2022年2022年函数的单调性与导数教学设计 .pdf

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1、1.3.1 函数的单调性与导数教学目标知识与技能 理解利用导数判断函数单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法及步骤。过程与方法1.通过问题的探究，体会知识的类比迁移；2.以已知探求未知，从特殊到一般的数学思想方法。情感态度与价值观通过师生互动，生生互动的数学活动，形成学生的体验认识，并体验成功的喜悦。提高学习数学的兴趣，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。教学重点利用导数判断函数的单调性教学难点 探究函数的单调性与导数的关系 如何用导数判断函数的单调性教学方法实验，归纳探究式教学建议可使用多媒体课件、师生互动课时安排3 课时教师活动学生活动设计意图、创设情境，引入新课问题1

2、高台跳水（幻灯片1）已知起跳t 秒后，运动员相对于水面的高度h（单位： m）可用函数h(t)= 4.9t26.5t10 表示。问：你能确定该函数的单调区间吗？师：说的非常具体。因为二次函数的图像我们非常熟悉。请同学们 画 出 其 图 像 ， 指 出 其 单 调 区间，再想一下，有没有需要注意的地方？（师在黑板上画出函数图像）师赞同学生2 的说法，强调定义域。师：还有其他方法吗？师：的确，定义是解决问题的最根本方法，同学们不要瞧不起定义啊！并简略回顾其步骤，但定义法较繁琐。问题 2 （幻灯片 2）试确定函数f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。学生积极举手发言学生1：画出该函数的图像，从图像

3、上直观获知其单调区间学生 2：t(0,0.66) h(t)单调递增t(0.66,2.24) h(t)单调递减要注意函数的定义域学生思考，并积极举手发言学生3：利用函数的单调性定义学生陷入沉思？创设情境，引导学生复习回顾研究函数单调性的方法：观察图像的变化趋势 （ 图 像 必 须 能 画出）利用单调性的定义（较繁琐）由问题 2 的提出发现这两种方法的局限性与缺点，产生认知冲突。产生探究新方法的求知欲，引入新课。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - -

4、- - - - - - - 师：你能画出该函数的图像吗？定义法又太繁，那该如何解决呢？揭示并板书课题：函数的单调性与导数、探究新知问题3 仍以函数h(t)=4.9t26.5t10 为例来考察单调性与导数有什么关系。下面请结合函数的图像与导数来研究。师生共同总结，教师板书：t(0,0.66) h(t)单调递增切线斜率大于0 即 h(t)0 t(0.66,2.24) h(t)单调递减切线斜率小于0 即 h(t)0 问题4 这种规律是否具有一般性呢？我们可否再举一些函数看看？（幻灯片3）1. 先看函数y=x y=x2 y=x3 y=1/x 的图像 ,验证其是否具有这种规律 . 2. 让学生任意举一个

5、函数,(学过的和没学过的 )验证结论是否成立. 这里教师利用几何画板作图，一一验证。师：通过以上，你发现了什么现象？师生共同总结： （幻灯片4）一般的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间（a,b）内如 果f(x) 0 ， 那 么 函 数y=f(x) 在（ a,b）上单调递增；如 果f(x) 0 ， 那 么 函 数y=f(x) 探究活动 1 学生根据函数的图像，探索研究单调性与导数的关系。学生 3 回答（略）学生思维活跃，积极搜索已学函数,例举各种函数 . 如 y=sinx; y=lnx; y=x2+x3; y=x+1/x; y=ex-x 学生状态兴奋，踊跃发言学生 4 ：函数的单

6、调性与导数有着密切的关系 从旧知中探究发现新知。 让学生体会，如何研究一个新问题。并会在以后的学习中尝试运用。体会数形结合思想的运用引导学生寻找实例支持从中不仅验证单调性与函数的关系，更培养 学 生 如 何 发 现 规律。体会从特殊到一般的研究问题的思想方法0.62.24 y x h(t) 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 在（ a,b）上单调递减；（教师简要板书）问题 5 反思1 上面的结论还可能有其他情况吗

7、？同学们可讨论讨论。师：好！提出问题比解决问题更重要！数学正是在不断的提出问题，并解决问题中发展的！那下面谁能解决这个问题？教师给与表扬！并归纳板书。注：若f(x) 在某个区间内恒有f”(x)=0 ，则 f(x) 为常数函数。反思2 从上述探究过程，我们是怎样解决问题的？教师归纳：结论的探究思路或方法：归纳推理从特殊到更多，从简单到复杂，但仍然是由有限的例子归纳出的结论，在数学上是不严谨的，有时也不可靠的，但确是一种重要的思维方式。这里就不证明了（待后证）学生再次陷入沉思，并讨论。让学生代表发言学生 5：在（ a,b）内，若恒有f”(x)=0, 那f(x) 的单调性如何呢？学生 6：f(x)

8、在（ a,b）内是常数函数！学生 7: 从特殊中发现规律，再推广到一般的思维方法。启发学生发现问题，并培养学生发现问题的意识及知道他的重要意义！养 成 反 思 的 学 习 习惯，形成锲而不舍的钻研精神。养成合作交流的科学态度！在这一系列发现问题并解决的过程中让学生获得一种成就感！从而更加喜爱数学！养成反思的习惯；反思探究过程，让学生体会并明确什么是归纳推理，知道归纳推理的意义，并在以后的学习中加以运用! . 应用举例(幻灯片 5) 例1已知导函数f(x) 的下列信息当 1x4 时，f(x)0 当 x1 或 x4 时， f(x) 0 当 x=1 或 x=4 时，f(x)=0 试画出函数f(x)

9、的图像的大致形状。教师投影若干学生的作业情况。并和学生共同分析。注：“临界点”学生思考，并在纸上画出函数图像f(x)f(x) 让学生通过此题加深理解导函数是如何影响原函数的。这是今后利用导函数研究函数的必备技能。这里让学生切实理解，为今后学习扫清障碍！1 4 0 x 1 4 y y x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例2 用导数研究高台跳水的函数h(t)= 4.9t26.5t10 的单调性注：教师带领学生完成，

10、并与前面图像法对比。强调定义域；作出导函数h(t)的图像与h(t)的图像作对比。例 3 试确定函数f(x)=2x3-6x2+7 的单调区间。教师给与规范的板书。 （略）注：强调步骤的完整性，最后要下结论。问题6：反思你有算法意识吗？你能归纳出用导数求函数单调区间的算法步骤吗？课堂练习：课本P93 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）f(x) x22x4; （2）f(x) exx 学生跟随老师，学会如何用导数求函数单调区间学生尝试解决。由学生归纳教师补充。确定函数定义域求函数的导函数解不等式f(x)0，f(x)0 下结论学生练习，并报出答案学会如何用导数求单调区间，同时再次验证用导数求导

11、与图像求 导 的 结 果 的 一 致性！应用新知识解决之前不能解决的问题。从中掌握如何具体的应用导数解决函数单调性问题。从算法角度明确如何操作，更清晰，易掌握渗透算法思想，多题归一思想，提高学习效率培养解题后反思意识及时巩固所学，形成技能。课堂小结与作业师：谈谈本节课你的收获？1.教师给与归纳：1.知识点总结2.思想方法总结2.思考：结合函数的单调性定义，思考在某个区间上函数y=f(x) 的平均变化率的几何意义与导数的正负的关系3.作业：1 全品P7 课时（五）（六）2 预习 1.3.2 学生纷纷举手发言总结所学知识，并养成总结的学习习惯！课下思考，揭示导数为什么能反映函数单调性的本质。 （留

12、待下节课）0.62.24 y x h(t) 0 0.66 h(t) 0 y x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - ?了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。?培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有

13、效性；培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；?激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。如图，函数y=)(xf在 a,b,c,d,e,f,g,h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=)(xf在这些点的导数值是_,在这些点附近，y=)(xf的导数的符号有什么规律？定义： 在 x=a 附近，)(xf先减后增，)( xf先 _后_，)( xf连续变化，于是有)( af=0)(af比在点x=a 附近其它点的函数值都小。我们把点a 叫做函数y=)(xf的_,)(af叫做函数的 _. 在 x=b附 近 ，)(xf先 增 后 减 ，)( xf先 _后 _，)( xf连续变化，于是有)(

14、 bf=0)(bf比在点x=b 附近其它点的函数值都大。我们把点b 叫做函数y=)(xf的_,)(bf叫做函数的 _. (1)如果)( 0 xf=0, 并且在0 x附近的左侧)( xf0 ，右侧)( xf0, 那么 f(0 x)是极大值。(2)如果)( xf=0, 并且在0 x附近的左侧)( xf0, 那么 f(0 x)是极小值。例 4：求函数4431)(3xxxf的极值。解：)( xf=(31x34x+4) =x24=(x+2)(x 2) 令)( xf=0，解得 x1=2，x2=2(1) 当)( xf0，即 x2,或-2 时；(2) 当)( xf0，即-2x2 时。当 x 变化时，)( xf

15、，)(xf的变化情况如下表：x)2,(-2 (-2,2) 2 2,)( xf+ 0 0 + )(xf283单调递减43单调递增 当x= 2 时 ，)(xf有 极 大 值 ， 并 且 及 极 大 值 为)2(f=328当 x=2 时，)(xf有极小值并且及极小值为)2(f=34。函数4431)(3xxxf的图像如图所示f(x)=13x3-4x+42-2xOy求出函数593)(23xxxxf的极值。如3)(xxf若)(0 xf是极值，则)( 0 xf=0。反之，)( 0 xf=0，)(0 xf不一定是极值拓展 (3)、下图是导函数)( xfy的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大

16、值点，哪些是极小值点。(1)27)(3xxf(2) 3126)(xxxf2.函数3)(xxf是否有极值 ?1.3.3 函数最大（小）值与导数教学目标知识与技能1明了极值与最值的区别2会利用导数求函数在a,b上的最值过程与方法1结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法；2培养学生结合图形分析问题、总结问题的能力( )0httata tacxydefO gijhyxObay x O xx xxxxba名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 -

17、 - - - - - - - - 情感、态度与价值观通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养教学重点利用导数求函数的最值教学难点含参函数最值的求解课时安排2 课时教学环节教学内容设计意图师生互动复习回顾1、 单调性与导数2、 极值的判定3、 极值的求解步骤回顾旧知，为最值的推导作准备生：回答问题师：屏幕展示问题探究观察上图定义在 , a b上的函数( )yf x的图象，我们可以发现图中： _是极小值，_是极大值在区间 , a b上函数的最大值是_最小值是 _ 通过观察与比较发现规律师：引导学生观察图象，提出问题生：回答问题师：屏幕展示，引导学生寻找规律问题探究思考：如果在没

18、有给出函数的图象的情况下，我们如何判断出函数的最大值与最小值呢？总结用导数求函数最值的方法。让学生体会从特殊到一般的过程，提高自身归总结的能力师：指导学生观察总结生：总结求函数最值的方法例题讲解例5 ： 求 函 数31( )443f xxx在 3,4上的最大值与最小值。让学生掌握用导数函数求最值求解的一般过程生：分析例5 师：板书例5练习1、变式将区间 3,4改为0,32、求函数3( )27 , 4, 4f xxx x的最大值与最小值进一步加强对导数求最值的步骤的掌握生：板书解题过程师：引导学生共同矫正练习的解题过程yxoab2x3x1x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

19、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 例题讲解已知函数32( )39fxxxxa（1）求( )f x的单调减区间；（ 2）若( )f x在区间 2,2上的最大值为20，求函数在该区间上的最小值。让学生掌握含参含数最值的求解生：分析例题，回答问题师 ： 课 件 展 示 例题，及总结练习设a为实数，函数3( )3, 2,3f xxxa x（1）求( )f x的极值；（ 2） 当a在 什 么 范 围 内 取 值 时 ， 曲 线( )yf x与x轴总有交点。及时巩固所学知识，并进行初步提高师：引导学生完成练习生：完成并回答师：屏幕展示课 堂小 结1、函数最值与极值的区别与联系2、求函数最值的步骤通过总结，使学生明确这节课 所 学 的 知识。课 后作 业1. 全品P12 课时（八）2. 预习 1.4 加深知识的巩固与落实名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -