户通过的光线最多实际教学成效：问题四中的数量关系,较前面 同学准时的指导和帮忙；其次环节 归纳升华 活动内容：3 个问题,处理起来比较繁琐,老师要赐予同学们能否依据前面的例子作一下总结,解决此类问题的基本思路是什么 呢？与同伴进行沟通活动目的：通过前面例题的学习和感受,同学争论沟通,在老师的帮忙下归纳出：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

12、基本流程为：懂得题目分析已知量与未知量转化为数学问题解决此类问题的基本思路是：1懂得问题；2分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；3用数学的方式表示它们之间的关系；4做函数求解；5检验结果的合理性,拓展等xx 环节 课堂练习,活动探究 活动内容：1.用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成 ,另三面用竹篱笆围成 ,并且在与砖墙相对的一面开2 米宽的门 不用篱笆 ,问养鸡场的边长为多少米时 ,养鸡场占地面积最大 .最大面积是多少 . 2.正 方 形ABCD边 长5cm, 等 腰 三 角 形PQR,PQ=PR=5cm,QR=8cm,点 B、 C、 Q、R 在同始终线 l 上,

13、当 C、Q 两点重合时,等腰PQR 以 1cm/s 的速度沿直线 l 向左方向开头匀速运动, ts 后正方形与等腰三角形重合部分面积为 Scm 2,解答以下问题： 1当 t=3s 时,求 S的值；2当 t=3s 时,求 S 的值；3当 5st8s 时,求 S 与 t 的函数关系式,并求 S 的最大值；第四环节 课时小结本节课我们进一步学习了用二次函数学问解决最大面积的问题,增强了应用数学学问的意识,获得了利用数学方法解决实际问题的体会,并进一步感受了数学建模思想和数学学问的应用价值第五环节 课后作业习题 28 1、2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -

14、- - - 第 7 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、同学学问状况分析同学的学问技能基础：同学经过上一节课的学习,对于抛物线已经有了初 步的熟悉,可以利用描点法作出抛物线的图象；对于抛物线的图象外形、开口 方向、对称轴、顶点坐标有所明白；能够依据图象熟悉和懂得二次函数的性质；同学活动体会基础：同学在上节课经受利用描点法作出抛物线的图象的活动过程,因此对于作出二次函数y2 ax 和y2 axc 的图象不会存在太大问题；由于二次函数的图象比较直观,因此在分析两个或者多个二次函数的图象外形、

15、开口方向、对称轴、顶点坐标时,也有了上一节课的活动基础；二、教学任务分析本节课要争论的问题是关于函数y2 ax 和y2 axc 的图象的作法和性质,逐步积存争论函数图象和性质的体会为此,本节课的教学目标是：学问与技能数y1. 能作出二次函数y2 ax 和y2 axc 的图象,并能够比较它们与二次函 第 8 页,共 29 页 2 ax 的图象的异同,懂得a 与 c 对二次函数图象的影响；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2

16、. 能说出二次函数y2 ax 和y2 axc 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；过程与方法经受探究二次函数y2 ax 和y2 axc 的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的体会；情感态度与价值观体会二次函数是某些实际问题的数学模型,由好玩的实际问题,使同学能积极参与数学学习活动,对数学有奇怪心和求知欲；教学重点 ：y2 ax 和yax2c 图象的作法和性质c 的图象的异同,懂得a教学难点 ：能够比较y2 ax 、y2 ax 和y2 ax与 c 对二次函数图象的影响；三、教学过程分析“ 刹车距离” 是二次函数关系的应用之一,本节借助晴天和雨天刹车距离的不同,引出二

17、次函数y2 ax 的系数 a 对图象的影响由此可知二次函数是某些实际问题的数学模型由现实生活中的“ 刹车距离” 联系到二次函数,说明数学应用的广泛性及有用性；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -在教学中,由实际问题入手,能激起同学的学习爱好和信心,运用类比的学习方法,通过与y2 x 的图象和性质的比较,总结出它们的异同,从而更进一步地把握不同形式的二次函数的图象和性质本节课设计了六个教学环节：情境

18、创设、新课讲解、做一做、议一议、课 堂小结、布置作业；第一环节 情境创设活动内容 ：1.二次函数 yx 2与 y=-x 2的图象一样吗？它们有什么相同点？不同点？2.二次函数是否只有 yx 2 与 y-x 2 这两种呢 .有没有其他形式的二次函数？活动目的 ：以问题串的形式引导同学逐步深化的摸索,在复习的同时,开 门见山的引出新课内容；实际教学成效： 同学对于 yx 2 与 y x2这两种特别简洁的二次函数图象的懂得特别深刻,可以很快的说出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标,并且会主动的对它们进行比较（这两个图象关于x 轴对称,本身又关于y 轴对称,顶点在一起 ）,说明同学对于抛物线的概念与性质

19、的懂得是比较深刻的；其次环节 新课讲解活动内容 ：细心整理归纳 精选学习资料 1. 给出 s1 v 1002的图象,在同始终角坐标系内作出函数s=1 v 502的图象； 第 10 页,共 29 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2. 比较 s=1 v 2和 s1001 v 502的图象；活动目的 ：可以利用描点法作出表格、图象三者之间的联系,也为比较s=1 v2的图象,体会二次函数表达式、50s=1 v2 和 s1001 v2 的图象做好预备；

20、50实际教学成效： 同学作图象的才能比较抱负,绝大多数同学没有存在什么 困难,由于画图象只需要三个步骤,即列表、描点、连线；由于两个图象特别直观,同学可以一边观看图象,一边对两个图象进行比较；同学经过争论得出 了答案：1.相同点： 1它们都是抛物线的一部分；2二者都位于s 轴的左侧； 3函数值都随 v 值的增大而增大；2.不同点： 1s=1 v 2 的图象在 s=501 v2的图象的内侧； 2s= 1001 v 502的 s比 s1 v 1002中的 s增长速度快；xx 环节 做一做活动内容 ：1.在同一坐标系中作二次函数y=x2和 y=2x2的图象1完成下表：x3 2 1 0 1 2 332

21、 y=x9 4 1 0 1 4 9 2 y=2x1882028182 分别作出二次函数y=x2和 y=2x2 的图象细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 二次函数 y2x2的图象是什么外形 .它与二次函数 y=x 2的图象有什么相 同和不同 .它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 .活动目的 ：让同学作出完整的二次函数图象（在其次环节只是画了一半的图象,缘由是速度只能是正数）,然后用自己的

22、语言进行描述图象的性质,初步体验二次函数y2 ax 的系数 a 对图象的影响；实际教学成效： 同学基本上可以用自己的语言对两个图象进行比较,但是摸索得不是很完整,需要老师准时的补充或者提示,老师可以引导同学从顶点、对称轴、增长速度等角度进行摸索,从而深刻的懂得二次函数的性质；第四环节 议一议活动内容 ：1.在同始终角坐标系内作出函数y2x2与 y2x 2+1 的图象,并比较它们的性质2.在同始终角坐标系内作出函数y3x2与 y3x2-1 的图象,并比较它们的性质活动目的 ：对二次函数性质的巩固与拓展,从图象直观懂得函数之间（a 相同）的平移关系,培育同学的动态思维；实际教学成效： 同学通过观看

23、图象,发觉两个图象是“ 全等的” ,开口方向、对称轴都是一样的,只是顶点不一样,向上移动了1 格；有几个思维活跃的同学立刻就开头探究移动的缘由,发觉 y2x 2+1 比 y2x2 的 y 值多 1,就向上移动了一格；这时,老师可以拓展一下：假如减 1 呢,结果会怎样？减 2呢？这样就把其次个问题也解决了；在老师的引导下,同学可以总结出这样的细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -发觉： yax2+c

24、 的图象可以看成y=ax2的图象整体上下移动得到的,当c0 时,向上移动 c 个单位,当 c0时,向上移动 c 个单位,当 c0 y=a x- h2 a0 顶点坐标（h,0）（h,0）对称轴直线 xh 直线 xh 位置在 x 轴的上方（除顶点外）在 x 轴的下方（除顶点外）开口方向向上向下在对称轴的左侧 , y 随着 x 的增在对称轴的左侧 , y 随着 x 的增大增减性大而减小 . 在对称轴的右侧 , y而增大 . 在对称轴的右侧 , y 随随着 x 的增大而增大 . 着 x 的增大而减小 . 最值 当 xh 时,最小值为 0 当 xh 时,最大值为 0 开口大小 |a| 越大,开口越小3想

25、一想（1）在同一坐标系中作出二次函数 y=3x2, y=3x-1 2 和 y=3x-1 2+2的图象 . （2）二次函数 y=3x2, y=3x-1 2 和 y=3x-1 2+2 的图象有什么关系 .它们的开口方向 , 对称轴和顶点坐标分别是什么 .作图看一看二次函数 y=a x- h2+k 与 y=ax2的关系一般地 , 由 y=ax2的图象便可得到二次函数 y=a x- h 2+k 的图象 : y=a x- h 2+k a 0 的图象可以看成y=ax2的图象先沿 x 轴整体左 右 平移| h| 个单位 当 h0 时, 向右平移 ; 当 h0 时向上平移 ; 当 k0 y=a x- h2k

26、a0 顶点坐标（h,k）（h,k）对称轴直线 xh 直线 xh 位置由 h 和 k 的符号确定由 h 和 k 的符号确定开口方向向上向下在对称轴的左侧 , y 随着 x 的增在对称轴的左侧 , y 随着 x 的增大增减性大而减小 . 在对称轴的右侧 , y而增大 . 在对称轴的右侧 , y 随随着 x 的增大而增大 . 着 x 的增大而减小 . 最值当 xh 时,最小值为 k 当 xh 时,最大值为 k 活动目的：1、通过填表使不同函数的值在同一表格中出现出来,便于比较；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页,共 29 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2、通过在同一坐标系中做出两个函数的图象,使两个函数的图象特点一目了然,启示同学查找规律,从而得到结论；3、使同学通过争论将总结的结论进一步加深印象,能够娴熟得运用到解决问题的过程中去；实际教学成效 ：大部分同学对于使用几何画板制作二