2022年《用向量法求二面角的平面角》教案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第三讲：立体几何中的向量方法利用空间向量求二面角的平面角大家知道,立体几何是高中数学学习的一个难点,以往同学学习立体几何时,主要实行“ 形到形”的综合推理方法,即依据题设条件,将空间图形转化为平面图形,再由线线,线面等关系确定结果,这种方法没有一般规律可循,对人的智力形成极大的挑战,技巧性较强, 致使大多数同学都感到束手无策；高中新教材中, 向量学问的引入,为同学解决立体几何问题供应了一个有效的工具；它能利用代数方法解决立体几何问题,表达了数形结合的思想；并且引入向量, 对于某些立体几何问题供应通法,避免了传

2、统立体几何中的技巧性问题,因此降低了同学学习的难度,减轻了同学学习的负担,表达了新课程理念；为适应高中数学教材改革的需要,需要讨论用向量法解决立体几何的各种问题；本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题；以此强化向量的应用价值,激发同学学习向量的爱好,从而达到提高同学解题才能的目的；利用向量法求空间角,不需要纷杂的推理,只需要将几何问题转化为向量的代数运算,便利快捷；空间角主要包括线线角、线面角和二面角,下面对二面角的求法进行总结；教学目标1使同学会求平面的法向量；2.使同学学会求二面角的平面角的向量方法；3. 使同学能够应用向量方法解决一些简洁的立体几何问题；4. 使同学的分析与推理

3、才能和空间想象才能得到提高 . 教学重点求平面的法向量；求解二面角的平面角的向量法 . 教学难点1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -求解二面角的平面角的向量法 . 教学过程、复习回忆一、回忆相关公式：n1 、二面角的平面角： （范畴：,0）1nn2n 1,n2n 1, n 2n1,n2n 1,n 2n21l l coscosn 1,n 2coscosn 1,n2结论：coscosn 1,n2或统

4、一为：n 1n 2n 1n22 、法向量的方向：一进一出,二面角等于法向量夹角；同进同出,二面角等于法向量夹角的补角. 3 、用空间向量解决立体几何问题的“ 三步曲”：（1 ）建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -何问题转化为向量问题； （化为向量问题 ）（2 ）通过向量运算,讨论点、直线、平面之间的位置关系以及它们之

5、间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3 ）把向量的运算结果“ 翻译” 成相应的几何意义；（回到图形）、典例分析与练习例 1、如图, ABCD是始终角梯形,ABC90,SA面 ABCD,SAABBC1,AD1,2求面 SCD与面 SBA所成二面角的余弦值 . z分析分别以BA AD AS 所在直线为x y z 轴,xSBDyC建立空间直角坐标系,求出平面SCD的法向量nr 1A平面 SBA法向量2nr ,利用n n r r 夹角 2求平面 SCD 与平面 SBA的夹角余弦值；解：如图建立空间直角坐标系Axyz,就2,n2 ,111, A 0 ,00 ,C,1,10,D0,10,S00,1,2易

6、知面 SBA的法向量为n1AD,010,CD ,110,SD0,1,1222设面 SCD的法向量为n 2x ,y ,z ,就有xy0,取z1,得x,1 y2y02z2cosn 1,n2|n 1|n2|6n 1n23又n 方向朝面内,n 方向朝面外,属于“ 一进一出” 的情形,二面角等于法向量夹角3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即所求二面角的余弦值为6. 3点拨求二面角的方法有两种：（1）利用

7、向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角,从而确定二面角的大小；（2）依据几何体的特点建立空间直角坐标系,先求二面角两个半平面的法向量,再求法向量的夹角,从而确定二面角的大小；练习 1 ： 正方体 ABCD A 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 1 ,点 E 、 F 分别为 CD 、DD 的中点 .求二面角F AE D 的余弦值；解：由题意知,F 0 ,1, 1, E 1 ,1, 0 ,就 AF 0 ,1, 1 , AE 1,1, 0 2 2 2 2设平面 AEF 的法向量为 n x , y , z ,就1nn AFAE 0 0 y12 x 2 zy 00,取 y 1,得

8、x z 2A 1 zD 1n ,1,2 2 B 1 C 1 FA y又平面 AED 的法向量为 AA 1 ,0 1,0B C E Dn AA 1 2 2 xcos n , AA 1| n | AA 1 | 3 1 32观看图形知,二面角 F AE D 为锐角,所以所求二面角 F AE D 的余弦值为3练习 2： 如图,三棱柱中,已知 A BCD 是边长为 1 的正方形,四边形 A A B B 是矩形,平面 A A B B 平面 ABCD；试问： 当 A A 的长度为多少时,二面角 D A C A 的大小为 60？uuur uuur解： 如图建立空间坐标系 A xyz ,就 DA 1,0, DC

9、 0,1,0 ur设面 DAC 的法向量为 n 1 , ,1uuur urDA n 1 0 ur就 uuur ur 得 n 1 ,0,1DC n 1 0 uur易得面 AAC 的法向量 n 2 1,1,04 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -向量ur uur n n 2的夹角为 60o由cosur uur n n 1 2|ur uurur n n uurn 1 | n 2|a 2a21得a112当

10、A A时,二面角的大小为 60o DACA设计说明： 复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法,互补,就没有其他情形也可借此机会说明为什么这两个角相等或练习 3： 正三棱柱 ABC A B C 的全部棱长均为,是侧棱 AA 上任意一点当 BC 1 B P 时,求二面角 C B P C 的平面角的余弦值解：如图建立空间坐标系 O xyz ,设 AP a就 A C B P 的坐标分别为 0, 1,0,0,1,0, 3,0,20, 1, , uuuurBC 1 3,1,2uuuur uuur由 BC 1 B P ,得 BC B P 0即 2 2 a 2 0 a 1又 BC 1 B C BC 1 面

11、 CB PuuuurBC 1 3,1,2 是面 CB P 的法向量uuur rr B P n 0 r设面 C B P 的法向量为 n 1, , ,由 uuuur r 得 n 1, 3, 2 3 , B C 1 1 n 0uuuur r设二面角 C B P C 的大小为,就 cos uuuuur uur 6| BC 1 | n | 4、小结与收成1、二面角的平面角的正弦值弦值：coscosn 1,n2n 1n 2n 1n22、求平面法向量的方法. 5 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -、课后练习1、如图 ,已知四棱锥 P ABCD 的底面是直角梯形 , ABC BCD 90 o , AB BC PB PC 2 CD ,侧面 PBC 底面 ABCD . 求二面角 P BD C 的大小 . 2、如图 , 已知正三棱柱 ABCA1B1C1 的各棱长均相等 , 点 D是 BC上一 点,ADC1D. 求二面角 CAC1D的大小 . 6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -