2022年一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后,都可以化为.axba 0的形式 .当 a0 时,解集为；当 a0 时,解集为2.一元二次不等式及其解法1我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 的不等式,称为_不等式 .2使某个一元二次不等式成立的x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等式全部的解组成的集合叫做一元二次不等式的 _.3一元二次不等式的解：函数与不等式 0 0 0二次函数yax 2 bxca 0的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无

2、实根ax2bxc0x1x2b 2ax1,x2x1x2a0的根ax2bxc0Ra 0的解集ax2bxc0 x|x1xx2.a 0的解集3.分式不等式解法1化分式不等式为标准型.方法：移项,通分,右边化为0,左边化为f（x）g（x） 的形式 .2将分式不等式转化为整式不等式求解,如：f（x）g（x）0 .fxgx0；f（x）0 .fxgx 0；g（x）f（x）0 .f（x） g（x） 0,f（x）0 .f（x）g（x） 0,g（x） 0；g（x） 0.g（x）g（x）2022 课标 已知集合A x|x22x30 ,B x|2x 2 ,就 AB A. 2, 1 B. 1,2C.1,1 D.1 ,2

3、解： Ax|x3 或 x1 ,B x|2x2 , AB x| 2x1 2,1 .应选 A.1细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -设 fxx 2bx1 且 f1f3,就 fx0 的解集为 A. x|x R B. x|x 1, xRC. x|x 1 D. x|x1解： f11b12b,f393b1103b,由 f1f3,得 2b103b,解出 b 2,代入原函数,fx0 即 x22x10,x 的取值范畴

4、是x 1.应选 B.x 都成立,就 k 的取已知1 21 x2,就 x 的取值范畴是 A. 2x0 或 0x1B.1 2x22C.x2 D.x1 2解： 当 x0 时, x1 2；当 x0 时, x 2.所以 x 的取值范畴是x1 2, 应选 D.不等式1 2x0 的解集是.x1解： 不等式12x x1 0 等价于 12xx 10,也就是x1 2 x10,所以 1x1 2.故填 x|1x1 2,xR .2022 武汉调研 如一元二次不等式2kx2kx3 80 对一切实数值范畴为 _.解： 明显 k 0.如 k0,就只须 2x2 xmax8k,解得 k.；如 k0,就只须 3 8k2x2xmin

5、,解得 k3,0.故 k 的取值范畴是 3,0.故填 3, 0.类型一 一元一次不等式的解法已知关于 x 的不等式 abx2a3b 0 的解集为等式 a3bxb2a0 的解集 .解： 由abx3b2a 的解集为,1 3,得 ab0,且3b 2a a b1 3,从而 a2b,就 ab3b0,即 b0,将 a2b 代入 a 3bxb2a0,得 bx3b0,x 3,故所求解集为 , 3 .点拨：2,1 3,求关于 x 的不细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 -

6、- - - - - - - - - - - - - -一般地,一元一次不等式都可以化为ax ba 0的形式 .挖掘隐含条件a b 0 且3b 2a1 3是解此题的关键.a b解关于 x 的不等式： m24xm2.解： 1当 m240 即 m 2 或 m2 时,当 m 2 时,原不等式的解集为 .,不符合当 m2 时,原不等式的解集为 R,符合12当 m240 即 m 2 或 m2 时, xm2.13当 m240 即 2m2 时, xm2.类型二 一元二次不等式的解法解以下不等式：1x27x12 0; 2x22x30；3x22x10; 4x22x 20.解： 1 x|x3 或 x4 .2 x|3

7、x1 .3.4由于 0,可得原不等式的解集为R.就不等式 xx1fx2 12022 金华十校联考已知函数 fx x1,x0,x1,x 0,11 的解集是 A. x|1x21 B. x|x 1C. x|x21 D. x|21x解： 由题意得不等式xx1fx11 等价于x10,或 x（ x 1）（ x 1） 11 x1 0, x（ x1）（x1） 1 1,解不等式组 得 x 1；解不等式组 得 1x2 1.故原不等式的解集是 x|x21 .应选 C.类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系已知关于 x 的不等式 x2 bxc0 的解集是 x|5x1 ,求实数 b,c 的值 . 解： 不等式 x

8、2bxc0 的解集是 x| 5x1 ,x1 5,x21 是 x2bxc0 的两个实数根,由韦达定理知51b,b 4,cx2bxa 0 的5 1c,c 5.已知不等式ax2bxc0 的解集为 x|2x3 ,求不等式3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解集 .解： 不等式 ax2bx c0 的解集为 x|2x3 ,a0,且 2 和 3 是方程 ax2bxc0 的两根,由根与系数的关系得b a23,即b

9、 5a,c a2 3,c6a,a 0.a0.代入不等式 cx2bxa0,得 6ax25axa0a0.即 6x2 5x1 0,所求不等式的解集为 x|1 2x 1 3 .类型四 含有参数的一元二次不等式解关于 x 的不等式： mx2m1x10.解： 1m0 时,不等式为x10,得 x10,不等式的解集为x|x1 ；2当 m 0 时,不等式为m x1 m x10.当 m0,不等式为x1 m x10,1 m1,不等式的解集为x|x1 m或x1 .当 m0,不等式为x1 m x10.如1 m 1 即 m1 时,不等式的解集为x|1 mx1 ；如1 m 1 即 0m1 时,不等式的解集为x|1x1 m；

10、如1 m 1 即 m1 时,不等式的解集为.点拨：当 x2的系数是参数时,第一对它是否为零进行争论,确定其是一次不等式仍是二次不 等式, 即对 m 0 与 m0 进行争论, 这是第一层次； 其次层次： x2的系数正负 不等号方向 的不确定性,对m0 与 m0 进行争论；第三层次：1 m与 1 大小的不确定性,对m1、m1 与 m1 进行争论 .解关于 x 的不等式 ax222xaxaR. 解： 不等式整理为 ax2a2x20,当 a0 时,解集为 , 1 .当 a 0 时, ax2 a 2x20 的两根为 1,2 a,所以当 a0 时,4细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - -

11、- - - - - - - - 第 4 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解集为 , 12 a, ；当 2 a0 时,解集为2 a, 1 ；当 a 2 时,解集为 x|x 1 ；当 a 2 时,解集为1,2 a .类型五 分式不等式的解法1解不等式x1 2x11.解：x11 . x 110 .x20 . x 20.2x1 2x1 2x1 2x1x2（x2）（2x1）0,2x10 . 2x1 0.得xx1 2或 x2 . 2不等式 x23x2 0 的解集是 x2 .x2 x 2解：x 23x2

12、0.（x2）（ x1） 0.x 2x 2x10,数轴标根得 x|2x 1 或 x2 ,故填 x|2x 1 或 x2 .点拨：分式不等式可以先转化为简洁的高次不等式,再利用数轴标根法写出不等式的解集,如果该不等式有等号,就要留意分式的分母不能为零. 用“ 数轴标根法” 解不等式的步骤：1移项： 使得右端为 0留意： 肯定要保证 x 的最高次幂的项的系数为正数 .2求根： 就是求出不等式所对应的方程的全部根 .3标根： 在数轴上按从左到右 由小到大 依次标出各根 不需标出精确位置,只需标出相对位置即可 .4画穿根线： 从数轴“ 最右根” 的 右上方向左下方画线,穿过此根,再往左上方穿过“ 次右根”

13、 ,一上一下依次穿过各根 ,“ 奇穿偶不穿”来记忆 .5写出不等式的解集：如不等号为“ ” ,就取数轴上方穿根线以内的范畴；如不等号为“ ”,就取数轴下方穿根线以内的范畴；如不等式中含有“ ” 号,写解集时要考B虑分母不能为零.1 如集合 A x|12x 13 , B x|x20 ,就 A BxA. x|1x0 B. x|0x1C. x|0 x2 D. x|0x1解： 易知 A x|1 x1 ,B 集合就是不等式组x（x2）0,的解集,求出x 0x|0x2 ,所以 ABx|0x 1 .应选 B. 5细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5

14、页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2不等式x10 的解集为 2x 1A.1 2,1 B. 1 2,1C., 1 21, D. ,1 21, 解：x1 2x10.（x1）（ 2x1）0,2x1 0得1 2x 1.应选 A.类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题11如不等式 x2ax 10 对于一切 x 0,2成立,就 a 的最小值为 5A.0 B. 2 C.2 D. 3解： 不等式可化为 axx21,由于 x 0,1 2,a x1 x .fx x1 x在 0,1 2上是减函数, x1x ma

15、x5 2.a52.2已知对于任意的 a1,1,函数 fx x2a4x42a 的值总大于 0,就 x 的取值范畴是 A.1x3 B.x1 或 x3C.1x2 D.x 1 或 x 2解： 记 gax2ax24x4,a1,1,依题意,只须g（1） 0,.g（ 1） 0x 23x20,. x1 或 x3,应选 B.x 25x60点拨：对于参数变化的情形,大多利用 把关于 x 的二次不等式转换为关于 性,求出 x 的取值范畴 .参变量转换法 ,即参数转换为变量；变量转换为参数,a 的一次不等式, 化繁为简, 然后再利用一次函数的单调对于满意 |a|2 的全部实数a,求使不等式x2ax1 2xa 成立的

16、x 的取值范畴 .解：原不等式转化为 2,2上恒大于 0,故有：x1a x2 2x10,设 fax1ax22x1,就 fa在f（ 2） 0,即x 24x30,解得x 3或x1,f（2） 0x 210x 1或x 1.x 1 或 x 3.A. a16细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -C.1a1 D.0a1解法一： 令 fx2ax2 x1,就 f0 f10,即 1 2a 20,解得 a1.解法二： 当

17、a0 时,x 1,不合题意,故排除C,D；当 a 2 时,方程可化为4x2x10,而 1 160,无实根,故a 2 不适合,排除A.应选 B.1.不等式x 20 的解集是 x 1A. , 11,2 B.1,2C., 12, D. 1,2解：x2 x10. x1 x2 0,且 x 1,即 x1, 2,应选 D. 2.关于 x 的不等式 mx1x20,如此不等式的解集为 x|1 mx2 ,就 m 的取值范围是 A.m0 B.0m2C.m1 2 D.m0解： 由不等式的解集形式知 m0.应选 D.13.2022 安徽 已知一元二次不等式 fx0 的解集为 x|x 2,就 f10x0 的解集为 A.

18、x|xlg2 B. x|1xlg2 D. x|xlg2解： 可设 fxax1 x12 a0 可得 10 x1 10 x1 2 0,从而 10 x 12,解得 x0 在1,4内有解,就实数a 的取值范畴是 A. a4C.a12 D.a0 对 x1,2恒成立,就实数k 的取值范畴是 _.解： x1,2, x10.就 x2kxk1x1x1k0,等价于 x1k0,即 kx 1 恒成立,由于 2x13,所以只要 k2 即可 .故填 ,2.7. 2022 江苏 已知函数 fxx2mx1,如对于任意 xm,m1 ,都有 fx 0 成立,就实数 m 的取值范畴是 _.f（m） 2m 21 0,解： 由题可得

19、fx 0 对于 xm,m1恒成立,即 解得f（m1） 2m2 3m0,2m0.故填 22,0 . 28.如关于 x 的不等式 x2axa 3 的解集不是空集,求实数 a 的取值范畴 .解： x2axa3 的解集不是空集 . x2axa30 的判别式 0,解得 a6或 a2.9.已知二次函数 fx的二次项系数为 a,且不等式 fx 2x 的解集为 1,3.1如方程 fx6a0 有两个相等的实根,求 fx的解析式；2如 fx的最大值为正数,求 a 的取值范畴 .解： 1fx2x0 的解集为 1,3,fx2xax1x3,且 a0.因而 fxax 1x 3 2xax224ax3a.由方程 fx6a0

20、得 ax224ax 9a0.由于方程 有两个相等的实根,所以24a2 4a 9a0,即 5a24a10,解得 a1 或 a1 5.由于 a0,舍去 a1,将 a1 5代入 得 fx的解析式fx15x 26 5x35.2由 fxax2212ax 3aa x12aa 2a 24a1a,及 a0,可得 fx的最大值为a2 4a1 a .由a 24a1a0,解得 a 23或 23 a0.a0,故当 fx的最大值为正数时,实数 a 的取值范畴是, 2323,0.8细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -10.解关于 x 的不等式：a（x 1）1a0.x2解： x2 a1x2a0,a2 当 a1 时有 x2 xa10,如a2 a12,即 0a1 时,解集为 x|2xa2 a1 ；如a2 a12,即 a0 时,解集为 .；如a2 a12,即 a0 时,解集为 x|a2 a1x2 .9细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 9 页 - - - - - - - - -