2022年2022年各种矩阵三角矩阵正定矩阵正交矩阵伴随矩阵 .pdf

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1、三对角矩阵在线性代数 中，一个三对角矩阵是 矩阵的一种，它“几乎”是一个 对角矩阵 。准确来说：一个三对角矩阵的 非零系数 在主对角线 上，或比主对角线低一行的对角线上，或比主对角线高一行的对角线上。例如，下面的是三对角矩阵：性质三对角矩阵是海森堡矩阵。尽管一般的三对角矩阵不一定是对称或埃尔米特矩阵，许多解线性代数问题时出现的矩阵却往往有这些性质。进一步如果一个实三对角矩阵A 满足ak,k+1 ak+1,k 0，所以它元素的符号都为正，从而相似于一个埃尔米特矩阵，这样特征值都是实数。后一个推论如果我们将条件ak,k+1 ak+1,k 0 换为 ak,k+1 ak+1,k 0 ，结论仍然成立。所

2、有 n 3n 三对角矩阵的 集合组成一个3n-2 维向量空间 。许多线性代数 算法 应用于对角矩阵时所需 计算量 特别少，这种改进也经常被三对角矩阵继承。譬如，一个 n 阶三对角矩阵A 的行列式 能用 continuant （Continuant ）的递归 公式计算：这里是第 k 个主子式，即是由 A 最开始的k 行 k 列组成的子矩阵。用此方法计算三对角矩阵所需计算量是线性n ，然而对于一般的矩阵复杂度是 n 的 3 次方。计算程序一个将一般矩阵变成海森堡型的变换，将厄密特矩阵变成三对角矩阵。从而，许多特征值算法 运用到厄密特矩阵上，第一步将输入的厄密特矩阵变成三对角矩阵。一个三对角矩阵利用

3、特定的存储方案 比一般矩阵所用的存储空间也少得多。 例如， LAPACKFortran 包将一个n- 维非对称三对角矩阵存为三个 1- 维数列， 其中一个长n 包含对角元素，其它两个长为n- 1 包含下对角线和上对角线元素。三对角矩阵方程，能用一种需要O(n) 次操作的 特殊的算法 解出来（Golub and Van Loan ）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 16 页 - - - - - - - - - 正交矩阵概述正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵 ， 因

4、此总是 正规矩阵 。 尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。要看出与内积的联系， 考虑在 n 维实数 内积空间 中的关于正交基写出的向量v。v 的长度的平方是 vTv。如果矩阵形式为Q v 的线性变换保持了向量长度，则。所以有限维线性 等距同构 ，比如 旋转、反射和它们的组合，都产生正交矩阵。反过来也成立：正交矩阵蕴涵了正交变换。但是，线性代数 包括了在既不是有限维的也不是同样维度的空间之间的 正交变换 ，它们没有等价的正交矩阵。有多种原由使正交矩阵对理论和实践是重要的。n3 n 正交矩阵形成了一个

5、群，即指示为O （n）的正交群 ，它和它的子群广泛的用在数学和物理科学中。例如，分子的点群是 O （3）的子群。因为浮点版本的正交矩阵有有利的性质，它们是字数值线性代数 中很多算法比如 QR分解的关键，通过适当的规范化，离散余弦变换 （用于 MP3压缩）可用正交矩阵表示。例子下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。恒等变换。旋转 16.26。针对 x 轴反射。旋转反演（ rotoinversion）:轴 (0,-3/5,4/5)，角度 90。置换坐标轴。基本构造低维度最简单的正交矩阵是13 1 矩阵1 和 - 1 ，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。如下形式的 23 2 矩阵名师资料

6、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 16 页 - - - - - - - - - 它的正交性要求满足三个方程。在考虑第一个方程时， 不丢失一般性而设p = cos , q = sin ； 因此要么 t = - q, u = p要么t = q, u = -p。我们可以解释第一种情况为旋转( = 0 是单位矩阵 )，第二个解释为针对在角 /2 的直线的 反射。旋转反射在 45的反射对换 x 和 y； 它是置换矩阵 ， 在每列和每行带有一个单一的1( 其他都是 0): 。单

7、位矩阵也是置换矩阵。反射是它自己的逆，这蕴涵了反射矩阵是对称的（等于它的转置矩阵）也是正交的。两个旋转矩阵的积是一个旋转矩阵，两个反射矩阵的积也是旋转矩阵。更高维度不管维度， 总是可能把正交矩阵按纯旋转与否来分类，但是对于 33 3 矩阵和更高维度矩阵要比反射复杂多了。例如，和表示通过原点的 反演和关于 z 轴的旋转反演 ( 逆时针旋转 90后针对 x- y 平面反射，或逆时针旋转 270后对原点反演 )。旋转也变得更加复杂；它们不再由一个角来刻画，并可能影响多于一个平面子空间。尽管经常以一个轴和角来描述33 3 旋转矩阵，在这个维度旋转轴的存在是偶然的性质而不适用于其他维度。但是，我们有了一

8、般适用的基本建造板块如置换、反射、和旋转。基本变换最基本的置换是换位（ transposition），通过交换单位矩阵的两行得到。任何n3n置换矩阵都可以构造为最多n- 1 次换位的积。构造自非零向量 v 的 Householder 反射为。这里的分子是对称矩阵，而分母是v 的平方量的一个数。这是在垂直于v 的超平面上的反射 （取负平行于 v 任何向量分量）。 如果 v 是单位向量，则 Q = I - 2vvT就足够了。Householder名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

9、 第 3 页，共 16 页 - - - - - - - - - 反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何 n3 n 正交矩阵都可以构造为最多n 次这种反射的积。Givens 旋转作用于由两个坐标轴所生成的二维（平面）子空间上，按选定角度旋转。它典型的用来置零一个单一的次对角线元素（subdiagonal entry）。任何 n3 n 的旋转矩阵都可以构造为最多n(n- 1)/2 次这种旋转的积。在3x3 矩阵的情况下，三个这种旋转就足够了；并且通过固定这个序列，我们可以用经常叫做欧拉角 的三个角来（尽管不唯一）描述所有33 3 旋转矩阵。雅可比旋转 有同 Givens 旋转一样的形式，但是被

10、用做相似变换 ，选择来置零 23 2 子矩阵的两个远离对角元素（off-diagonal entry）。性质矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间Rn的正交规范基 ，它为真当且仅当它的行形成Rn的正交基。假设带有正交（非正交规范）列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MTM = D，D是对角矩阵 。任何正交矩阵的 行列式 是 +1 或- 1。这可从关于行列式的如下基本事实得出: 。反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。对于置换矩阵，行列式是 +1 还是-1 匹配置换

11、是偶还是奇的 标志，行列式是行的交替函数。比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化 来展示 特征值 的完全的集合，它们全都必须有（复数）绝对值 1。群性质正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n3 n 正交矩阵的集合满足 群的所有公理。它是n( n-1)/2 维的紧致李群 ，叫做 正交群 并指示为 O （n）。行列式为 +1 的正交矩阵形成了 路径连通 的子群指标 为 2 的 O （n）正规子群 ，叫做旋转的特殊正交群SO（n）。商群O（n）/SO（n）同构于O（1），带有依据行列式选择 +1 或 -1 的投影映射。带有行列式 - 1 的正交矩阵不包括单位矩阵

12、，所以不形成子群而只是陪集；它也是（分离的）连通的。所以每个正交群被分为两个部分；因为投影映射分裂，O （n）是 SO（n）与 O （1）的半直积 。用实用术语说，一个相当的陈述是任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的一列来生成，如我们在23 2 矩阵中看到的。如果 n 是奇数，则半直积实际上是 直积， 任何正交矩阵可以通过采用一个旋转矩阵并可能取负它的所有列来生成。现在考虑 ( n+1)3 (n+1)右底元素等于 1 的正交矩阵。最后一列（和最后一行）的余下元素必须是零，而任何两个这种矩阵的积有同样的形式。余下的矩阵是n3 n 正交矩阵；因此 O（n）是 O ( n+1) ( 和

13、所有更高维群 ) 的子群。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 16 页 - - - - - - - - - 因为 Householder 正交矩阵形式的基本反射可把任何正交矩阵简约成这种约束形式，一系列的这种反射可以把任何正交矩阵变回单位矩阵；因此正交群是反射群 。最后一列可以被固定为任何单位向量， 并且每种选择给出不同的O （n） 在 O ( n+1)中的复本；以这种方式 O ( n+1)是在单位球 Sn与纤维 O （n）上的丛。类似的，SO（n）是SO(n

14、+1)的子群；任何特定正交矩阵可以使用类似过程通过Givens平面旋转来生成。丛结构持续: SO （n）? SO ( n+1) Sn。一个单一旋转可以在最后一列的第一行生成一个零， 而 n- 1 次旋转序列将置零n3 n 旋转矩阵的除了最后一列的最后一行的所有元素。因为平面是固定的，每次旋转只有一个自由度，就是它的角度。通过归纳，SO （n）因此有自由度， O （n）也是。置换矩阵简单一些；它们不形成李群，只是一个有限群，n! 次对称群 Sn。通过同类的讨论，Sn是 Sn+1的子群。偶置换生成行列式 +1 的置换矩阵的子群， n!/2次交错群 。规范形式更广泛的说，任何正交矩阵的效果分离到在正

15、交二维空间上的独立动作。就是说，如果Q是狭义正交的， 则你可以找到（旋转）改变基的一个正交矩阵P，把 Q带回到分块对角形式 : (n 偶数)，(n 奇数)。这里的矩阵 R1,.,Rk是 23 2 旋转矩阵，而余下的元素是零。作为例外，一个旋转块可以是对角的， I 。因此如果需要的话取负一列，并注意23 2 反射可对角化为 +1 和-1，任何正交矩阵可变为如下形式, 矩阵 R1, , , Rk给出位于 复平面 中单位圆上的特征值的共轭对；所以这个分解复合确定所有带有 绝对值 1 的特征值 。 如果 n 是奇数，至少有一个实数特征值 +1 或- 1； 对于 33 3 旋转，关联着 +1 的特征向量

16、是旋转轴。数值线性代数优点数值分析 自然的利用了正交矩阵的很多数值线性代数 的性质。例如，经常需要计算空间的正交基，或基的正交变更；二者都采用了正交矩阵的形式。有行列式1 和所有模为 1 的特征值是对 数值稳定性 非常有利的。一个蕴涵是 条件数 为 1 ( 这是极小的 ) ，所以在乘以正交矩阵的时候错误不放大。 很多算法为此使用正交矩阵如Householder 反射和 Givens 旋转。有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 16 页 - - - - - -

17、- - - 帮助的不只是正交矩阵是可逆的，还有它的逆矩阵本质上是免花费的，只需要对换索引（下标）。置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点（partial pivoting）的运算繁重的 高斯消去法 （这里的置换用来定支点）。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。同样的，使用 Householder 和 Givens 矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens 旋转只影响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n3次的矩阵乘法 为更有效的 n 次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换。编辑

18、 分解一些重要的 矩阵分解 （Golub & Van Loan, 1996）涉及到了正交矩阵，包括: QR分解M = QR , Q 正交， R上三角。奇异值分解M = UVT, U 和 V 正交，非负对角。谱分解S = QQT, S对称， Q正交， 对角。极分解M = QS , Q正交， S对称非负确定。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 16 页 - - - - - - - - - 正定矩阵在线性代数 里，正定矩阵 （即“正数 - 确定-矩阵”）是 埃尔米特

19、矩阵 的一种，有时会简称为正定阵 。在双线性代数 中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数 。与正定矩阵相对应的线性算子 是对称正定双线性形式 （复域中则对应 埃尔米特正定双线性形式）。定义一个 n 3n 的实 对称矩阵M 是正定的当且仅当 对于所有的非零实系数 向量 z，都有zTMz 0 。其中 zT表示 z 的转置。对于复数的情况，定义则为：一个n 3n 的埃尔米特矩阵M 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 z，都有 z*Mz 0 。其中 z*表示 z 的共轭转置 。由于 M 是埃尔米特矩阵 ，经计算可知，对于任意的复向量z，z*Mz必然是实数，从而可以与0 比较大小。因此这个定义是自洽的。

20、正定阵的判别对 n 3n 的埃尔米特矩阵M ，下列性质与“ M为正定矩阵”等价：.矩阵 M 的所有的 特征值 i都是正的。根据 谱定理 ，M 必然与一个实 对角矩阵 D 相似（也就是说 M = P-1DP ，其中 P是幺正矩阵 ，或者说 M 在某个正交基 可以表示为一个实 对角矩阵 ） 。因此， M 是正定阵当且仅当相应的D 的对角线上元素都是正数。.半双线性形式定义了一个 Cn上的内积。实际上，所有 Cn上的内积都可看做由某个正定阵通过此种方式得到。.M 是 n 个线性无关的 n 维向量的 Gram矩阵， 其中的 k 为某个正整数。更精确地说， M 定义为：换句话说， M具有 A*A的形式，

21、其中 A不一定是方阵，但需要是单射的。.M 的所有 顺序主子式 ，也就是 顺序主子阵 的行列式 都是正的（西尔维斯特 准则） 。明确来说，就是考察下列矩阵的行列式：M 左上角 1 1 的矩阵M 左上角 2 2 矩阵. M 自身。对于半正定矩阵来说，相应的条件应改为所有的主子式非负。顺序主子式非负并不能推出矩阵是半正定的。比如以下例子：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 16 页 - - - - - - - - - .存在唯一的 下三角矩阵L，其主对角线上的元素

22、全是正的，使得：M = LL* . 其中 L*是 L的共轭转置 。 T 这一分解被称为 Cholesky 分解。对于实 对称矩阵 ，只需将上述性质中的改为，将“共轭转置”改为“转置”就可以了。二次型由以上的第二个等价条件， 可以得到 二次型 形式下正定矩阵的等价条件： 用代表或，设是上的一个 向量空间 。一个埃尔米特型 ：是一个 双线性映射 ，使得 B(x, y)总是 B( y, x) 的共轭。这样的一个映射B是正定的当且仅当对中所有的非零向量x，都有 B( x, x) 0 。负定、半定及不定矩阵与正定矩阵相对应的， 一个 n 3n 的埃尔米特矩阵M是负定矩阵 当且仅当对所有不为零的（或），都

23、有：M是半正定矩阵 当且仅当对所有不为零的（或），都有：M是半负定矩阵 当且仅当对所有不为零的（或），都有：可以看出，上一节中正定阵的等价性质1 只需略作相应改动， 就可以变为判别负定矩阵、半正定矩阵和半负定矩阵的准则。注意当 M是半正定时， 相应的 Gram矩阵不必由线性无关的向量组成。对任意矩阵 A，A*A必然是半正定的， 并有 rank( A) = rank( A*A)（两者的 秩相等）。反过来，任意的半正定矩阵都可以写作M = A*A，这就是 Cholesky 分解。一个埃尔米特矩阵M是负定矩阵当且仅当M的所有奇数阶顺序主子式小于0，所有偶数阶顺序主子式大于0。当 M是负定矩阵时， M

24、的逆矩阵也是负定的。如果一个埃尔米特矩阵既不是半正定也不是半负定的，那么称其为不定矩阵 。相关性质若 M为半正定阵，可以写作。如果 M是正定阵，可以写作M 0。这个记法来自泛函分析 ，其中的正定阵定义了 正算子 。对于一般的埃尔米特矩阵，M 、N ，当且仅当。这样可以定义一个在埃尔米特矩阵集合上的偏序关系 。类似地，可以定义M N。.每个正定阵都是 可逆的 ，它的逆也是正定阵。如果那么。.如果 M 是正定阵， r 0为正实数，那么rM 也是正定阵。如果 M 、N 是正定阵，那么和M + N 、乘积 MNM 与 NMN都是正定的。如果MN = NM ，那么 MN仍是正定阵。.如果 M = (mi

25、j) 0 那么主对角线上的系数mii为正实数。于是有tr(M) 0。此外还有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 16 页 - - - - - - - - - .矩阵 M 是正定阵当且仅当存在唯一的正定阵B 0 使得 B2 = M。 根据其唯一性可以记作 B = M1 / 2，称 B 为 M 的平方根。对半正定阵也有类似结论。同时，如果M N 0 那么M1 / 2 N1 / 2 0.如果 M,N 0 那么，其中表示克罗内克乘积 。.对矩阵 M = (mij),N

26、 = (nij)，将两者同一位置上的系数相乘所得的矩阵记为，即，称为 M 与 N 的阿达马乘积 。如果 M,N 0，那么。如果 M,N 为实系数矩阵 ，则有如下不等式成立：.设 M 0，N 为埃尔米特矩阵。 如果（MN + NM 0） ，那么（N 0） 。.如果为实系数矩阵，则。.如果 M 0为实系数矩阵，那么存在 0使得，其中 I 为单位矩阵 。非埃尔米特矩阵的情况一个实矩阵 M可能满足对所有的非零实向量x，xTMx 0 而并不是对称矩阵。举例来说，矩阵就满足这个条件。对x = ( x1, x2)T并且，一般来说，一个实系数矩阵M满足对所有非零实向量x，有 xTMx 0 ，当且仅当对称矩阵

27、( M + MT) / 2是正定矩阵。对于复系数矩阵，情况可能不太一样。主要看的是怎扩展z*Mz 0 这一性质。要使z*Mz总为实数，矩阵 M必须是埃尔米特矩阵。因此，若z*Mz 总是正实数， M必然是正定的埃尔米特矩阵。如果将 z*Mz 0 扩展为 Re( z*Mz ) 0 ，则等价于 ( M + M*) / 2为正定阵。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 16 页 - - - - - - - - - 伴随矩阵在线性代数 中，一个 方形矩阵 的伴随矩阵 是一

28、个类似于 逆矩阵 的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到 除法。定义参见： 子式和余子式 、余因子矩阵 及转置矩阵设 R是一个 交换环 ，A是一个以 R中元素为系数的n3 n 的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：定义： A关于第 i 行第 j 列的余子式 （记作 Mij） 是去掉 A的第 i 行第 j 列之后得到的 (n - 1)3 (n - 1)矩阵的 行列式 。定义：A 关于第 i 行第 j 列的代数余子式 是：。定义： A 的余子矩阵 是一个 n3 n 的矩阵 C， 使得其第 i 行第 j 列的元素是 A

29、关于第 i 行第 j 列的代数余子式 。引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵 是 A的余子矩阵的 转置矩阵 ：。也就是说，A的伴随矩阵 是一个 n3 n 的矩阵（记作 adj( A)），使得其第 i行第 j列的元素是 A关于第 j行第 i列的代数余子式 ：。例子编辑 2x2矩阵一个矩阵的伴随矩阵是. 编辑 3x3矩阵对于的矩阵，情况稍微复杂一点：. 其伴随矩阵是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 16 页 - - - - - - - - - 其中.

30、 要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第3行第2列的系数应该是 A关于第2行第3列的代数余子式。具体情况对于数值矩阵，例如求矩阵的伴随矩阵，只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2 行第 3 列的代数余子式为因此伴随矩阵中 第 3 行第 2 列的位置上是 -6。计算后的结果是：应用作为拉普拉斯公式 的推论，关于 n3 n 矩阵 A的行列式 ，有：其中 I 是 n 阶的单位矩阵 。事实上， A adj( A) 的第 i 行第 i 列的系数是。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。如果 i j ，那么 A adj( A) 的第 i 行第 j 列的系数是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

31、 - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 16 页 - - - - - - - - - 。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第 j 行元素换成第i 行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0） 。由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵 A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。这是因为如果 A可逆，那么如果 det( A) 是环中的 可逆元 那么公式 (*) 表明 编辑性质对 n3 n 的矩阵 A和 B，有：1.2.3.4.5.6. 当 n2 时，7. 如果 A可逆，那么8. 如果 A是对称矩阵

32、 ，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A 是反对称矩阵 ，那么当 n为偶数时， A 的伴随矩阵也是反对称矩阵，n 为奇数时则是对称矩阵。9. 如果 A是（半） 正定矩阵 ，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。10. 如果矩阵 A和 B相似，那么和也相似。11. 如果 n2，那么非零矩阵 A 是正交矩阵 当且仅当伴随矩阵的秩当矩阵 A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是 n。当矩阵 A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当 A的秩为 n-1 时，其伴随矩阵的秩为1，当 A的秩小于 n-1 时，其伴随矩阵为0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

33、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 16 页 - - - - - - - - - 伴随矩阵的特征值设矩阵 A在复域中的 特征值 为（即为 特征多项式 的 n 个根），则 A的伴随矩阵的特征值为。显示证明伴随矩阵和特征多项式设 p(t ) = det(A - t I) 为 A的特征多项式 ，定义，那么：, 其中pj是p(t) 的各项系数：伴随矩阵也出现在 行列式 的导数形式中。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -

34、 第 13 页，共 16 页 - - - - - - - - - 置换矩阵在数学中的矩阵论 里，置换矩阵 是一种系数只由 0 和 1 组成的 方块矩阵 。置换矩阵的每一行和每一列都恰好有一个1，其余的系数都是 0。在线性代数 中，每个 n 阶的置换矩阵都代表了一个对 n个元素（ n 维空间的 基）的置换。当一个矩阵乘上一个置换矩阵时，所得到的是原来矩阵的横行（置换矩阵在左）或纵列（置换矩阵在右）经过置换后得到的矩阵。严格定义每个 n 元置换都对应着唯一的一个置换矩阵。设 为一个 n 元置换：给出其映射图：它对应的 n 3 n 的置换矩阵 P是：在第 i 横行只有 ( i )位置上系数为 1，其

35、余为 0。即可以写做：其中每个表示正则基中的第j 个，也就是一个左起第j 个元素为 1，其余都是 0 的 n元横排数组。由于单位矩阵 是置换矩阵也可以定义为单位矩阵的某些行和列交换后得到的矩阵。性质对两个 n元置换 和 的置换矩阵 P和 P，有一个置换矩阵P必然是 正交矩阵 （即满足），并且它的逆也是置换矩阵：用置换矩阵 P左乘一个 列向量 g 所得到的是g 的系数经过置换后的向量：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 16 页 - - - - - - - -

36、 - 用置换矩阵 P右乘一个 行向量 h 所得到的是h 的系数经过置换后的向量：置换矩阵与置换设 Sn是 n 次对称群 ，由于 n 置换一共有 n! 个，n 阶的置换矩阵也有 n! 个。这 n! 个置换矩阵构成一个关于矩阵乘法的群。这个群的 单位元 就是单位矩阵。设A是所有 n 阶的置换矩阵的集合。映射Sn A ? GL( n, Z2) 是一个 群的忠实表示 。对一个置换 ，其对应的置换矩阵P是将单位矩阵的横行进行 置换，或者将单位矩阵的横行进行-1置换得到的矩阵。置换矩阵是 双随机矩阵 的一种。伯克霍夫 -冯2诺伊曼定理 说明每个双随机矩阵都是同阶的置换矩阵的 凸组合 ，并且所有的置换矩阵构

37、成了双随机矩阵集合的所有端点。置换矩阵 P的迹数等于相应置换 的不动点的个数。设a1、a2、, 、ak为其不动点的序号，则 ea1、ea2、, 、eak是 P的特征向量 。由群论可以知道，每个置换都可以写成若干个对换的复合。由此可知，置换矩阵P都可以写成若干个表示两行交换的初等矩阵 的乘积。 P的行列式 就等于 的符号差 。例子对应于置换 = (1 4 2 5 3)的置换矩阵 P是给定一个向量g，推广置换矩阵概念的一个推广是将方阵的情况推广到一般矩阵的情况：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - -

38、 - - - - 第 15 页，共 16 页 - - - - - - - - - 一个 m 3 n 的 0-1 矩阵 P 是置换矩阵当且仅当这时一个 0-1 矩阵 是置换矩阵当且仅当它的每一行恰有一个1，每一列至多有一个1。置换矩阵概念的另一个推广是将每行的1 变为一个非零的实数：一个n阶的方块矩阵P是置换矩阵当且仅当其每一行与每一列都恰好只有一个系数不为零。这时的置换矩阵P可以看做由 0 和 1 组成的置换矩阵 Q与一个对角矩阵相乘的结果。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 16 页 - - - - - - - - -