2022年一元二次方程知识点总结全——难易两个部分.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点其次章 一元二次方程1、花边有多宽（1）整式方程及一元二次方程的概念 整式方程：方程两边都是关于未知数的整式；一元二次方程： 只含有一个未知数x 的整式方程, 并且都可以化作ax2+bx+c=0a,b,c 为常数, a 0的形式；1一元二次方程的意义 未知数个数为 1,未知数的最高次数为 2,整式方程,可化为一般形式；2 2只有当二次项系数 a 0 时,整式方程 ax bx c 0 才是一元二次方程；（2）一元二次方程的一般式及各系数含义一般式： ax2+bx+c=0a,b,c 为常数,

2、a 0,其中, a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项；2、配方法（1）直接开平方法的定义 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫直接开平方法；（2）配方法的步骤和方法 一、移项,把方程的常数项移到等号右边；二、配,方程两边都加上一次项系数的一半的平方,把原方程化为（ x+m）2=nn0 的形式；三、直接用开平方法求出它的解；3、公式法（1）求根公式b 2-4ac 0 时, x=bb24ac2a2 求一元二次方程的一般式及各系数的含义一、将方程化为一元二次方程的一般ax2+bx+c=0a,b,c 为常数, a 0；二、运算 b 2-4ac 的值,当 b2-4ac0 时,

3、方程有实数根,否就方程无实数根；三、代入求根公式,求出方程的根；四、写出方程的两个根；4、分解因式法（1）分解因式的概念当一元二次方程的一边为0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,依据 a b=0,那么 a=0 或 b=0,这种解一元二次方程的方法称为分解因式；（2）分解因式法解一元二次方程的一般步骤 一、将方程右边化为零；二、将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三、设每一个因式分别为 0,得到两个一元二次方程；四、解这两个一元二次方程,它们的解就是原方程的解；5、为什么是 0.618 （1）什么叫黄金比线段 AB 上一点 C 分线段 AB 成两条线段AC,BC,如AC=BC ,就 C

4、点叫线段 AB 的黄金分割点,ACAB其中AC 叫黄金比,其值为 AB0.618；（2）列一元二次方程解应用题的一般步骤一、审题；二、设求知数；三、列代数式；四、列方程；五、解方程；六、检验；七、答细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点一、本章学问结构框图实际问题设未知数,列方程ax2数学问题0 a0bxc开平方法解降配方法方公式法次程分解因式法数学问题的解实际问题的答案检 验xb

5、b24 ac2 a二、详细内容1、一元二次方程的一般式：ax2bxc0 a0,a为二次项系数,b 为一次项系数,c 为常数项；2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法（也可以使用因式分解法）0 x2a a0解为： xaxa2b b0解为： xabaxb2c c0解为： axbc axb 2cxd2 ac解为：axbcxd（2）因式分解法 ：提公因式分,平方公式,平方差,十字相乘法如：ax2bx0 , a b0x axb 0此类方程适合用供应因此,而且其中一个根为x290x3x30x23x0x x303 2x152x103x52x10留意：提取整个因式的方法非经常见,解题的过程中肯定要仔细观看；

6、x26x94x32x4042 x12x902x3203 4 0x24x120x622x25x1 20 2十字相乘法特别有用,留意在解题的过程中多考虑；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）配方法名师总结精品学问点2 进行配方,如下所示：二次项的系数为“1” 的时候：直接将一次项的系数除于x2Pxq0xP2P2q022示例：x23 x10x32321022二次项的系数不为“1” 的时候：先提取二次

7、项的系数,之后的方法同上：2 axbxc0 a0a x2bxc0 a xb2ab2c0a2 a2 aa xb22 bcxb2b24ac2 a4a2a4a2示例：1x22x101x24 101x22122102222备注： 实际在解方程的过程中,一般也只是针对a1且 b 为偶数时,才使用配方法,否就可以考虑使用公式法来更加简洁；（4）公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0,用配方法将其变形为：xb2b24ac2a4a2当b24ac0时,右端是正数因此,方程有两个不相等的实根：x 1,2bb2 b4 ac2a 当b24 ac0时,右端是零因此,方程有两个相等的实根：x 1,22 a 当b24 a

8、c0时,右端是负数因此,方程没有实根；留意： 虽然全部的一元二次都可以用公式法来求解,但它往往并非最简洁的,肯定要留意方法的选用；备注：公式法解方程的步骤：把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：ax2bxc0 a0,并确定出 a 、 b 、 c求出b24 ac ,并判定方程解的情形；代公式：x 1,2b2 b4 ac（要留意符号）2a备注：一元二次方程的解题步骤：第一看方程中a b c 是否可以同时除以或者乘以一个非零的数,使得方程更加便利运算：x2x30如：10x2100x500（同除于10）x210x50这样更加便利运算；12 x1x30（同乘于4,这样二次项的系数为正整数,更便利运算

9、）2244四种求方程方法的肯定要合理选用,依次按直接开平方、因式分解,配方法和公式法的次序考虑选用；可以考虑选用根与系数的关系对方程的根进行适当的检验,同时对于应用题中,肯定要考虑根的实际意义,是否全部的根都是方程的解；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 精品学问点3、根的判别式1明白一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情形,并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范畴；

10、（1）=b24acax2bxc0（a0）（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程当a0方程有实数根；a0方程有两个相等的实数根；0 时（当a0方程有两个不相等的实数根；当0 时0 时当a0方程无实数根；0 时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理；2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情形（2）已知方程中根的情形,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范畴（3）应用判别式,证明一元二次方程根的情形例：求证：方程a21 x22axa240无实数根；4、一元二次方程的根与系数的关系法 1：一元二次方程ax2bxc0 a0的两个根为：24acc

11、 第 4 页,共 6 页 x 1b2 b4ac,x 2bb24 ac2a2 a所以：x 1x 2b2 b4 acb2 b4 acb,2 a2 aax 1x 2bb24 acb2 b4 acb 22 b4 ac2 a2 a2 242 aa定理： 假如一元二次方程ax2bxc0 a0定的两个根为x x ,那么：x 1x 2b,x x 2caa法 2：假如一元二次方程ax2bxc0 a0定的两个根为x x ；那么ax2bxc0a xx 1xx 20两边同时除于a ,绽开后可得：x2bxc0x2x 1x2xx x20x 1x 2b；x 1x2caaaa细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -法 3：假如一元二次方程ax2bxc名师总结精品学问点x x ；那么0 a0定的两个根为2 ax 1bx 1c0得：x 1x2b a（余下略）ax 22bx 2c0常用变形：x 12x 22x 1x2222x x ,11x 1x 2,x 1x22x 1x 224x x ,x 1x 2x x 2|x 1x 2|x 1x 2x 14 x x 2,x x 222 x x2x x 2x 1x 2,x 2x 12 x 1x 22x 224x x

13、2等x 1x 2x x 1 2x x 1 2练习：【练习 1】如x 1,x 是方程x22x20070的两个根,试求以下各式的值：1 x 12x 22；2 11；3 x 15x 25；4 |x 1x2|x 1x 2【练习 2】已知关于 x 的方程x2k1x1k210,依据以下条件,分别求出k 的值41 方程两实根的积为5； 2 方程的两实根x 1,x 满意|x 1|x 【练习 3】已知x x 是一元二次方程4kx24 kxk10的两个实数根1 是否存在实数k ,使2x 1x 2x 12x23成立？如存在,求出k 的值；如不存在,2请您说明理由2 求使x 1x 22的值为整数的实数k 的整数值x

14、2x 15、韦达定理相关学问（ 1）如一元二次方程ax2bxc0a0有两个实数根x 和x2,那么x 1x2,1,就 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - x 1x2；我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理；（ 2 ） 如 果 一 元 二 次 方 程x2pxq0的 两 个 根 是x 和x 2, 就x 1x 2x 1x2；（3）以x 和x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2x 1x2xx 1x20（ 4 ）在一元二次方程ax2bxc0a0中,有一根为0,就 c；有一根为细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

15、 - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结精品学问点2,就 c0；如两根互为abc；有一根为1 ,就abc；如两根互为倒数c0a0的两个根相反数,就 b；（5）二次三项式的因式分解公式法 bx在分解二次三项式ax2bxc的因式时,假如可用公式求出方程axx 和x2,那么ax2bxcaxx 1xx2假如方程ax2bxc0a无根 ,就此二次三项式ax2bxc不能分解；6、一类特别的二元一次方程的求解方法再探讨ax2bxc0a0的两个根为x x ,那么：0的两根为：（1）2 p x2pbxc0p0的两个根为：1x,x2（缘由留给大家自行摸索

16、）pp例 1：49x235x1204 92 7 , 3 575先求出方程：x25x12x 1,25273,故原方程的根为：x 1,215273514737（2）2 xqbx2 q c0q0的两个根为：qx ,qx 2例 2：x2700x30000007 0 01 0 07 ,2 3 0 0 0 0 01 0 03 0 先解得方程：x27x300的两根为：x 110,x 23,所以原方程的两个解为：x 1100 101000,x 210033007、应用题（1）平均增长率的问题：a1xnb其中： a 为基数, x 为增长率, n 表示连续增长的次数, 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - b 表示增长后的数量；（2）面积问题：留意平移思想的使用8、换元法例：x2x25x2x60解：令yx2x就原方程可化为：y25y60解得：y 12y 23当x2x2时,求得：x 11,x22当x2x3时,求得：x 3,41213（原方程共有4 个解）练习：x212x21xx1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -