2022年一元二次方程应用题经典题型汇总含答案.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载z 一元二次方程应用题经典题型汇总一、增长率问题例1 恒利商厦九月份的销售额为 200 万元,十月份的销售额下降了 20% ,商厦从十一月份起加强治理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了 193.6 万元,求这两个月的平均增长率 . 解 设这两个月的平均增长率是 x.,就依据题意,得 2001 20%1+ x2 193.6 ,即1+ x21.21 ,解这个方程,得x10.1 ,x2 2.1 （舍去） . 答 这两个月的平均增长率是 10%. 说明 这是一道正增长率问题,对于正

2、的增长率问题,在弄清晰增长的次数和问题中每一个数据的意义,即可利用公式 m1+ x2n 求解, 其中 m n.对于负的增长率问题,如经过两次相等下降后,就有公式 m 1x2n 即可求解,其中 m n. 二、商品定价例2 益群精品店以每件 21 元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,如每件商品售价 a 元,就可卖出（350 10 a）件,但物价局限定每件商品的利润不得超过 20% ,商店方案要盈利 400 元,需要进货多少件？每件商品应定价多少？解依据题意,得 a21350 10 a400 ,整理,得. a256a+775 0 ,解这个方程,得a125 ,a231. 由于 21 1+20%

3、25.2 ,所以 a2=31 不合题意,舍去所以 350 10 a350 10 25 100 （件） . 细心整理归纳 精选学习资料 答需要进货 100 件,每件商品应定价25 元. . 第 1 页,共 13 页 说明商品的定价问题是商品交易中的重要问题,也是各种考试的热点 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三、储蓄问题例3王红梅同学将1000 元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“ 少儿银行” ,到期后将本金和利息取出,并将其中的5

4、00 元捐给“ 期望工程” ,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的 90% ,这样到期后,可得本金和利息共530 元,求第一次存款时的年利率 .（假设不计利息税）解 设第一次存款时的年利率为 x. 就依据题意,得 10001+ x5001+0.9 x530. 整理,得 90 x2+145 x3 0. 解这个方程,得 x10.0204 2.04% , x2 1.63. 由于存款利率不能为负数,所以将x2 1.63 舍去 . 答第一次存款的年利率约是2.04%. . 说明这里是按训练储蓄求解的,应留意不计利息税四、趣味问题例4 一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么

5、也拿不进去,量竹竿长比城门宽 4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高 2米,二人没方法,只好请教聪慧人,聪慧人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好进城,你知道竹竿有多长吗？解 设渠道的深度为 xm ,那么渠底宽为 x+0.1m ,上口宽为 x+0.1+1.4m. 就依据题意,得 x+0.1+ x+1.4+0.1x1.8 ,整理,得 x2+0.8 x1.8 0. 解这个方程,得x1 1.8 （舍去）,x 21. 就能从中找到等量 第 2 页,共 13 页 所以 x+1.4+0.11+1.4+0.12.5. 答渠道的上口宽 2.5m ,渠深

6、1m. 说明求解此题开头时好象无从下笔,但只要能认真地阅读和口味,关系,列出方程求解. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载五、古诗问题例5读诗词解题： （通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄）. 大江东去浪淘尽,千古风流数人物；而立之年督东吴,早逝英年两位数；十位恰小个位三,个位平方与寿符；哪位学子算得快,多少年华属周瑜？解 设周瑜逝世时的年龄的个位数字为 x,就十位数字为 x3. 就依据题意,得 x21

7、0 x3+ x,即 x2-11x+30 0,解这个方程,得 x5或 x6. 当 x5时,周瑜的年龄25 岁,非而立之年,不合题意,舍去；当 x6时,周瑜年龄为36 岁,完全符合题意. 答周瑜去世的年龄为36 岁. 六、象棋竞赛例6 象棋竞赛中,每个选手都与其他选手恰好竞赛一局,每局赢者记 2分,输者记 0分.假如平局,两个选手各记 1分,领司有四个同学统计了中全部选 手的得分总数,分别是1979 ,1980 ,1984 ,1985. 经核实,有一位同学统计无误 参与 . .试运算这次竞赛共有多少个选手解 设共有 n 个选手参与竞赛,每个选手都要与 n1 个选手竞赛一局,共计 nn1局,但两个选

8、手的对局从每个选手的角度各自统计了一次,因此实际竞赛总局数应为 nn1 局.由于每局共计 2分,所以全部选手得分总共为nn1分 .明显 n1与 n 为相邻的自然数,简单验证,相邻两自然数乘积的末位数字只能是0 ,2 ,6,故总分不行能是1979 ,1984 ,1985 ,因此总分只能是1980 ,于是由 nn1 1980 ,得 n2 n1980 0,解得n1 45 ,n2 44 （舍去） . 细心整理归纳 精选学习资料 答参与竞赛的选手共有45 人. 第 3 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习

9、资料 - - - - - - - - - - - - - - -说明精品资料欢迎下载都可以仿照些方类似于此题中的象棋竞赛的其它体育竞赛或互赠贺年片等问题,法求解 . 七、情形对话例7春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅行,推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅行,共支付给春秋旅行社旅行费用27000 元 .请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅行？解 设该单位这次共有 x 名员工去天水湾风景区旅行 .由于 1000 25 25000 27000 ,所以员工人数肯定超过 25 人. 就依据题意,得 1000 20 x25 x27000. 整理,得 x275 x+13

10、50 0,解这个方程,得 x145 ,x 230. 当 x45 时, 1000 20 x25 600 700 ,故舍去 x1；当 x230 时, 1000 20 x25 900 700 ,符合题意 . 答：该单位这次共有30 名员工去天水湾风景区旅行. 第 4 页,共 13 页 - - - - - - - - - 说明求解此题要时刻留意对话框中的数量关系,求得的解仍要留意分类争论,从中找出符合题意的结论. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载

11、八、等积变形例8 将一块长 18 米,宽 15 米的矩形荒地修建成一个花园（阴影部分）所占的面积为原先荒地面积的三分之二 .（精确到 0.1m ）（1）设计方案 1（如图 2）花园中修两条相互垂直且宽度相等的小路 . （2）设计方案 2（如图 3）花园中每个角的扇形都相同 . 以上两种方案是否都能符合条件 .如能,请运算出图 2 中的小路的宽和图 3 中扇形的半径；如不能符合条件,请说明理由 . 解 都能 .（1）设小路宽为 x,就 18 x+16 xx218 15 ,即 x2 34x+180 0,解这个方程,得x,即 x6.6. （2）设扇形半径为r,就 3.14 r218 15 ,即 r2

12、57.32 ,所以 r7.6. 说明等积变形一般都是涉及的是常见图形的体积,面积公式； 其原就是形变积不变；或形变积也变,但重量不变,等等. 九、动态几何问题例9如图 4所示,在ABC 中, C90./SPAN,AC 6cm ,BC 8cm ,点 P 从点 A 动身沿边 AC 向点 C 以1cm/s 的速度移动 . 的速度移动, 点 Q 从 C 点动身沿 CB 边向点 B 以2cm/s细心整理归纳 精选学习资料 （1）假如 P、Q 同时动身,几秒钟后,可使PCQ 的面积为 8平方厘米？ 第 5 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

13、 - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载PCQ 的面积等于ABC 的（2）点 P、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得面积的一半 .如存在,求出运动的时间；如不存在,说明理由 . 解 由于 C90./SPAN,所以 AB10 （cm ）. （1）设 xs 后,可使PCQ 的面积为 8cm2,所以 APxcm ,PC6xcm ,CQ2xcm. 就依据题意,得6 x2x8.整理,得x2 6x+8 0 ,解这个方程,得x12, x24. 所以 P、Q 同时动身, 2s 或4s 后可使PCQ 的面积为 8cm2. （2）设

14、点 P 动身 x 秒后,PCQ 的面积等于ABC 面积的一半 . 就依据题意,得 6x 2x68.整理,得 x26x+12 0. 由于此方程没有实数根,所以不存在使PCQ 的面积等于 ABC 面积一半的时刻 . 说明 此题虽然是一道动态型应用题,但它又要运用到行程的学问,求解时必需依据路程速度 时间 . 十、梯子问题例10一个长为 10m 的梯子斜靠在墙上,梯子的底端距墙角6m. （1）如梯子的顶端下滑1m ,求梯子的底端水平滑动多少米？（2）如梯子的底端水平向外滑动 1m ,梯子的顶端滑动多少米？（3 ）假如梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离,那么滑动的距离是多少米？细心整理归纳

15、精选学习资料 解依题意,梯子的顶端距墙角8 （m ） . 第 6 页,共 13 页 （1）如梯子顶端下滑1m ,就顶端距地面7m. 设梯子底端滑动xm. 就依据勾股定理,列方程72+6+ x2102,整理,得x2+12 x 15 0, - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载解这个方程,得 x11.14 ,x2 13.14 （舍去）,所以梯子顶端下滑 1m ,底端水平滑动约 1.14m. （2）当梯子底端水平向外滑动 1m 时,设梯子顶

16、端向下滑动 xm. 就依据勾股定理,列方程 8 x2+6+1 2100. 整理,得 x216 x+13 0. 解这个方程,得 x10.86 ,x215.14 （舍去） . 所以如梯子底端水平向外滑动 1m ,就顶端下滑约 0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动 xm 时,底端向外也滑动 xm. 就依据勾股定理,列方程8 x2+6+ x2102,整理,得 2x24x0,解这个方程,得 x10（舍去）,x22. 所以梯子顶端向下滑动 2m 时,底端向外也滑动 2m. 说明 求解时应留意无论梯子沿墙如何上下滑动,梯子始终与墙上、地面构成直角三角形 . 十一、航海问题例11如图 5 所示,我海军基位置

17、于A 处,在其正南方向 200海里处有一重要目标 B,在 B 的正东方向 200 海里处有一重要目标 C,小岛 D 恰好位于 AC的中点,岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 上且恰好处于小岛 D 的正南方向,一艘军舰从 A 动身,经 B 到 C 匀速巡航一艘补给船同时从欲将一批物品送往军舰 . （1）小岛 D 和小岛 F 相距多少海里？D 动身,沿南偏西方向匀速直线航行,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

18、- - - -（2）已知军舰的速度是补给船的精品资料欢迎下载E处,2倍,军舰在由B 到 C 的途中与补给船相遇于那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到 0.1 海里）解（ 1）F 位于 D 的正南方向,就 DFBC.由于 ABBC,D 为 AC 的中点,所以 DFAB100 海里,所以,小岛 D 与小岛 F 相距 100 海里 . （2 ）设相遇时补给船航行了x 海里,那么 DEx 海里,AB+BE2 x 海里,EFAB+ BCAB+ BECF 300 2 x海里 . 在 Rt DEF 中,依据勾股定理可得方程 x21002+300 2x2,整理,得 3x21200 x+1000000. 解

19、这个方程,得 x1200 118.4 ,x2200+（不合题意,舍去）. 所以,相遇时补给船大约航行了 118.4 海里 . 说明 求解此题时, 肯定要认真地分析题意,准时发觉题目中的等量关系,并能从图形中查找直角三角形,以便正确运用勾股定理布列一元二次方程 . 十二、图表信息例12如图 6所示,正方形ABCD 的边长为 12 ,划分成 12 12 个小正方形格,将边长为 n（n 为整数,且 2 n 11 ）的黑白两色正方形纸片按图中的方式,黑白相间地摆放,第一张 nn 的纸片正好盖住正方形ABCD 左上角的 nn 个小正方形格, 其次张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为n 1 n 1 个小正方形

20、.如此摆放下去,直到纸片盖住正方形ABCD 的右下角为止 . 请你认真观看摸索后回答以下问题：（1 ）由于正方形纸片边长n 的取值不同, .完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同,请填写下表：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -纸片的边长 n精品资料2 3 欢迎下载5 6 4 使用的纸片张数（2）设正方形ABCD 被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1 ,未被盖住的面积为 S2. 当 n2 时

21、,求 S1S2的值；是否存在使得S1S2的 n 值？如存在,恳求出来；如不存在,请说明理由. 解（ 1）依题意可依次填表为：11 、10 、9、8、7. （2）S1 n2+12 nn2 n12 n2+25 n12. 当 n2 时, S1 22+25 212 34 ,S2 12 12 34 110. 所以 S1 S234 110 17 55. 如 S1 S2,就有 n2+25 n 12 122,即n225n+84 0,解这个方程,得 n14 ,n 2 21 （舍去） . 所以当 n4时, S1 S2.所以这样的 n 值是存在的 . 说明 求解此题时要通过阅读题设条件及供应的图表,准时挖掘其中的隐

22、含条件,对于求解第（ 3 ）小题,可以先假定问题的存在,进而构造一元二次方程,看得到的一元二次方程是否有实数根来加以判定 . 十三、探究在在问题例13将一条长为 20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形 . （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 13 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载是多少 . （2）两个正方形的面积

23、之和可能等于12cm2吗. 如能,求出两段铁丝的长度；如不能,请说明理由 . 解（ 1）设剪成两段后其中一段为 xcm ,就另一段为（20 x）cm. 就依据题意,得 +17 ,解得 x 116 ,x24 ,当 x16 时, 20 x4,当 x 4时, 20 x16 ,答 这段铁丝剪成两段后的长度分别是 4cm 和16cm. （2）不能 .理由是：不妨设剪成两段后其中一段为 ycm ,就另一段为（20 y） cm. 就由题意得 + 12 ,整理,得 y220 y+104 0,移项并配方,得 y102 40,所以此方程无解,即不能剪成两段使得面积和为 12cm2. 说明 此题的第（ 2 ）小问也

24、可以运用求根公式中的 b24ac 来判定 .如 b24ac0,方程有两个实数根,如 b2 4ac 0,方程没有实数根,此题中的 b24ac 16 0即无解. 十四、平分几何图形的周长与面积问题例14如图 7,在等腰梯形ABCD 中, ABDC5,AD4,BC10. 点 E.在下底边BC 上,点 F 在腰 AB 上. （1）如 EF 平分等腰梯形ABCD 的周长,设BE 长为 x,试用含 x 的代数式表示 BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时平分？如存在,求出此时BE 的长；如不存在,请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成1

25、2的两部分？如存 第 10 页,共 13 页 在,求此时BE 的长；如不存在,请说明理由. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载解（ 1 ）由已知条件得,梯形周长为 过点 F 作 FGBC 于 G,过点 A 作 AKBC 于 K. 就可得, FG4,12 ,高 4,面积为 28. 所以 S BEFBEFGx2+x（7x10 ）. x17,x25（不合题意,（2）存在 .由（1）得x2+x14 ,解这个方程

26、,得舍去）,所以存在线段EF将等腰梯形ABCD 的周长与面积同时平分,此时BE 7. （3）不存在 .假设存在,明显有S BEFS 多边形 AFECD 12,即BE+ BFAF+ AD + DC1 2.就有x2+x,整理,得 3 x224 x+70 0,此时的求根公式中的b24ac576 840 0,所以不存在这样的实数x.即不存在线段EF 将等腰梯形ABCD 的周长和面积同时分成12的两部分 . 说明求解此题时应留意：一是要能正确确定x 的取值范畴； 二是在求得 x25时, 并不属于 7 x10 ,应准时地舍去；三是处理第（探究问题的存在性 . 十五、利用图形探究规律3）个问题时的实质是利用

27、一元二次方程来细心整理归纳 精选学习资料 例15在如图 8中,每个正方形有边长为1 的小正方形组成： 第 11 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载图8 （1）观看图形,请填写以下表格：正方形边长 1 3 5 7 n（奇数）黑色小正方形个数正方形边长 2 4 6 8 n（偶数）黑色小正方形个数（2 ）在边长为 n（n1）的正方形中,设黑色小正方形的个数为 P1,白色小正方形的个数为 P2,问是否存在偶数n,使 P2

28、 5P1？如存在,请写出理由 . n 的值；如不存在,请说明解（ 1 ）观看分析图案可知正方形的边长为 1 、3 、5、7 、 、 n 时,黑色正方形的个数为 1、5、9、13 、 2n1（奇数）；正方形的边长为 的个数为 4、8、 12 、16 、 2n（偶数） . 2 、4、6、8、 、 n 时,黑色正方形（2）由（1 ）可知 n 为偶数时 P12 n,所以 P2n2 2n.依据题意, 得 n22 n5 2n,即 n212 n0 ,解得 n 112 , n20（不合题意,舍去）.所以存在偶数n12 ,使得 P25 P1. 细心整理归纳 精选学习资料 说明此题的第（ 2）小问是属于存在性问题

29、,求解时,可以先假设结论存在,进而从 第 12 页,共 13 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -中找到数量关系,使问题获解. 精品资料欢迎下载综上所言,列一元二次方程解应用题是列一元一次方程、二元一次方程组解应用题的 连续和进展, 列方程解应用题就是先把实际问题抽象为方程模型,然后通过解方程获得对实际问题的解决 .列一元二次方程解应用题的关键是：找出未知量与已知量之间的联系,从而将实际问题转化为方程模型,要善于将一般语言转化为代数式,在审题时, 要特殊留意关键词语,如“ 多少、快、慢、和、差、倍、分、超过、剩余、增加、削减” 等等,此外,仍要把握一些常用的公式或特殊的等量关系,如特殊图形的面积公式、行程问题、工程问题、增 第 13 页,共 13 页 长率问题中的一些特殊关系等等. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -