2022年三角函数专题总复习高三数学.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三角函数专题复习讲义应用弧长与扇形同角三函数诱导公式应用运算与化简证明恒等式面积公式的基本关系应用任意角角 度 制 与任 意 角 的应用三角函数的应用已知三角函的概念弧度制三角函数图象和性质数值求角和角公式倍角公式应用差角公式应用1、弧度制：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 弧度；2700POyAx三角函数线：如右图,有向线段AT与 MP、 OM 分别叫做的正切线、正弦线、余弦线；角度制与弧度制的互化：36002,1800,M00T1rad 180 57.30 =57

2、 18 1 1800.01745（rad ）003004506009001200135015001800360 23532643234622、特别角的三角函数值：sin0 0 = 0 sin30 0 =1sin0 45 =2sin60 0 =3sin90 0 =1 第 1 页,共 12 页 222cos0 0 = 1 cos30 0 =cos6cos90 0 =0 30 0 =1tan0 0 = 0 2cos0 45 =2tan900无 意 义22tan30 0 =3tan60 0 =3tan0 45 =1 3细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

3、- - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3、弧长及扇形面积公式弧长公式：l. r扇形面积公式 :S=1l . r 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 2- 是圆心角且为弧度制； r-是扇形半径4、任意角的三角函数设是一个任意角,它的终边上一点p（x,y ）, r=x2y21 正弦 sin=y余弦 cos=x正切 tan=yrrx2 各象限的符号：y y y +O + x + x + + cos2sinO + + O sin cos tan5. 同

4、角三角函数的基本关系：（1）平方关系： sin2+ cos2=1；（2）商数关系：sin=tan（2k ,kz）cos6. 诱导公式：把k的三角函数化为的三角函数,概括为： 奇变偶不变,符号看象限；21 sin 2ksin, cos 2kcos, tan 2 ktank2 sinsin, coscos, tantan3 sinsin, coscos, tantan4 sinsin, coscos, tantan5 sin2cos, cos2sin6 sin2cos, cos2sin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料

5、- - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 y=sinx y=cosx y=tanx 定义域 : R R x|xR ,xk2值域 : -1,1 -1,1 R 周期 : 2 2奇偶性 : 奇函数偶函数奇函数单调区间 : 增区间 ;22k,22 k; ; 2k,2 k,2k; k2k,2k减区间2k2k,32k无减区间22对称轴 :xk2xkk无对称轴对称中心 : k,0,0,0（以上 k 均为整数）22考点一 : 求三角函数的定义域、值域和最值、三角函数的性质（包括奇偶性、单调性、周期性）这类问题在

6、挑选题、填空题、解答题中显现较多,主要是考查三角的恒等变换及三角函数的基础学问；例 1、已知函数 fx=log1sinxcosx2求它的定义域和值域；求它的单调区间；判定它的奇偶性；判定它的周期性；解 ：（ 1） x 必 须 满 足 sinx-cosx0, 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 及2k4x2k5,kZ 函数定义域为 2k4,2k5,kZ 44sinxcosx2sinx4 当 x 2k4,2k5时,0sinx4140sinxcos2ylog121 函数值域为 1, 222（3） fx定义域在数轴上对应的点关于原点不对称 fx不具备奇偶性（4） fx+2 =fx 函数 f

7、x 最小正周期为 2注；利用单位圆中的三角函数线可区分sinx-cosx的符号； 第 3 页,共 12 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 2、化 简fxcos6k12x cos6k12x23sin32xxR ,kZ,并33求函数f x 的值域和最小正周期 . 3sin32x 解：fx cos 2 k32 xcos 2k32x 22cos 32x 23sin32 x 4cos2

8、 x2所以函数 f x 的值域为4,4,最小正周期T8、三角函数公式：两角和与差的三角函数关系倍角公式）sin=sincoscos sinsin2=2sincoscos=coscossinsincos2 =cos 2-sin 2tan1tantan=2cos 22-1 tantan=1-2sin降幂公式：升幂公式：tan212tan2tan1+cos=2cos22 cos21cos221-cos=2sin22 sin21cos22合一变形公式 asin bcos a22 bsin（ ）a2b2cos（ 9、三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有：1、常数代换法：如：1sin2cos2t

9、ancot2 sectan22、配角方法：细心整理归纳 精选学习资料 3、20 ,2（其中tanx22 第 4 页,共 12 页 4、asinbcos2 ab2sinb a）的应用,留意的符号与象限；. 就sinxtanx5、常见三角不等式：（1）、如x - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）、如x0,2. 就 1sinxcosx2（3）、sinxcosx1例 3、（1）已知 cos2 + +5cos =0,

10、求 tan + tan 的值；（2）已知2sin3cos5,求3cos24sin2的值；sincos解：从变换角的差异着手； 2 + = + + , = + - 8cos + + +5cos + - =0 绽开得： 13cos + cos -3sin + sin =0 同除以 cos + cos 得：tan + tan =13 3以三角函数结构特点动身2sin3cos2tan12tan15 tan =2 sinCc； 第 5 页,共 12 页 sincostan3tan33cos24sin23 cos2sin28sincos33tan228tan72 2sin cos2x+2sinxcosx+

11、3cos2x 的最大值1tan5例 4 求函数 y=sin解： 2sinxcosx=sin2x,sin 2x+cos 2x=1,cos 2x= 1 cos2x2y=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x=sin 2x+cos 2x+2sinxcosx+2cos2x =1+sin2x+2 1cos2x =sin2x+cos2x+2 2=2 sin2x cos4+cos2x sin4+2=2 sin2x+4+2 当 2x+4=2+2k 时,y max=2+2即 x=8+K KZ,y 的最大值为 2+2注；齐次式是三角函数式中的基本式,其处理方法是化切或降幂；9正弦定理：aAbBcC2R.

12、 sinsinsin变形公式有：（1）a2RsinA ,b2RsinB,c2RsinC；（2）sinAa,sinBb,2 R2R2R（3） sinA:sinB:sinCa b c 等余弦定理：a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB ; 2 ca2b22abcosC . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思三角形面积定理：S 1ab sin C 1bc sin A 1c

13、a sin2 2 210、利用正弦定理、 余弦定理和三角形内角和定理,形问题：（1）已知两角和任一边,求其它两边和一角；B . 可以解决以下四类解斜三角（2）已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角从而进一步求其它的边和角,（3）已知三边求三内角；（4）已知两边和它们的夹角,求第三边和其它两个内角；11、解斜三角形的应用题的解题步骤：（1）分析属于哪种类型的问题（如：测量距离、高度、角度等）；（2）依题意画出示意图,并把已知量标在示意图中；（3）最终确定用哪个定理转化、哪个定理求解,并进行求解；20 32（4）检验并作答 . xx0 12、函数yAsinx的图像和性质：作图经常用两2种方法：y

14、Asinx0 0 A -A 五点法：图象变换法：ysinx1 ysinxysinxyA sinx 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 2ysinxysixx13、结合函数yAsinxB（其中A0,0）的简图可知：该函数的最大值是AB,最小值是BA,周期是T2,频率是f2,相位是x,初相是；例 4、设函数 fx=2sinxcos22cosxsinsinx 0在 x处取最小值 . 1求的值 ; 2在ABC中,a,b,c分别是角 A,B,C 的对边 , 已知a,1 b2,fA3, 求角 C. 2解: （1）f x 2sinx1coscosxsinsinx2sinxsinxc

15、oscosxsinsinxsinxcoscos sinsinx由于函数fx在 x处取最小值,所以sin1 , 由诱导公式知sin1 , 由于0, 所以2. 所以f sinx2cosx细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思（2）由于fA3, 所以cosA3, 由于角A 为ABC 的内角 , 所以A6. 又由于22a ,1 b 2 , 所 以 由 正 弦 定 理 , 得 sin B b sin A2 1 2, 因 为 b a ,

16、 所 以a 2 23B 或 B . 4 4所以当 B 时 , C 7; 当 B 3时, C 3. 4 6 4 12 4 6 4 12考 点 三 : 关 于 三 角 函 数 的 图 象 , 立 足 于 正 弦 余 弦 的 图 象 , 重 点 是 函 数的图象与 y=sinx 的图象关系；依据图象求函数的表达式,以及三角函数图象的对称性例 7（05 年福建）函数ysinxxR,0,02 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 的部分图象如图,就（ C ）A2,4 B 3,6C4,4D4,54例 8、（05 年全国卷 17）设函数fx sin2x0,yfx图像的一条对称轴是直线

17、x8；（）求；（）求函数yf x 的单调增区间；（）画出函数yfx在区间0 ,上的图像；（本小题主要考查三角函数性质及图像的基本学问,考查推理和运算才能,满分12 分. ）解：（）x8是函数yfx的图像的对称轴,sin28,14k2,kZ.,03.4（）由（）知3,因此ysin2x3.44由题意得2k22x32k2,kZ.4所以函数ysin2x3 的单调增区间为k8,k5,kZ.48（）由ysin2x3 知4x 0 83 85788细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

18、 - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思y 21 0 1 0 222故函数yf x 在区间0 ,上图像是 略 考点四,三角函数与其它学问交汇设计试题,是突出才能、试题出新的标志,近年来多显现于三角函数与向量等学问交汇；例9（05年江西）已知向量x x xa 2 cos , tan , b 2 sin , t2 2 4 2 4求函数 f x 的最大值,最小正周期,并写出xa n 令 f x , a b . 2 4f x 在0 , 上的单调区间 . 解：fxab22cosxsinx4tanx4tanx4上单 第 8 页,共 12 页 22222 2 cosx2sinx2cos x21tanx

19、tanx 212 x22221tanx1tan222sinxcosx2cos2x1222sinxcosx=2sinx4. 所以fx 的最大值为2,最小正周期为2,fx在0 ,4上单调增加, , 4 2调削减 . 例 10、（05 年山东卷）已知向量mcos,sin 和n2sin,cos,2,且mn852,求cos28的值. 解：mncossin2,cossinmncossin22cossin2422cossin44cos421cos4由已知mn852,得cos4725又cos42cos2281所以cos2281625细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - -

20、 - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思cos22,5289cos28088845热点猜测 1、以下函数中,既是（ 0,2）上的增函数,又是以 为周期的偶函数是2xA、y=lgx2 B、y=|sinx| C、y=cosx D、y=2sin2、假如函数 y=sin2x+acos2x 图象关于直线 x=-8对称,就 a 值为A、-2B、-1 C、1 D、28时,ymax=2； 3、函数 y=Asin x+ （A0, 0）,在一个周期内,当x=当 x=5时, ymin=-

21、2,就此函数解析式为4 D、8A、y2sinx4 B、y2sin2x4C、y2sinx2y2sin2x82,2,就4、已知 tan ,tan 是方程x233 x40两根,且 , + 等于A、2B、2或3C、3或2D、3 第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - 3335、函数 fx=3sinx+100+5sinx+700 的最大值是A、5.5 B、6.5 C、7 D、8 6. 方程 sinx=lgx的实根个数是 A1 B2 C3 D 以上都错 考查三角函数与对数函数的图像 7. 在 ABC中, 1 已知 tanA=5 sinB= 124 ,就 C 有且只有一解, 2 5已知

22、 tanA= 12 ,sinB=5A 只有 1 B3 , 就 C有且只有一解,其中正确选项 5只有 2 C1 与2 都正确 D1 与2 均不正确 考查综合有关公式,敏捷处理三角形中的运算 8、（20XX年辽宁卷）ABC 的三内角A B C 所对边的长分别为a b c 设向量p ac b ,qba ca , 如p/q, 就角 C 的大小为A6 B3 C 2 D 23细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思9、（20XX 年辽宁卷

23、）设O0,0,A 1,0,B0,1, 点 P 是线段 AB 上的一个动点, APAB , 如 OP ABPA PB , 就实数的取值范畴是1|2a bD A11B 121 C 12222121222x2a x0有10、 20XX年湖南卷）已知 |a| 2 |b|0, 且关于 x的方程实根 , 就 a 与 b 的夹角的取值范畴是 A.0,6 B.3, C.3,2 D.6,y 轴对称,就311、函数fx=sinx+ +3 cosx- 的图象关于=_；12、数 y=2sinxcosx-3 cos 2x-sin 2x 的最大值与最小值的积为 _；13、知 x-1 2+y-1 2=1,就 x+y 的最大

24、值为 _；（一）解答题 14 、是否存在实数 a,使得函数 y=sin 2x+acosx+ 5a 3 在闭区间 0 , 上的8 2 2最大值是 1？如存在,求出对应的 a 值；15、已知 fx=5sinxcosx-5 3 cos 2x+ 5 3（xR）2（1）求 fx 的最小正周期； 求 fx 单调区间； 求 fx 图象的对称轴, 对称中心；16、函 数 y=cosx-10 x 2 的 图像 与 x 轴 所围 成图 形 的面积是_； 考查三角函数图形的对称变换 17、设三角函数 fx=sin kx + ,其中 k 0 5 31 写出 fx 的极大值 M,微小值 m,最小正周期 T；2 试求最小

25、的正整数 k,使得当自变量 x 在任意两个整数间 包括整数本身 变化时,函数 fx 至少有一个值是 M与一个值 m, 考查三角函数的最值、 周期,以及分析问题、解决问题的才能 5a 83在闭区间 0 ,2 上 第 10 页,共 12 页 18、是否存在实数 a,使得函数 y=sin2x+acosx+2的最大值是 1？如存在,求出对应的a 值；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思19.

26、（本小题满分 13 分）已知 A、B、C是m,13,n1cosA,sinA且mn,（1）求角 A；（2）如1sin 2BB3,求tanC ；2 cosBsin2ABC 三内角,向量20、已知fx4cos2x43 asinxcosx,将fx的图象按向量b42,平移后,图象关于直线x12对称；（1）、求实数 a 的值,并求fx取得最大值时的 x 的集合；（2）、求fx的单调递增区间；答案与提示 1 、B 2 、B 3 、B 4、A 5、C 6.C 7 B 8、B 24109 【解析】APABOP1OAOB1,AB, PBABAP1AB1,1,APOP ABPA PB1, 1,1 ,1,12解得 :

27、 1212 2, 因点 P 是线段 AB 上的一个动点 , 所以 01, 即满2足条件的实数的取值范畴是121, 故挑选答案 B. , 14、a3 第 11 页,共 12 页 210、 B 11、k6,kZ 12、-4 13、222k1115、（1）T=（2）增区间 k -12,k +5 ,减区间 k + 1251212（3）对称中心（k6,0）,对称轴xk5,kZ 2212提示：令T 16. 2 17. 1M=1,m=-1,T= 10k 2k=32 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学

28、习资料 - - - - - - - - - - - - - - -读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思1 18、a3219、解：（1）m n11,3cosA,sinA1 第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - - 即3 sinAcosA12 sinA3cosA11, sinA612220A,6A65A66A36（2）由题知12sinBcosB3,cos2Bsin2B整理得sin2BsinBcosB2cos2B0 cosB0tan2BtanB20 tanB2或 tanB1而 tanB1 使cos2Bsin2B0,舍去 tanB2tanCtanABtan ABtanAtanB1tanAtanB2385 312 31120、（1）、按向量b4,2平移后gxfx422sin2x23 acos2x由于gx的图象关于x12对称,有g0g6,即23a33 a解得a1就fx23sin2x2cos2x24sin2x62, 当2x62k3（kZ）时,fx取得最大值2,因此fx取得最大值时x 的集合是：xk3kZ（2）、由2 k22x62 k2解得k6,k3kZ因此原函数的单调区间是：k6,k3kZ细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -