2022年《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一填空题（每道题3 分,共计 15 分）精品资料欢迎下载11i3的幅角是（32k,k0,12）；ux ,y 、vx,y 第 1 页,共 8 页 2 2.Ln1i的主值是（1ln23i）；243. fz 112,f5 0 （ 0 ）,z4z0是zsinz的（一级）极点；z45fz 1,Re s fz ,（ -1 ）；z二挑选题（每题4 分,共 24 分）1解析函数fz ux,yivx,y的导函数为（ B ）；（A）fz uxiuy； （ B）fzuxiuy；（C）fz uxivy； （D）fzuyivx. 2

2、C是正向圆周z3,假如函数fz（ D ）,就Cfz d z0（A）z32；（B）3z1 ； （C）3 z1 ； （ D）z32. z2z2 223假如级数n1cnzn在z2点收敛,就级数在（C）（ A）z2点条件收敛；（B）z2 i点肯定收敛；（ C）z1i点肯定收敛；（D）z12 i点肯定发散以下结论正确选项 B （ A）假如函数f z 在z 点可导,就fz在z 点肯定解析；B 假如f z 在 C所围成的区域内解析,就Cfz dz0（ C）假如Cfz dz0,就函数fz 在 C所围成的区域内肯定解析；（ D）函数fz ux,yivx,y在区域内解析的充分必要条件是细心整理归纳 精选学习资料

3、- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载在该区域内均为调和函数5以下结论不正确选项（ D ） A 、为 sin 1z 的可去奇点； B 、为 sin z 的本性奇点； C 、为sin 11 的孤立奇点 . D 、为sin 1z 的孤立奇点；z三按要求完成以下各题（每道题 10 分,共 40 分）（1）设 f z x 2axy by 2i cx 2dxy y 2 是解析函数,求 a , b , c , d .解：由于 f z 解析,由 C

4、-R 条件u v u vx y y x2 x ay dx 2 y ax 2 by 2 cx dy ,a 2 d 2 ,a 2 c , 2 b d , c ,1 b ,1给出 C-R条件 6 分,正确求导给 2 分,结果正确 2 分；ze（2）运算C z 1 2z d z 其中 C是正向圆周：解：此题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式运算也可用留数运算洛朗绽开运算,仅给出用前者运算过程z由于函数 f z e2 在复平面内只有两个奇点 z 1 0 , z 2 1,分别以 z 1,z 2 为圆心画互不 z 1 z相 交 互 不 包 含 的 小 圆 c 1,c 2 且 位 于 c 内e ze zz 2C

5、 z e1 2z d z C 1 zz 1 d z C 2 z z1 2 d zz z2 i e 2 i e2 2 iz z 1 z 1 z 0无论采纳那种方法给出公式至少给一半分,其他酌情给分；（3）fz31z215 z4 z3d zz3内,由留数定理 第 2 页,共 8 页 22解：设 z 在有限复平面内全部奇点均在：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -z3 1z2z 15z43d z2i精品资料z ,欢迎下载（ 5

6、分）Res f -222 i Re s f 1z z 12 -（8 分）f 1z z 12 1z 12 2 1z 2 15 1z 4 3 z 121 1 1f 2 2 2 4 3 有唯独的孤立奇点 z 0,z z z 1 z 2 z 1 Re s f 1z z 12 0, lim z 0 zf 1z z 12 lim z 0 1 z 2 2 1 2 z 41 3 115z 3 1 z 2 z2 2 z 4 3 d z 2 i-（10 分）2 3（4）函数 f z z z 1 z3 2 z 3 2在扩充复平面上有什么类型的奇点？,假如有极点,sin z 请指出它的级 . 解,： 第 3 页,共

7、8 页 fz z z21 z23z32的奇点为zk,k0,12,3 ,sinz3（1）zk,k0,1 ,2 ,3,为（sin3 z）0 的三级零点,（2）z0,z1 ,为fz 的二级极点,z2 是fz 的可去奇点,（3）z3 为fz 的一级极点,（4）z2,34,为fz 的三级极点；（5）为fz 的非孤立奇点；备注：给出全部奇点给5 分 ,其他酌情给分；四、（此题 14 分）将函数fz z1 2 z1在以下区域内绽开成罗朗级数；（ 1）0z11,（ 2）0z1,（3）1z解：（1）当0z11细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

8、- - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fz z211 精品资料z欢迎下载11zz1 11 而z11n01 n z1 n -6）；分 第 4 页,共 8 页 11 nnz1n1n0fz 1 n1nz1 n2n0（2）当0z1znfzz211 z21z =1z1z2分n0zn2 -10分n0（3）当1zfz z211 z311 -14z1zfz1n01nn0z13z3zn一填空题（每道题3 分,共计 15 分）；112i 的幅角是（42 k,k0,1,22.Ln1i的主值是（1ln2i4）；（ 0 23. fz 112,f70 （

9、 0 ）；z4fz zsinz,Res fz ,0z35fz 1,Res fz ,（ 0 ）；2 z细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -得分二挑选题（每道题精品资料欢迎下载3 分,共计15 分）1x 2 y 2是解析函数 f z u x , y iv x , y 的实部,就（ A ）；（A）f z 2 x iy ； （B）f z 2 x iy ；（C）f z 2 y ix ； （ D）f z 2 y ix . 2 C是正向

10、圆周 z 2,假如函数 f z （ A ）,就C f z d z 0（A）1；（B）sin z； （ C）1； （ D）1. z 1 z z 3 2 z 1 23假如级数 c nzn在 z 2 点收敛,就级数在 C n 1（ A）z 2 点条件收敛；（B）z 2点肯定收敛；（ C）z 1 i 点肯定收敛；（D）z 1 2 i 点肯定发散以下结论正确选项 C （A）假如函数 f z 在 0z 点可导,就 f z 在 0z 点肯定解析；B 假如C f z dz 0 , 其中 C复平面内正向封闭曲线 , 就 f z 在 C所围成的区域内肯定解析；（C）函数 f z 在 z 点解析的充分必要条件是它在

11、该点的邻域内肯定可以绽开成为 z z 0 的幂级数,而且绽开式是唯独的；（ D）函数fz ux ,yivx ,y在区域内解析的充分必要条件是ux,y、vx,y在该区域内均为调和函数5以下结论不正确选项（ C ）2dxyy2是解析函数, 第 5 页,共 8 页 （A） lnz 是复平面上的多值函数；（B） cosz 是无界函数；（C）sinz是复平面上的有界函数； （D）e 是周期函数得分三按要求完成以下各题（每道题10 分,共计 40 分）（1）求a,b,c ,d使fz x2axyby2icx解：由于fz解析,由 C-R 条件细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

12、- - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -uvuv精品资料欢迎下载xyyx2 cxdy,2xaydx2yax2 bya2 d2 ,a2c,2bd,c,1 b,1给出 C-R条件 6 分,正确求导给2 分,结果正确2 分；2；（2）Cz z11 2dz其中 C 是正向圆周z解：此题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式运算也可用留数运算洛朗绽开运算,仅给出用前者运算过程由于函数 f z 12 在复平面内只有两个奇点 z 1 0 , z 2 1,分别以 z 1,z 2 为圆心画互不 z 1 z相 交 互

13、不 包 含 的 小 圆 c 1,c 2 且 位 于 c 内1 1C z 11 2z d zC 1 zz 1 2d zC 2 z z1 2 d z1 12 i 2 i 2 0z z 1 z 1 z 01（3）运算C3 zezd z,其中 C是正向圆周z2；（5 分）11 第 6 页,共 8 页 1z 解：设f z 在有限复平面内全部奇点均在：z2内,由留数定理z2fzdz2iRes fz ,2ic1 -1z1 11 z11z3 ezz2ezz2111 1z11z.22 z.3z3z2z3z111z2z1112 1.2.3z.4zzz2z3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

14、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -c1 11118精品资料欢迎下载.2.33z2fzdz28 323i3在扩充复平面上有什么类型的奇点？,假如有极点,请指出它的（4）函数fz z1 z2 sinz 级.fz 的奇点为zk,k0 ,1 ,2 ,3, 第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - zk,k0,1 ,2,3,为（sin3 z）0 的三级零点,z,1为fz 的二级极点,z2是fz 的可去奇点,z0,2,3 ,4,为fz 的三级极点；为fz 的非孤立奇点；给

15、出全部奇点给5 分；其他酌情给分；得分四、（此题 14 分）将函数fz 1 z 2 z1在以下区域内绽开成罗朗级数；（ 1）0z11,（ 2）0z1,（ 3）1z（ 1）0z11,（ 2）0z1,（3）1z解：（1）当0z11fz z211z11 111zz而 111 n0z1 nn0n z1 n1zfznz1n2 -6分n0（2）当0z1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -fz z1 2 z1 =1n0精品资料n欢迎下载1 n zz2（3）当1n01 zn21 n -101 zz1分 -14分 第 8 页,共 8 页 z11fz z2zz3 1细心整理归纳 精选学习资料 fz 1n01 z1 n3z3nn0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -