2022年一元二次方程知识点及其应用.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一、相关学问点1懂得并把握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为2,整式方程,可化为一般形式；2正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数a0时,整式方程ax2bxc0才是一元二次方程；（2）各项的确定 包括各项的系数及各项的未知数. （3）娴熟整理方程的过程3一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4列出实际问题的一元二次方程二解法1明确一元二次方程是以降次为目的,以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段,从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2依据方

2、程系数的特点,娴熟地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3体会不同解法的相互的联系；4值得留意的几个问题：1开平方法：对于形如 x 2n 或 ax b 2n a 0 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解 . 形如 x 2 n 的方程的解法：当 n 0 时,x n ; 当 n 0 时,x 1 x 2 0 ; 当 n 0 时,方程无实数根；（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 x m 2 n 的方程,再运用开平方法求解；配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项

3、移到方程的右边；“ 系数化1” ：依据等式的性质把二次项的系数化为1；n的形式；配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为xm 2求解：如n0时,方程的解为xmn,如n0时,方程无实数解；（3）公式法：一元二次方程ax2bxc0 a0 的根xbb24ac2 a当b24 ac0时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；x 1x2b； 第 1 页,共 7 页 0时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为当b24 ac2 a0时,方程无实数根. 当b24 ac细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4、- 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -公式法的一般步骤：把一元二次方程化为一般式；确定a ,b,c的值；代入b24ac中运算其值,判断方程是否有实数根；如b24ac0代入求根公式求值,否就,原方程无实数根；（由于这样可以削减运算量；另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一 元二次方程； ）（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：假如两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即：如ab0,就a0 或b0；因式分解法的一般步骤：如方程的右边不是零,就先移项,使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一

5、个因式都为零,得 到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解；（5）选用适当方法解一元二次方程 对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应留意二次 根式的化简问题；方程如含有未知数的因式,选用因式分解较简便,如整理为一般式再解就较为麻烦；（6）解含有字母系数的方程（1）含有字母系数的方程,留意争论含未知数最高项系数,以确定方程的类型；（ 2）对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时肯定 不要遗忘对字母的取值进行争论；三、根的判别式 1明白一元二次方程根的判别式概念,能用判别式判定根的情形,

6、并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值范畴；（1）=b24acax2bxc0（a0）（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程当a0方程有实数根；方程有两个相等的实数根；0 时a0（当a0方程有两个不相等的实数根；当0 时0 时当a0方程无实数根；0 时从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理；2常见的问题类型（1）利用根的判别式定理,不解方程,判别一元二次方程根的情形（2）已知方程中根的情形,如何由根的判别式的逆定理确定参数的取值范畴（3）应用判别式,证明一元二次方程根的情形 先运算出判别式（关键步骤）；用配方法将判别式恒等变形；判定判别式的符号；细心整理归纳 精

7、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -总结出结论 . （ 4）分类争论思想的应用：假如方程给出的时未指明是二次方程,后面也未指明两个根,那肯定要对方程进行分类争论,假如二次系数为0,方程有可能是一元一次方程；假如二次项系数不为0,一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根；（ 5）一元二次方程根的判别式常结合三角形、四边形、不等式（组）等学问综合命题,解答时要在全面分析的前提下,留意合理运用代数式的变形技巧（6）一元二

8、次方程根的判别式与整数解的综合（7）判别一次函数与反比例函数图象的交点问题四、一元二次方程的应用1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数,奇偶数,连续整数等形式；2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特点、定理或法就来查找等量关系,构建方程,对结果要结合几何学问检验；3.增长率问题（下降率） ：在此类问题中,一般有变化前的基数（a ）,增长率（ x ）,变化的次数（n ）,变化后的基数（b ）,这四者之间的关系可以用公式 a 1 x n b 表示；4.其它实际问题（都要留意检验解的实际意义,如不符合实际意义,就舍去）；五实际应用（1）有 100 米长的篱笆材料,想围成一矩

9、形仓库,要求面积不小于 600 平方米,在场地的北面有一堵 50米的旧墙,有人用这个篱笆围成一个长 40 米、宽 10 米的仓库,但面积只有 400 平方米,不合要求,问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？（2）读诗词解题（列出方程,并估算出周瑜去世时的年龄）：大江东去浪淘尽,千古风流数人物,而立之年督东吴,英年早逝两位数,十位恰小个位三,个位平方与寿符,哪位学子算得准,多少年华属周瑜？（36 岁）m0时 , 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程3已 知 ：a,b,c分 别 是A B C的 三 边 长 , 当c x2m b x2cm 2m ax0有两个相等的实数根,求证： b2ABC 是直

10、角三角形；没有实数根；,c2a2xc20（4）已知：a,b分别是ABC 的三边长,求证：方程b2x2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（5）当 m是什么整数时, 关于 x 的一元二次方程mx24x40与x24mx4m24m50的根都是整数？（m1）x22xx2m2x1m0,其中 m为实数,（1）当 m 为何值时,方程没有实（6）已知关于 x 的方程22数根？（ 2）当 m为何值时,方程恰有三个互不

11、相等的实数根？求出这三个实数根；答案：（1）m2（2）x,112. （二）一元二次方程的解法1开平方法解以下方程：（1）5x21250（x 1,5x 25）（ 2）169 x320289（x 156,x222）1313（3）y23610（原方程无实根）（4） 132 m（m 1m 20）2配方法解方程：（1）x22x50（x16）（2）y25y10（x5221）3公式法解以下方程：（1）3x26x2（x333）（2）p2323p（p 1p23）4因式分解法解以下方程：（1）1 4x290（x6）（ 2）2 y4y450（y 1,9y25） 第 4 页,共 7 页 细心整理归纳 精选学习资料 -

12、 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（3）8x210x30（x 11,x23）（4）7x221 x0（x 10 ,x23）425解法的敏捷运用（用适当方法解以下方程）：（1）2 2x7 2128（x72）（2）2 mm212 m 22 m 2（m226）26解含有字母系数的方程（解关于 x 的方程）：（1）x22mxm2n20x 1x 1mn ,x2x2man ）（2）x23a24 ax2 a1（3 a,11（三）一元二次方程的根的判别式1不解方程判别

13、方程根的情形：（1） 4x2x37x（有两个不等的实数根）90（2）3 x22 4x（无实数根）2k为何值时,关于x 的二次方程kx26x（1）有两个不等的实数根2 m2 x（k1 且k0） 第 5 页,共 7 页 （2）有两个相等的实数根（k1）（3）无实数根（k1）3已知关于的方程4 x1m有两个相等的实数根求的值和这个方程的根细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -m2,x 1x21或m10,x 1x 23 224如方程

14、x22 a1xa24 a50有实数根,求：正整数a. （a,1a2 ,a3）5对任意实数m,求证：关于x 的方程2 m1 x22 mx2 m40无实数根 . 6k为何值时,方程 k1x2 2k3x k3 0有实数根 . 7设 m为整数, 且4m40时,方程x22 2 m3x4 m214m80有两个相异整数根,求 m的值及方程的根；（当 m =12 时,方程的根为x 116 ,x226；当 m =24 时,方程的根为x 138 ,x 252）3某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20 件,每件盈利40 元,为了扩大销售增加盈利,尽快细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

15、- - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -削减库存,商场打算实行适当降价措施,经调查发觉,假如每件衬衫每降价1 元,商场每天可多售出 2件,如商场平均每天要盈利1200 元,每件衬衫应降价多少元？（20 元）B 向 C 运动,4已知甲乙两人分别从正方形广场ABCD 的顶点 B、C 同时动身,甲由C 向 D 运动,乙由甲的速度为每分钟1 千米,乙的速度每分钟2 千米,如正方形广场周长为40 千米,问几分钟后,两人相距210千米？2 分钟后 7某科技公司研制一种新产品

16、,打算向银行贷款200 万元资金,用于生产这种产品,签订的合同上商定两年到期时一次性仍本付息 ,利息为本金的 8%,该产品投放市场后由于产销对路 , 使公司在两年到期时除仍清贷款的本金和利息外 , 仍盈余 72 万元 , 如该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同 , 试求这个百分数 . 20% 北8如图,东西和南北向两条街道交于O 点,甲沿东西道由西向东走,ABA东速度是每秒4 米,乙沿南北道由南向北走,速度是每秒3 米,当乙通O过 O 点又连续前进50 米时,甲刚好通过O 点,求这两人在相距85 米时,每个人的位置； （甲离 O84 米,乙离 O13 米）B9已知关于x 的方程 n1 x2mx10有两个相等的实数根. 1求证：关于y 的方程m2y22 my2 m2 n230必有两个相等的实数根； 第 7 页,共 7 页 m2n12n的值；（14）2如方程的一根的相反数恰好是方程的一个根,求代数式细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -