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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载一元二次方程根的判别式中考要求学问点A要求B要求要求一 元 二明白一元二次方程的概念,会将能由一元二次方程的概次方程一元二次方程化为一般形式,并念确定二次项系数中所指出各项系数; 明白一元二次方含字母的取值范畴; 会由程的根的意义方程的根求方程中待定系数的值一 元 二懂得配方法,会用直接开平方能挑选恰当的方法解一能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次次 方 程法、配方法、公式法、因式分解元二次方程; 会用方程的方程根的情形及由方程根的情形确定方程中待定的解法法解简洁的数字系数的一元二根的
2、判别式判别方程根系数的取值范畴;会用配方法对代数式做简洁的次方程,懂得各种解法的依据的情形变形;会应用一元二次方程解决简洁的实际问题学问点睛一、一元二次方程根的判别式的定义b22 b4ac,明显只有当b24acb0时,才能直接开平运用配方法解一元二次方程过程中得到x4 a22a方得:xbb244ac2aa20只有当系数a 、 b 、 c 满意条件24ac0时才有实也就是说,一元二次方程ax2bxc0a数根这里2 b4 ac 叫做一元二次方程根的判别式二、判别式与根的关系在实数范畴内,一元二次方程ax2bxc0a0的根由其系数a 、 b 、 c 确定,它的根的情形( 是否有实数根 )由b24 a
3、c 确定c0a0,其根的判别式为:b24ac 就设一元二次方程为ax2bx0方程ax2bxc0a0有两个不相等的实数根x 1,2b2 b4ac2 a0方程ax2bxc0a0有两个相等的实数根x 1x2b2a0方程ax2bxc0a0没有实数根如 a , b , c 为有理数,且为完全平方式,就方程的解为有理根;2 b4ac 是 2a 的整数倍,就方程的根为整数根如为完全平方式,同时b说明:用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使用,当方程有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6 页 - - - -
4、 - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载(有两个(二重两个不相等的实数根时,0 ;有两个相等的实数根时,0 ;没有实数根时,0 在解一元二次方程时,一般情形下,第一要运用根的判别式b24ac 判定方程的根的情形不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根)当2 b4 ac0时,方程有两个相等的实数根根),不能说方程只有一个根当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点;当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用:运用判别式,判定方程实数根的个数
5、;利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范畴;通过判别式,证明与方程相关的代数问题;(4)借助判别式,运用一元二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题例题精讲一、一元二次方程实数根个数的判定【例 1】 不解方程,判定以下方程的根的情形:x122 x3x40;ax2bx0(a0)【例 2】 不解方程,判别一元二次方程2x26的根的情形是()A 有两个不相等的实数根 B没有实数根 C有两个相等的实数根 D无法确定【例 3】 已知 a ,b,c 是不全为 0 的 3 个实数,那么关于 x 的一元二次方程x2abc xa2b22 c0的根的情形()2 b xc20的根A 有 2
6、 个负根B有 2 个正根C有 2 个异号的实根D无实根【例 4】 已知 a , b , c 为正数,如二次方程ax2bxc0有两个实数根,那么方程2 a x2的情形是()A 有两个不相等的正实数根B有两个异号的实数根C有两个不相等的负实数根D不肯定有实数根20()【例 5】 如方程m2x22m1xm0只有一个实数根,那么方程m12 x2 mxmA 没有实数根B有 2 个不同的实数根 第 2 页,共 6 页 C有 2 个相等的实数根D实数根的个数不能确定细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学
7、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【例 6】 已知: 方程2 mx2m2xm5精品资料欢迎下载m5,求证:m5x22m2xm0有0没有实数根, 且两个实数根【例 7】 对任意实数m ,求证:关于x 的方程m21 x22 mxm240无实数根ax22 bcc0必【例 8】 求证:关于x 的一元二次方程x22m x1m0有两个实数根【例 9】 设方程x2ax4只有 3 个不相等的实数根,求a 的取值和相应的3 个根【例 10】已知实数 a 、 b 、 c 、 r 、 p 满意pr2,pc2bra0,求证:一元二次方程有实根【例 11】已知关于 x 的方程 n1x2m
8、x10有两个相等的实数根q2时,这两个方求证:关于y 的一元二次方程2 m y24 mym24n0必有两个相等的实数根【例 12】已知关于 x 的二次方程x2p xq 10与x2p xq 20,求证:当p p22q 1程中至少有一个方程有实数【例 13】设 a 、 b 、 c 为互不相等的非零实数,求证:三个方程2ax 2 bx c 0,2bx 2 cx a 0,2cx 2 ax b 0,不行能都有 2 个相等的实数根2 2【例 14】当 m 为何值时,关于 x 的方程 m 4 x 2 m 1 x 1 0 有实根2【例 15】 k 为何值时,方程 k 1 x 2 k 3 x k 3 0 有实数
9、根2 2 2【例 16】当 a 、 b 为何值时,方程 x 21 a x 3 a 4 ab 4 b 2 0 有实根?【例 17】已知 a 0, b a c ,判定关于 x 的方程 ax 2bx c 0 的根的情形,并给出必要的说明【例 18】假如方程 m 2 x 22 m 1 x m 0,只有一个实数根,那么方程 m 1 x 22 mx m 2 0()A 没有实数根 B有 2个不同的实数根 C有 2个相等的实数根 D实数根的个数不能确定【例 19】如二次方程 x 22 px 2 q 0 有实根,其中 p , q 为奇数,证明:此方程的两个根都是无理数2【例 20】是否存在质数 p, ,使得关于
10、 x 的一元二次方程 px qx p 0 有有理数根?细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载二、一元二次方程中字母参数的确定2【例 21】 k 的何值时?关于 x 的一元二次方程 x 4 x k 5 0:有两个不相等的实数根;有两个相等的实数根;没有实数根2 2【例 22】 m 为给定的有理数,k 为何值时,方程 x 4 1 m x 3 m 2 m 4 k 0 的根为有理数?【例 2
11、3】已知方程 m x 2 22 m 1 x 1 0 有实数根,求 m 的范畴【例 24】关于 x 的方程 a 6 x 28 x 6 0 有实数根,就整数 a 的最大值是【例 25】如方程 x 22 a 1 x a 24 a 5 0 有实数根,求:正整数 a 【例 26】当 a b、 为何值时,方程 x 22 1 a x 3 a 24 ab 4 b 22 0 有实根?【例 27】 k 为何值时,方程 k 1 x 22 k 3 x k 3 0 有实数根【例 28】已知关于 x 的方程 x 2a b x 1b 22 b 1 0 有两个相等的实数根,且 a 、 b 为实数,就23 a 2 b _【例
12、29】关于 x 的一元二次方程 1 2 k x 22 k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根,求 k 的取值范畴【例 30】假如关于 x 的一元二次方程 kx 26 x 9 0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范畴是()A k 1 Bk 0 Ck 1 且 k 0 Dk 1【例 31】关于 x 的方程 x 22 k x 1 0 有两个不相等的实数根,就 k 的取值范畴为 _【例 32】已知关于 x 的一元二次方程 x 21 mx m 0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值范畴【例 33】如关于x的一元二次方程 kx 22 x 1 0 有两个不相等的实数根,就 k 的取值范是【例 34】
13、假如关于 x 的一元二次方程 k x 2 22 k 1 x 1 0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范畴是【例 35】已知关于 x 的方程 x 22 m 1 x m 25 0 有两个不相等的实数根,化简:2|1 m | m 4 m 4细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -【例 36】当 a 在什么范畴内取值,方程kx2精品资料欢迎下载k 的最大整数值为5 xa 有且只有两相异实根?【例 37】已
14、知一元二次方程x24k2x4k20有两个不相等的实数根就【例 38】已知关于 x 的方程2 k x221x10有两个不相等的实数根x 1,x 2求 k的取值范畴;是否存在实数k,使方程的两实数根互为相反数?假如存在,求出k 的值; 假如不存在,请说明理由【例 39】已知关于 x 的方程 m22 m x2 mx10有两个不相等的实数根求 m 的取值范畴;2如 m 为整数,且 m 3, a 是上述方程的一个根,求代数式 2 a 23 a 2 a 13 的值4【例 40】使得关于 x 的一元二次方程 2 x kx 4 x 26 0 无实数根的最小整数 k ()A -1 B2 C3 D 4 2【例 4
15、1】已 知 : m 、 n 为 整 数 , 关 于 x 的 二 次 方 程 x 7 m x 3 n 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 解 ,2 2x 4 m x n 6 0 有两个相等的实数根,x m 4 x n 1 0 没有实数根,求 m 、 n 的值【例 42】如关于 x 的方程 x 22 px q 0 和 x 22 qx p 0 都没有实数根 ( p 、q 是实数),问式子 q p是p q否总有意义, 说明理由 问 p q是否可以是整数,如可以, 当 p q为整数时, 求 p pq q pqq p的值;如 p q 不行以为整数,说明理由2 2【例 43】已知 b 4 ac 是一元二
16、次方程 ax bx c 0 a 0 的一个实数根,就 ab的取值范畴为()1 1 1 1A ab Bab CabDab 8 8 4 4三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例 44】三角形两边的长是3和 4 ,第三边的长是方程x212x350的根,就该三角形的周长为这样的 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 【例 45】方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰,就这个三角形的周长为【例 46】已知 a , 3是直角三角形的两边,第三边的长满意方程x29x200,就 a 的值为直角三角形有个【例 47】已知ABC 的三边a b c 满意:bc8,bca212a52
17、,试确定ABC 的外形【例 48】假如始终角三角形的三边长分别为a、 b 、 c ,B90,那么,关于x 的方程细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载)a x212 cxb x210的根的情形是()A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根C没有实数根 D无法确定【例 49】已知 a 、 b 、 c 分别是三角形的三边,就方程ab x22cxab0的根的情形是(A 没有实数根B可能有且只有一个实数根C有两个相等的实数根D有两个不相等的实数根2
18、2 2 2 2 2【例 50】已知: a 、 b 、 c 分别是 ABC的三边长,求证:方程 b x b c a x c 0 没有实数根【例 51】在 等腰 ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 a 3, b 和 c 是关于 x 的方程2 1x mx 2 m 0 的两个实数根,求 ABC 的周长2【例 52】已 知 : a 、 b 、 c 分 别 是 ABC 的 三 边 长 , 当 m 0 时 , 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程2 2c x m b x m 2 a mx 0 有两个相等的实数根,求证:ABC 是直角三角形【例 53】关于 x 的一元二次方
19、程 a c x 2bx a c0 有两个相等的实数根,就以 a , b , c 为三边的三角4形的外形是 _【例 54】已知 a 、 b 、 c 是 ABC 的三边的长,且方程 x 22 b c x a b c a 0 有两个相等的实数根,试判定这个三角形的外形【例 55】已知 a 、 b 、 c 是ABC 的三边,其中a1,c4,且关于 x 的方程x24xb0有两个相等的实数根,试判定ABC 的外形bxcxcxa0(其中 a , b , c 均为正数)有两【例 56】假如关于 x 的方程xaxbx个相等的实数根证明:以a , b , c 为长的线段能够组成一个三角形,并指出三角形的特点【例57】已知关于方程 x 22 k 1 x 4 k 1 02求证:无论 k 取何值,这个方程总有实数根;如等腰 ABC 的一边长为 4,另两边长 b 、c 恰好是这个方程的两个实数根,求这个三角形的周长【例 58】已知关于 x 的方程 x 2 k 2 x 2 k 0求证:无论 k 取任何实数值,方程总有实数根;如等腰三角形 ABC 的一边长 a 1,另两边长 b , c 恰好是这个方程的两个根,求 ABC 的周长细心整理归纳 精选学习资料 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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