2022年《应用数理统计》作业题及参考答案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第一章 数理统计的基本概念P26 1.2 设总体X的分布函数为 F x ,密度函数为 f x ,X ,X , ,X 为 X 的子样,求最大次序统计量 X n 与最小次序统计量 X 1 的分布函数与密度函数；n解：F n x P X i x P X 1 x,X 2 x, ,X n x F x . n 1f n x F n x n F x f x . F 1 x P X i x 1 P X 1 x,X 2 x, ,X n x . 1 P X 1 x P X 2 x P X n x1 1 P

2、X 1 x 1 P X 2 x 1 P X n xn1 1 F xn 1f 1 x F 1 x n 1 F x f x . 1.3 设总体 X 听从正态分布 N 12 4, ,今抽取容量为 5 的子样 X ,X , ,X ,试问：（i）子样的平均值 X 大于 13 的概率为多少？（ii ）子样的微小值（最小次序统计量）小于 10 的概率为多少？（iii ）子样的极大值（最大次序统计量）大于解：XN12 4, ,n5,XN12, . 45（i）15 的概率为多少？P X131P X131PX1251312113121X1.12510.86860.1314. 444（ii ）令XminminX1,

3、X2,55max5X3,4,X. 第 1 页,共 15 页 X3,X4,X,XmaxX1,X2,P Xmin101P Xmin101P X 110,X210, ,X51055105. 1P Xi1011P X1P Xi101i1i1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -YX212 N0 1, ,优秀学习资料. 欢迎下载P X10PX121012PX2121P Y1221P Y11110.84130.1587. P Xmin1

4、0110.1587510.42150.5785（iii ）P Xmax151P Xmax1511P X115,X2. 15, ,X5151i51P Xi151P X155. P Xmax1515 0.933190.70770.29231.4 试证：（i）in1x ia2in1xix2n xa2对任意实数a 成立；并由此证明当ax 时,in1xa2达到最小；（ii ）nxiix2inx22 nx ,其中x1 nin；x22xxxxaxa21222 nx . xii1i11证明：（i）na2na2nxix ix ixxnx ix21ni1a2i1xx22anxnxn xan2xx ixn xai1

5、n xi1nx ix2n xi1nx ix2达到最小；nx2nxnx ix2a2. x2i1na2当 ax 时,xi1i1i1（ii ）nxin2 xn2 x inx22 x nx2x22x xx22xnnxxiii1i1i1i1i1iP27 1.5 设X ,X , ,X 为正态总体NXN,2的样本,令d1in1Xi,试证 第 2 页,共 15 页 nE d2,D d122；0,2. n证明：XN,2,就Xi细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

6、- - - - - -E di2E1inXiy e1ini优秀学习资料欢迎下载20ey22dy22. E Xn1n1E Xey1y2dy2 10ye2y2dy2 1222222222. 2220E d1in21n22. Y2122n1nE Xi2D XiE2Xi2. D XiEXi2E2Xi222122. D dD1in1Xi1Din1Xi1in1D Xi1n12n. nn2n2n21.6 设总体 X 听从正态N,2,X ,X , ,X 为其子样,X 与S 分别为子样均值及方差；又设Xn1与X ,X , ,X 独立同分布,试求统计量Xn1Xn1的分布；Sn1解：由于Xn1和 X 是独立的正态变

7、量,XN2,Xn1N,2,且它们相互独立. ,nE Xn1XE Xn1E X0. D Xn1XD Xn1DXnn12. 就Xn1XN0,nn12. Xn1Xnn1N01, . 而2 nS 22n1,且nS 与 2Xn1X 相互独立,就TXn1Xnn1nn12 SXn1Xn1 1t n1. 2n 第 3 页,共 15 页 S1.7 设Tt n ,求证T2 F1,n. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2

8、,且相互证明：又 t 分布的定义可知,如UN01, ,V2n ,且 U 与 V 相互独立,就TUt n,这时,T22 U V n,其中,U221. V n由 F 分布的定义可知,T2U2F1,n. V n1.9 设X ,X , ,X 和Y ,Y , ,Y 分别来自总体N1,2和N2,独立,和n1是两个已知常数,试求YYX1Yn2的分布,2 n S 1 122 n S 2 22其中2 S 11XiX2,S21n2n 1n 22n 122；n 1 i12n2 i1解：2N22N01, . 第 4 页,共 15 页 XN1,n 1,Y2,n 2,X1与Y2相互独立,2Y2X1N0,n 1,2N0,n

9、 2,N0,2222,X12YX1Y2n 1n 222 n S 12n 11,2 n S 2n 1n 22n 21,且S 与S 相互独立,222 n S 12 n S 22n 1n 22. 22X1Y2t n 1n22,22n 1n 22 nS 1n S2n 12n 22222t n 1n 22. 即X1Y2 n S 12 n S 222n 1n 22n 1n2其次章参数估量（续）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学

10、习资料 欢迎下载P68 2.13 设总体 X 听从几何分布：P Xkp1pk1,k1 2, ,0p1,证明样本均值X1in1Xi是 E X的相合、无偏和有效估量量；n证明：总体 X 听从几何分布,EX1,DX1p2p. p1E XE1inXi1EinXi1n11E X. n1n1npp 第 5 页,共 15 页 样本均值X1inXi是 E X的无偏估量量；n12D XD1inXi1Din1Xi1n12 pp1p. n12 n2 nnp2lnfX1；plnp1pX 11lnpX11 ln 1p . lnfX1；p1X1111X1. pp1pp1p2lnfX1；p11X12. p2p21pIpE2

11、lnfpX1；pE11X 12E1X1p12p2p221p11112EX1111121111121ppp2p2pp2ppp11112ppp21p. p2p pp1p1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载2e nD X11pX1p1pnp41p1. n Ip 2np21n样本均值Xi是 E X的有效估量量；ni13证法一：lim nDXXilim n1p0, 0p1. np2样本均值X1n是 E X的相

12、合估量量；ni1证法二：e nD X12p1,D X1p2. ppn In I2 1lim nD Xlim npp0. 样本均值X1inXi是 E X的相合估量量；n In1证法三：由大数定律知,样本的算术平均值是依概率收敛于总体均值的,即对于任给0,有 lim nPiXEX0. 第 6 页,共 15 页 因此,样本均值X1inX是 E X的相合估量量；n11inXi是 E X的相合、无偏和有效估量量；综上所述,样本均值Xn1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

13、 - - - - - - - - - -2.14 设总体 X 听从泊松分布P优秀学习资料欢迎下载X 为其子样；试求参数2 的,X ,X , ,无偏估量量的克拉美劳不等式下界；解：2 . g2. g2. kP X k e . k 01 2,k .ln f X 1；X 1 ln ln X 1 . . ln f X 1；X 1 1 . 2ln f X 1；X 12 2 . I E 2ln f X2 1；E X2 1 E X2 1 E X2 12 1. 参数 2 的无偏估量量的克拉美劳不等式下界为：gnI 2n 21 2n 4 3 24n 32 . 2.19 设总体 X 听从泊松分布 P,0,X ,X

14、 , ,X 为来自 X 的一个样本；假设有先验分布, 其密度为he,0 0,求在平方缺失下的贝叶斯估量量；0,解： X 听从泊松分布Pix,ix1 2, ,n . 第 7 页,共 15 页 x i.e0 0. 的先验分布密度为he,0,给定,样本的分布列为：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载ng x 1, , ,2x ninP x ix ieninxen,x i1 2, , ；0i1x n.nx x

15、 2.11x i.,00的后验概率密度为：g x 1,x 2, ,x n h,0g x 1,x 2, ,x n0 g x 1,x 2, ,x n h d0,0从而在平方缺失下,的贝叶斯估量为：. E x 1, , ,x n0 g x 1,x 2, ,x n d 0 g x 1,x 2, ,x n h d. 0 g x 1,x 2, ,x n h dnx n0 n e e d0 nxn ie 1n x i .e d 00 nxnx 1e en n1 1d d （* ）x i .i 1其中,0 nx 1e n 1dn 11 0 nx 1d e n 1n 11 nx 1e n 10 0 e n 1d

16、 nx 11 n 1 nx nx 1 nx n 1n 1 0 nx 1 0 e dn 1 0 e d （* ）将（ * ）式代入（ *）式得：nx 1 nx n 1. E x 1,x 2, ,x n n 10 0nxe n e1d d nxn 1 1,即为在平方缺失下 的贝叶斯估量量；细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第三章 假设检验P131 3.2 一种元件,要求其使用寿

17、命不得低于1000（小时）；现在从一批这种元件中随机抽取25 件,测得其寿命平均值为950（小时）；已知该种元件寿命听从标准差100（小时）的正态分布,试在显著水平0.05 下确定这批元件是否合格；解：此题需检验H ：0,H ：0. uu. 元件寿命听从正态分布,0已知,当H 成立时,选取统计量uX0,其拒绝域为 V0n其中X950,01000 ,n25,0100 . 就u95010002.5. 10025,其中40（kg / cm2）；查表得u0.051.645,得uu0.05,落在拒绝域中,拒绝H ,即认为这批元件不合格；3.3 某厂生产的某种钢索的断裂强度听从正态分布N,2现从一批这种钢

18、索的容量为9 的一个子样测得断裂强度平均值为X ,与以往正常生产时 0.01下能否认为这批的相比, X 较大 20（kg / cm 2）；设总体方差不变,问在钢索质量有显著提高？解：此题需检验H ：0,H ：0. Vuu 1. 第 9 页,共 15 页 钢索的断裂强度听从正态分布,0已知,当H 成立时,选取统计量uX0,其拒绝域为0n其中040 ,n9,X020,0.01. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料

19、欢迎下载,S0.035%；设总就u2091.5. 40查表得u 1u 0.99uu0.012.33,得uu0.99,未落在拒绝域中,接受H0,即认为这批钢索质量没有显著提高；3.5 测定某种溶液中的水分；它的10 个测定值给出X0.452%体为正态分布N,2,试在水平5%检验假设：V2tt2n1. （i）H ：0.5% ；H ：0.5% . （ii ）H ：0.04% ；H ：0.04% . 解：（ i）总体听从正态分布,0未知,当H 成立时,选取统计量tXn0,其拒绝域为S1查表得t0.059t 0.9591.8331 . 1. n1. 而t0.452%0.5%4.1141.8331tn0.

20、035%101落在拒绝域中,拒绝H . （ii ）总体听从正态分布,未知,当H 成立时,选取统计量22 nS,其拒绝域为V20查表得2 0.0593.325. 07.6562n1. 第 10 页,共 15 页 而2100.035%20.04%2未落在拒绝域中,接受H. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载3.6 使用 A（电学法）与 B（混合法）两种方法来讨论冰的潜热,样品都是0.72的冰块,以下数据

21、是每克冰从0.72变成 0水的过程中的吸热量（卡 / 克）：方法 A ：79.98, 80.04,80.02,80.04,80.03,80.03,80.04,79.97, 80.05,80.03,80.02,80.00,80.02 方法 B ：80.02, 79.94,79.97,79.98,79.97,80.03,79.95,79.97 假定用每种方法测得的数据都听从正态分布,且它们的方差相等；检验 H ：两种方法的总体均值是否相等； （0.05）解：假设方法 A、方法 B 所得数据分别听从正态分布XN1,2和YN2,2 2. 1其中n 113,n28,12. 此题需检验H ：12,H ：1

22、2. 测得的数据听从正态分布,未知,当H 成立时,选取统计量tn n2n 1n22XYn 1n22 n S 12 n S 2 第 11 页,共 15 页 其拒绝域为Vtt 12n 1n 22. 查表得t0.975192.093,又运算得X80.020,Y79.98,2 S 1113XiX20.00053,13i12 S 21i8Y iY20.00086. 81代入得t3.308t12n 1n 222.093,落在拒绝域内,拒绝H . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

23、 - - - - - - - - - - - -优秀学习资料i欢迎下载X ,3.7 今有两台机床加工同一种零件,分别取6 个及 9 个零件测其口径,数据记为X , ,X 及Y ,Y , ,Y ,运算得9Y370.8,9Y i215280.1736Xi204.6,6X26978.93；ii1i11i1假定零件口径听从正态分布,给定显著性水平 零件口径的方差无显著性差异？0.05,问是否可认为这两台机床加工解：此题需检验H ：12,H ：12. 零件口径听从正态分布,均值未知,选取统计量Fn 1n 21S 1 2,1. n 2n 112 S 2其拒绝域为VFF2n 11,n 21FF 12n 11

24、,n 2查表得F 0.9755 8,4.82,F 0.0255 8F18 5,10.148. 0.9756.76而2 S 11in 1XiX21in 1X22Xn 1Xin X211ii1n 1n 116978.932204.6204.66204.620.345. 666同理得2 S 20.357. 故Fn 1n 212 S 11.03,落在拒绝域外,无显著差异；n 2n 112 S 2P132 3.8 用重量法和比色法两种方法测定平炉炉渣中SiO2的含量,得如下结果重量法：n5次测量,X20.5%,S 10.206%, 第 12 页,共 15 页 比色法：n5次测量,Y21.3%,S 20.

25、358%,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载假设两种分析法结果都听从正态分布,问（i）两种分析方法的精度（）是否相同？0.01）. 1. （ii ）两种分析方法的均值（）是否相同？（解：（ i）此题需检验H ：12,H ：12. 两种分析法结果都听从正态分布,且1、2未知,选取统计量Fn 1n 212 S 1,n 2n 112 S 2n 11,n 2其拒绝域为VFF2n 11,n 21FF 12查表

26、得F0.0054 4F14 4,0.043,F 0.9954 4,23.15. 0.995n 1n ,F2 S 10.3311,2 S 2未落在拒绝域内,无显著性差异；（ii ）此题需检验H ：12,H ：12. ,由（ i）知12（未知）,XYn n 2n 1n 22选取统计量tn 1n 22 n S 12 n S 2其拒绝域为Vtt 12n 1n 22. 查表得t0.99583.3554,运算t3.87t 12n 1n 22,落在拒绝域内,差异显著；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 15 页 - - - - - - -

27、 - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载P133 3.14 调查 339 名 50 岁以上吸烟习惯与患慢性气管炎病的关系,得下表：是否患病是否吸烟吸烟不吸烟. 7.4690.01）？患慢性气管炎43 13 56 未患慢性气管炎162 121 283 205 134 339 患病率21.0 9.7 16.5 试问吸烟者与不吸烟者的慢性气管炎患病率是否有所不同（解：设 X 抽一人是否吸烟,Y 抽一人是否患病. 此题需检验H ： X 与 Y 独立,H ： X 与 Y 不独立 . rs2,2nn n22n n21233943

28、 121162132n n n n256 1342052832 0.9916.6352,拒绝H ,认为吸烟者的慢性气管炎患病率要高；3.15 下表为某种药治疗感冒成效的3 3 列联表；疗效年龄儿 童成 年老 年显 著58 38 32 128 一 般28 44 45 117 较 差23 18 14 55 109 100 91 300 试问疗效与年龄是否有关（0.05）？解：设 X 该药治疗感冒疗效,Y 患者年龄, 第 14 页,共 15 页 - - - - - - - - - X 显著、一般、较差,Y 儿童、成年、老年. 此题需检验H ： X 与 Y 独立,H ： X 与 Y 不独立 . 数据r

29、s3. 当H 成立时,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载s1. 213.59. 选取统计量2ni3j31n ijn nj22r1n1n nj1其拒绝域为：22r1s1. 1455911式中：ijn 是列联表中第 i 行第 j 列位置上的数字；in 是列联表中第i 行各数据求和；n 是列联表中第j 列各数据求和；运算2 数据得23005812810923812810023003003001281091281005591查表得2 0.9549.488213.59 , 第 15 页,共 15 页 故拒绝H ,认为药品疗效与患者年龄有关；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -